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数学归纳法课件


2.3数学归纳法(第一课时)

单县一中 时克然

多米诺骨牌

问题情境一
已知数列 {a n } 的通项公式为 (2)你的猜想正确吗?

an ? (n ? 5n ? 5)
2

2

(1)求出其前四项,你能得到什么样的猜想?

/>
问题情境二
对于数列{ a n}, a1 ? 1
*

(n ∈ N )(1)求出数列前4项,你能得到什么
猜想?
(2)你认为你的结论一定正确吗? 如何证明猜想是正确的?

1 1 an ? (an ?1 ? ) 2 an ?1

?

是否用行之有效,有限的步骤进行证明呢?

骨牌全倒下,需要哪些条件呢?

多米诺骨牌与我们要解决 的问题二有相似性吗?

?

相似性体现在哪些方面?

1、第几块骨牌,数列第几项都是与 正整数有关的问题 2、共同点是任意前一个的情况都可以 推出后一个的情况

数学建构
类比多米诺骨牌游戏牌全倒条件,证明
1 1 已知a1 ? 1, an ? ( an ?1 ? ), 2 an ?1 猜想an ? 1

(1)已知第一张牌要倒下 要证明当n=1时猜想成立,由条件知,n=1

时猜想成立

(2)要保证任意前一块倒下,后一块也倒下
即要证明若当n=k时命题成立,则n=k+1时命题也 成立.

假设 n ? k 时猜想成立,即 a k ? 1, 1 1 则 n ? k ? 1时,k ?1 ? (a k ? ) a 2 ak 1 1 ? (1 ? ) ? 1, 2 1

完成了这两个步骤以后就可以证明上述猜想对于 所有的正整数n都是成立的。 所以对任意正整数n,猜想都成立,即数列 的通项为 a ? 1
n

情景二的证明过程 (1)当n=1时,由条件知猜想成立。
假设 n ? k 时猜想成立,即 a k ? 1, (2) 1 1 则 n ? k ? 1时,k ?1 ? (a k ? ) a 2 ak 1 1 ? (1 ? ) ? 1, 2 1

综合(1)和(2),知对任意正整数n,猜 想都成立,即数列的通项为 a n ? 1

概念建构 概念建构
一般地证明一个与正整数n有关的命题,可按 下列步骤进行:
1.(归纳奠基)证明当n取第一个值n0时命题成立; 2.(归纳递推)假设当n=k(k?N*,k≥n0)时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立。 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对于从n0开 始的所有正整数n都成立.

这种证明方法就叫做 数学归纳法 。

学以致用

2

利用数学归纳法证明:
2 2 2 2

n ? (n ? 1) ? (2n ? 1) 1 ? 2 ? 3 ? 4 ?? ? n ? (n ? N * ). 6

(k ? 1)[(k ? 1) ? 1][2(k ? 1) ? 1] 目标: ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? k ? (k ? 1) ? 1 6
2 2 2 2 2 2

?两个步骤和一个结论缺一不可: ?第一步是奠基步骤,是命题论证的基础, 称之为 归纳奠基(基础); ?第二步是归纳步骤,是推理的依据,能否 由特殊推广到一般,它反映了无限递推关 系,其中 “假设n=k时成立” 称为归纳假 设。 ? 第三步是总体结论,也不可少。

自我测评
1、已知三角形内角和为180°,四边形的内角和 为360°,五边形的内角和为540°,于是有:凸n 边形的内角和为(n-2)180°,若用数学归纳法证 明,第一步验证n取第一个正整数时命题成立,则 3 第一个正整数取值为 ___________
2、用数学归纳法证明 1 ? a ? a ? ? ? a
2 n?1

(a≠1),在验证n=1等式成立时 ,左边应取的 1 ? a ? a2 项是__________.

1 ? a n? 2 ? 1? a

3、用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n? 1? 3?…?(2n-1)时, 在证明n=k+1时:左边代数式 [(k+1)+1]?[(k+1)+2]…[(k+1)+(k+1)] 为 , 共有 K+1 项, 从k到k+1左边需要增乘的代数式为 (2k ? 1)( 2k ? 2) 即2 2k ? 1) (
k ?1

(1)2+4+6+8+…+2n=n2+n+1(n?N*)
证明 :假设当n=k时等式成立,即 2+4+6+8+?+2k=k2+k+1(k?N*) 那么,当n=k+1时,有
缺乏“递推基础”

2+4+6+8+?+2k+2(k+1) =k2+k+1+2(k+1)

=(k+1)2+(k+1)+1 ,
因此,对于任何n?N*等式都成立。

1 1 1 n (3) ? ?? ? ? (n ? N * ) 1? 2 2 ? 3 n ? (n ? 1) n ? 1 没有用上“假 1 1 证明 ①当n=1时,左边= 1 ? 2 ? 2 , 设”,故此法 不是数学归纳 1 1 右边= = 此时,原等式成立。 法 1+1 2

②假设n=k(k∈N*)时原等式成立 ,即
1 1 1 k 请修改为数学 ? ??? ? 1? 2 2 ? 3 k ? (k ? 1) k ? 1 归纳法 1 1 1 1 1 那么n=k+1时, 左边 ? (1 ? 2 ) ? ( 2 ? 3 ) ? ? ? ( k ? 1 ? k ? 2 ) 1 k ?1 ? 1? ? =右边 k ? 2 (k ? 1) ? 1

这就是说,当n=k+1时,命题也成立. 由 ①②知,对一切正整数n,原等式均正确.

1 1 1 n (3) ? ?? ? ? (n ? N * ) 1? 2 2 ? 3 n ? (n ? 1) n ? 1

证明 ①当n=1时,左边=

1 1 ? 1? 2 2

, 右边=

1 1 ? 1?1 2

此时,原等式成立。
②假设n=k(k∈N*)时原等式成立 ,即
1 1 1 k ? ??? ? 1? 2 2 ? 3 k ? (k ? 1) k ? 1 1 1 1 1 那么n=k+1时, 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? k ? (k ? 1) ? (k ? 1)?(k ? 2)

k 1 k ?1 ? ? ? k ? 1 (k ? 1)?(k ? 2) (k ? 1) ? 1

这就是说,当n=k+1时,命题也成立. 由 ①②知,对一切正整数n,原等式均正确.

这 才 是 数 学 归 纳 法

回顾反思
(1)数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题
的重要方法 (2)数学归纳法证题的步骤:两个步骤,一个结论; (3)数学归纳法的基本思想:运用“有限”的手段 来

解决“无限”的问题


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