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江苏省数学竞赛提优教案:第64讲


极限和导数 相关知识 1.导数的有关概念。 (1)定义: 函数 y=f(x)的导数 f (x),就是当 ?x ? 0 时,函数的增量 ?y 与自变量的增量 ?x 的比 / 的极限,即 f / ( x) ? lim ?x ?0 ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) 。 ? lim ? x ? 0 ?x ?x ?y ?x (2)实际背景:瞬时速度,加速度,角速度,电流等。 (3)几何意义: 函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何意义, 就是曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率。 2. 求导的方法: (1)常用的导数公式: C =0(C 为常数) ; (x ) =mx (m∈Q); (sinx) =cosx; (cosx) = -sinx ; (e ) =e ; (a ) =a lna x / x x / x / / m / m-1 / (ln x) / ? 1 ; x 1 (log a x) / ? log a e . x (2)两个函数的四则运算的导数: (u ? v) / ? u / ? v / ; (uv) / ? u / v ? uv / ; u / v ? uv / ?u? (v ? 0). ? ? ? v2 ?v? (3)复合函数的导数: y 3.导数的运用: (1)判断函数的单调性。 当函数 y=f(x)在某个区域内可导时,如果 f (x)>0,则 f(x)为增函数;如果 f (x)<0, / / / / x ? y/u ?u/ x 则 f(x)为减函数。 (2)极大值和极小值。 设函数 f(x)在点 x0 附近有定义, 如果对 x0 附近所有的点, 都有 f(x)<f(x0) (或 f(x)>f(x0)) , 我们就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值(或极小值) 。 (3)函数 f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的求法。 A 类例题 例 1 求函数的导数 (1) y ? 1? x (1 ? x 2 ) cos x ( 2) y ? ( ax ? b sin 2 ?x ) 3 (3) y ? f ( x 2 ? 1 ) (1 ? x)?(1 ? x 2 ) cos x ? (1 ? x)[(1 ? x 2 ) cos x]? (1)解 : y? ? (1 ? x 2 ) 2 ? cos 2 x ? ? ? ?(1 ? x 2 ) cos x ? (1 ? x)[(1 ? x 2 )? cos x ? (1 ? x 2 )(cos x)?] (1 ? x 2 ) 2 cos 2 x ?(1 ? x 2 ) cos x ? (1 ? x)[2 x cos x ? (1 ? x 2 ) sin x] (1 ? x 2 ) 2 cos 2 x ( x 2 ? 2 x ? 1) cos x ? (1 ? x)(1 ? x 2 ) sin x (1 ? x 2 ) 2 cos 2 x 3 2 (2)解 y=μ ,μ =ax-bsin ω x,μ =av-by v=x,y=sinγ γ =ω x y′=(μ 3)′=3μ 2·μ ′=3μ 2(av-by)′ =3μ (av′-by′)=3μ (av′-by′γ ′) =3(ax-bsin ω x) (a-bω sin2ω x) (3)解法一 设 y=f(μ ),μ = v ,v=x +1,则 2 2 2 2 2 y′x=y′μ μ ′v·v′x=f′(μ )· =f′( x 2 ? 1 )· 1

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