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排列组合


一、1.6 本不同的书,给甲 1 本,乙 2 本,丙 3 本。几种? 2.6 本不同书,分成 3 组,每组 2 本。 3.6 本不同书,分 3 组,一组一本,一组 2 本,一组 3 本。 4.6 本不同书,甲乙丙 3 人,一人 1 本,一人 2 本,一人 3 本。 我们先要分什么是分组什么是分配。分组是仅仅分组,不给人。分配是分好组后,让人去挑 选。首先我们不管解法只看题,大家注意区分第一题和第四题,第一题是规定了给的人,第 四题没有规定给谁。 1. 给甲 1 本,六本选一本 C61,给乙 2 本,剩下五本选 2 本,C52 ,给丙 3 本,C33,C 61 x C52 x C33 得答案。 当然也可以让丙先或乙先, C63 x C32 x C11 或 C62 x C 53 x C11 都是可以的结果都是一样的。也就是说,这种【限制了数量的分配】的时候,分 配的种类与人的挑选顺序无关。 这种题的式子就是【组合数的乘积】 2.假设有 x 种分法,每一种都是 2 个 2 个 2 个, 用 A33 乘以 x 是什么呢,我们知道分配是 分组以后再让人挑选。这里分好组后每组都看作一个大元素,3 个人挑选 3 个元素是 A33, 一种分组方法是 A33, 所以用 A33 乘以 x 种分法后就是总的分配方法。 而从第一题里知 道,分配的公式是 C62 x C42 x C22 ,所以这题的分组数是 C62 x C42 x C22 / A33 上面是从具体例子推出了组数的式子 从原理上看,为什么要除一个排列数呢。 因为这里的三组每组的元素数量都是一样的。 C 62 x C42 x C22 表示从 6 个选 2 个,再从 4 个选 2 个,再剩下 2 个。由于每次选的数量 一样多,就会重复。比如 123456, 第一次选了 12 第二次选 34 第三次选 56 和第一次选 56 第二次选 34 第三次选 12 是同一种分组方式,但是在用 C62 x C42 x C22 算的时候 把他们都算作不同的分组方式。 而第三题, 由于分成每组内元素数量都不一样多。 第一次选 1 个,第二次选 2 个,第三 次选 3 个。不会有重复的情况存在。 比如 123456,第一种分组是 1, 23,456 ,1 单独 一组,第二种 1 不单独一组的时候,必然是与另外一个或两个元素合在一起组成一组,不 会和第一种分组方式重复,所以第三题就不需要除以一个排列数。 那从这里面找一般规律怎么找呢。 第二题是平均分组,每组元素数量相同,排列数相乘产 生了重复的。第三题是不平均,每组元素数量不同,用排列数相乘没有产生重复的情况。 也就是说,【有均分组存在, 用 组合数之积除以排列数(阶乘)】 而且【有几组均分组 就除以几的阶乘】 。 用式子表达就是 , 【组数=组合数的积/均分组数阶乘】 举个例子,把 7 个不同的书分成 3 组,一组 3 本,两组 2 本。 这样的分组数就是, C73 x C42 xC22 / 2! (有 2 个均分组) 4. 没有限制谁挑几本的时候,我们先给他分组,分好组以后再让人去挑。 这里分成 X XX XXX 三组, 有几种情况呢。这里没有均分组,所以有 C61 x C52 x C33 种分组 方法,每一种分组方法里 ,每一组看成一个大元素,让 3 个不同的人挑选,属于排列,有 A33 种拿法。 所以再乘以 A33。 所以【未限制每人数量的分配问题】 , 解题的式子是 【分组数 x 人数阶乘】

实际上 我们可以发现 第一题是第四题众多情况中的一种,就是甲拿一本乙拿 2 本丙拿 3 本这一种。 所以分组数不需要乘以人数阶乘。 分组数乘以 1 就行了, 又因为分组数是 C 61 x C52 x C33,所以第一题答案就是 C61 x C52 x C33

二、将 6 个志愿者分为 4 组,其中两个组各 2 人,另两个组各 1 人。 分赴世博会 4 个不同 场馆服务,几种分配方案? 这题我们把他转化成上面的数学模型。 就是 6 本不同的书,分成 4 组,其中有 2 组 2 本, 有 2 组 1 本,4 个不同的人每人选 1 组,几种选法? 这里 同是 2 本的的均分组有 2 个, 1 本的均分组也有 2 个 。 所以分组数是 C62 X C42 X C21 X C21 / (2! x 2!) 4 个不同的人选 4 个元素,A44 所以答案是 C62 X C42 X C21 X C21 X A44 / (2! x 2!)
735161741: 后面 2 个不应该是 C21*C11? 2014-4-13 13:18 回复

这一原则的应用举一题为例 三、某学校开设 A 类选修课 3 门,B 类选修课 4 门,一位同学一共选 3 门,要求两类课各 至少选一门,有几种不同选法? 如果先从 A 里选一个,再从 B 里选一个,剩下一个可以从剩下 5 个课里面选,答案是 C31*C41*C51=60,这样的话 C51 里包含了前两类元素,就是说同种元素用了两个不同组 合数表示,所以不对。正确的方法是 C31*C42+C41*C32=30 分类以后保证每个组合数都 是选的同种元素。所以做题的时候大家不能贪图快,该分类的还是要分类讨论 组合的问题可以分为两类。 四、一是元素抽取。二是分组分配 元素抽取: 1.100 件产品,98 合格,2 件次品 (1)任意抽取 3 件几种 (2)3 件中恰有一件次品 (3)3 件中至少 1 次品 组合和排列的区别就是不需要顺序,只是把 n 个元素从 m 个中选出来,顺序不影响选的种 数。这题的第一问就是标准的组合。C100 3 即可 (2) 3 件恰有一次品意思是三件中只有一个次品, 我们可以分布挑选, 先调次品有 C21 种, 再挑合格的有 C98 2 种。 所以答案是 C21 x C98 2 (3)要注意这题和第二问的微小差别。至少的意思是可以有 1 个或 2 个次品。 对于至少或至多的问题都很容易想到用排除法,即用所有选法减去没有次品的选法, C100 3-C98 3 而直接法大家可能会出现 2 种解法。第一种先分类,恰有一件次品的选法加上恰有两件次 品的选法,C21 x C98 2 + C22 x C98 1=9604 第二种。先满足条件保证至少有一个次品 C21,然后剩下就可以随便选了是 C99 2

所以答案是 C21 x C99 2=9702. 发现这两种方法解出来的答案居然不一样到底哪里出问 题了呢。第二种方法比第一种算得多出 100 多。 对于第二种方法我们看式子是 C21*C99 2 前面保证了一个次品,后面的 C99 2 是在其余 的 99 个里面选,就会有可能也选到次品。而这两者之间是用乘号连接的,所以这个式子含 有排列的意义在里面。所以第二种方法比第一种方法多出不少。 那从这里我们可以得到什么呢。 第一种方法里也是乘号连接, 为什么没有错?因为第一种方 法是先从次品里选,再从所有合格品里选,次品与次品间不会有先后顺序。第二种方法选出 一个次品后,剩下 99 个里面含有一个次品,如果在里面选到次品,这样意义就是先选出一 个次品,再选出一个次品,包含了顺序的意义在里面,而组合是与顺序无关的。所以这样算 出来的结果会比正确的多出不少 在这个例子里面,把次品看作一类元素,合格品是一类元素。我们能得到一个组合的原则, 【同类的元素只能写在一个组合数里】,c21 和 c 99 2 里都含有次品这一类元素,违背了 这一原则所以是错误的对于排列组合的问题大家一定要善于分类找规律,不能盲目的刷题, 不然很容易忘的这次错了下次还会错。其实这一点对整个高中数学都是一样的不多说了。

排列 首先是单独的排列问题。 排列问题可以分成两大类:1.排序(排队) 2. 排数字 对于排序的问题。又有 3 类题型 1 相邻与不相邻 1.7 人站一排 (1)甲乙两人相邻 (2)甲乙两人不相邻 (3)甲乙丙三人相邻 (1) 相邻的问题把甲乙两人捆绑到一起看成一个新的大元素, 然后剩下 6 个元素进行排列。 捆绑甲乙两人的时候是两人排在两个位置排列。 所以 是 A22 乘 A66 (这里 A22 中第一 个 2 是排列数下标第二个数字是上标后面也一样) (2)甲乙不相邻可以用间接法。即用所有的排列的情况减去甲乙相邻的情况。 全排列是 A77 减去第一问中算出来的结果 所以式子是 A77 - A22 x A66 若是用直接法。 _x_x_x_x_x_ (x 表示一个人) 先把甲乙两人拿出来,留下五个人(x), 这样就有了 6 个空位。 把甲乙放到这 6 个空位随便放就可以做到两人不相邻。 因为留下 的五个人的位置可以随便排列,所以 是 A55(留下的 5 个人的排列)乘 A62(甲乙插空的 排列方式) (3) 类似(1) A33(甲乙丙先捆绑有 A33 种方法)x A55(把甲乙丙看成一个元素,剩 下有 5 个元素进行排列) 由这一题中可以总结出来的规律了,对于相邻和不相邻问题 一般的解题方法就是有捆绑法 插空法和间接法。 当然考试题目会换成别的情景比如停车之类的问题, 要判断题目的实质尽 量把题目还原到学过的解题的模型中。

2 部分元素特定顺序 7 人站一排 (1)甲乙之间有 1 人 (2)甲乙丙排序一定时,有几种排法 (3) 甲在乙左边(不一定 相邻)

(1)甲乙之间有一个人可以先留出 1 个空来。甲乙的位置排列有 A22 种排法( 甲_乙或乙 _甲 ) 然后就是在甲乙间插一个人,可以有 A51 种方法 ,然后再把 3 人捆绑成大元素, 剩下 5 个元素。 A55 所以式子就是 A22 x A51 x A55 (2) 甲乙丙排序有 A33=6 种情况。重要的是这 6 种情况在排列总数中各自数目是一样的。 当甲乙丙排序一定时是其中的 1 种情况。所以算出总的排列数除以 A33 即可。 答案为 A77/A33 (3)同 (2) 甲在乙和乙在甲左边的情况有 A22 种 且这两种情况出现次数一样。 所以 A77/A22 所以 可以找到的规律是 n 个人排队有 m 人有特定的顺序。 排法为 n!/m!
酩悦宸央: 求解。。。(1)那里为什么不是 C51 啊。。。 翻滚自戕: 好 2014-4-12 12:26 回复林林木木 ly: 回复 酩悦宸央 :这种在两人间插空的话都是排列因为顺序会

有导致有不同的种类。这里只是特殊情况因为只有一个空排列和组合都是一样多的
2014-4-12 15:05 回复酩悦宸央: 回复 林林木木 ly :哦,谢谢 2014-4-12 17:25 回复寡人 rongws: 回复 酩悦宸央 :A51 跟 C51 一样~

3 条件有交集 7 人排队,甲不最前,乙不最尾。几种排法 从题目中看,甲不最前,第一个位置有 6 种站法,第二个位置又有 6 种站法,所以最后答 案是 6x6x5x4x3x2x1 如果这样想就错了。 因为不仅甲不能站第一个,乙也不能站最后一个,如果简单的用乘法 原理,会有最后一个位可能站乙的情况包含进去。 对于这样的题一般需要分类讨论, 讨论的地方就在特殊的位置或元素, 在这题里,特殊位置有首尾两个,中间五个是普通位置。乙不能站在最尾,但是甲可以。 对于甲可以有两种情况。1.站最尾的特殊位置 2.站在普通位置 对于 1 : 甲站在最尾,乙的限制消除了,所以甲外的所有人可以随便排列是 A66 对于 2: 甲在 5 个普通位置有 5 种站法,甲站了一个中间的普通位置后,乙不能站最尾,有 5 种站法,剩下 5 个人还有 5 个位置排列。 所以是 A51 x A51 x A55 然后相加即可。 这题还可以用排除法 先不管题目限制,给所有人进行全排列,A77 。 然后减去题目限制的情况。即甲站第一个 位置,有 A66 种站法,乙站最尾有 A66 种站法,但这样甲和乙的站法会有交集即 甲站队 尾同时乙站队首的情况 有 A55 种, 所以 答案是 A77-A66+A55-A66 排列的第二大类问题。 排数字。 排数的问题比较容易,理解以后都是套路化的解题。 1. 0-9 这 10 个数字,组成多少个不重复数字的三位数 我们知道三位数首位不能是 0. 这样就有了特殊位置和特殊元素。 一般题目出现特殊位置

或特殊元素都是先从特殊的入手。 现在两者都出现,从哪个下手都可以。但是需要认识的 是,特殊位置是由特殊元素决定的。比如这里 0 是特殊元素,才导致了第一位特殊, 如果 0 是普通的元素,首位也不再特殊。 第一种解法。 特殊元素 : 0 是特殊元素,先考虑 0 的情况。 三位数含有 0 时, 0 只能放后两位,其余 9 个数可以在剩下两位随便放,所以是 A21 x A9 2 三位数不含 0 时,都是普通元素和普通位置,除 0 外的 9 个数可以随便排列。A93 相加即得答案 第二种方法 特殊位置 : 第一位不能放 0 , 所以有 9 种排法, A91 后 2 位可以随便放数 字。 A92 A91 x A92 为答案。 还可以用排除法。 先不管特殊的地方, A10 3 减去 0 做首位时的排列总数 A92 所以是 A 103 -A92

1kariya: 为什么是 A 不是 C 啊
1kariya: 不是在 9 个数字选三个吗?c 再乘 A

2. 0-5 6 个数字能组成几个不重复的四位数?从大到小排序第 100 项是?其中有几个偶数? 几个能被 3 整除?4 整除?5 整除? 这道题应该已经到了排列数字中的最高难度。 首先 6 个数字能组成几个不重复的四位数解题过程与上一题相似这里不再说了。 从大到小第 100 项,这类题也有固定解法。先排 5XXX 的四位数 有 A53=60 个 然后是 4XXX 的四位数 同理有 60 个。 所以第 100 个数在 4XXX 内 45XX 有 A42=12 个 43XX 有 12 个 42XX 有 12 个 。 此时共 96 个, 然后列举 4153 4152 4150 4135! 所以第 100 个为 4135 。 整除类问题也是有固定解法。 一般需要分类讨论。 问有几个偶数时,即尾数是 0.2.4 的就满足条件 0 做尾数时, 其他位置随便排列。 A53 2 为尾数时, 用排除法 A53-A42(剩下三个位置随便排减去 0 作首位的情况) 4 为尾数和 2 一样多 。 然后相加即可。

到这已经基本把排列的问题的一些解法都说完了, 做题的时候要做到灵活运用还是需要多练 练熟悉, 但是在做题的时候要时刻归归类想想题目是考的什么。 灵活的把题目的背景转化成 自己熟悉的数学模型。. 单独排列比较容易, 但是和组合一起就难了。 很多同学不能区分什么时候用排列什么时候用 组合以及有些情景实在抽象难以理解。这些都会在后面提到。

这里放几个小题目大家有时间可以看看 1. 用 01357 五个数能组成几个不重复且 5 不在十位的 5 位数 2. 火车上 10 人,有 5 个站,几种下车方式? 3. 5 个节目已排成节目单,现在再增加 2 个节目,插入原节目单有几种方法? 4. 4 个不同的红球,4 个不同的黑球排成一排,黑球红球分别在一起有几种不同排法? 5. 6 个车位.3 车停,要求 3 个空位连在一起,几种停法? 6. 3 人坐 8 位,每人左右都有空位。几种? 7. 5 大人带 2 小孩上山,小孩不排在一起也不排在头尾,几种? 8. 五男二女照相,男生甲在中间,两女生必相邻,符合的排法有几种?

lake103: 火车上 10 人,有 5 个站,几种下车方式 这道题为什么是 5 的 10 次方啊 为什么不

用隔板法 就是把 10 分到 5 个站这样不行吗
举报 | 2015-1-16 18:54 回复


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