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北京市西城区(北区)2012-2013学年高二上学期期末考试数学(文)试题


北京市西城区(北区)2012—2013 学年度第一学期高二年级期末考试数学(文 科)试卷
试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1. 在直角坐标系 xOy 中,原点到直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 的距离为( A. )

>5 5
2

B.

5

C. 5

D. 3 )

2. 若双曲线 x ? A. 1 的表面积是( A. 24?

y2 ? 1 (b>0)的离心率为 2,则实数 b 等于( b2 B. 2 C. 3 D. 3

3. 已知一个正方体的八个顶点都在一个球的表面上, 若此正方体的棱长为 2, 那么这个球 ) B. 12? C. 8? D. 6?

4. 设函数 f ( x) ? sin x 的导函数为 f ?(x) ,则 f ( ) ? f ?( ) 等于(

?

?

2

2



A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 5. 设 x,y∈R,则“x<0 且 y<0”是“ x ? y ? 4 ? 0 ”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充分必要条件 6. 已知直线 a 和两个平面 ? , ? ,给出下列两个命题: 命题 p:若 a∥ ? ,a⊥ ? ,则 ? ⊥ ? ; 命题 q:若 a∥ ? , a∥ ? ,则 ? ∥ ? 。 那么下列判断正确的是( ) A. p 为假 B. ?q 为假 7. 函数 f ( x) ? A. [0,2]
2

C. p∧q 为真

D. p∨q 为真

x ? 3x , x ? [0,5] 的值域是( ) x ?1 5 B. [0, ] C. [-1,2] 3


D. [-1,

5 ] 3

8. 已知矩形 ABCD,AB=2,BC=x,将△ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折, 在翻折过程中,则( A. 当 x=1 时,存在某个位置,使得 AB⊥CD B. 当 x= 2 时,存在某个位置,使得 AB⊥CD C. 当 x=4 时,存在某个位置,使得 AB⊥CD D. ? x>0 时,都不存在某个位置,使得 AB⊥CD 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横线上。 9. 命题“ ? x∈R, x 2 ? 0 ”的否定是 .. 11. 下图是一个几何体的三视图,那么这个几何体的体积等于 。 。 。 10. 设 a,b∈R,若直线 ax ? y ? b ? 0 与直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 垂直,则实数 a=

12. 过点(3, 3 )且与圆 x ? y ? 4 x ? 0 相切的直线方程是
2 2

。 。

13. 设函数 f ( x) ? x e 的导函数 f ?(x) ,则不等式 f ?( x) ? 0 的解集为
2 x

14. 设点 F1、F2 为双曲线 C: x ?
2

y2 ? 1 的左、右焦点,P 为 C 上一点,若△PF1F2 的面 3


积为 6,则 PF1 ? PF2 = 15. (本小题满分 13 分)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 设函数 f ( x) ? x ? ax ? 9 x 的导函数为 f ?(x) ,且 f ?(2) ? 15 。 (Ⅰ)求函数 f (x) 的图象在 x=0 处的切线方程;
3 2
[来源:Z.xx.k.Com]

(Ⅱ)求函数 f (x) 的极值。 16. (本小题满分 13 分) 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC⊥BC,AC=CC1,M 为 AB 的中点。 (Ⅰ)求证:BC1∥平面 MA1C; (Ⅱ)求证:AC1⊥平面 A1BC。

17. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C 的对称轴为坐标轴,且短轴长为 4,离心率为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设椭圆 C 的焦点在 y 轴上,斜率为 1 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,且

3 。 2

AB ?

16 2 ,求直线 l 的方程。 5

18. (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? a ln x ? x ,其中 a ? R ,且 a≠0. (Ⅰ)当 a=2 时,求函数 f (x) 在区间[1,e]上的最小值;

(Ⅱ)求函数 f (x) 的单调区间。 19. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P-ABC 中,底面△ABC 为等边三角形,∠APC=90° ,PB=AC=2PA =4,O 为 AC 的中点。 (Ⅰ)求证:BO⊥PA; (Ⅱ)判断在线段 AC 上是否存在点 Q(与点 O 不重合),使得△PQB 为直角三角形? 若存在,试找出一个点 Q,并求

AQ 的值;若不存在,说明理由。 QC

20. (本小题满分 14 分) 已知动圆 P(圆心为点 P)过定点 A(1,0),且与直线 x ? ?1 相切。记动点 P 的轨迹 为 C。 (Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设过点 P 的直线 l 与曲线 C 相切,且与直线 x ? ?1 相交于点 Q。试研究:在 x 轴上是否存在定点 M,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M?若存在,求出点 M 的坐标;若不 存在,说明理由。

【试题答案】 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 1. B 2. C 3. B 4. B 5. A 6. D 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9. ?x ? R, x 2 ? 0 13. 7. D 8. C

?x x ?0或x ? ?2?

10. 3 14. 9

11. 4?

12. x ? 3 y ? 6 ? 0

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。(如有其他方法,仿此给分) 15. (本小题满分 13 分)
2 解:(Ⅰ)因为 f ?( x) ? 3 x ? 2ax ? 9 ,

1分 3分

所以由 f ?(2) ? 15 ,得 a=3, 则 f ( x) ? x ? 3 x ? 9 x, f ?( x) ? 3 x ? 6 x ? 9 。
3 2 2

所以 f (0) ? 0, f ?(0) ? ?9 , 所以函数 f (x) 的图象在 x=0 处的切线方程为 y ? ?9 x 。 (Ⅱ)令 f ?( x) ? 0 ,得 x=-3 或 x=1。 当 x 变化时, f (x) 与 f ?(x) 的变化情况如下表: x (-∞,-3) + ↗ -3 0 27 (-3, 1) - ↘ 1 0 -5

4分 6分

[来源:Z_xx_k.Com]

7分

(1,+∞) + ↗

f ?(x) f (x)

11 分 即函数 f (x) 在(-∞,-3)上单调递增,在(-3,1)上单调递减,在(1,+∞)上 单调递增。 所以当 x=-3 时, f (x) 有极大值 27;当 x=1 时, f (x) 有极小值-5。 16. (本小题满分 13 分) 证明:(Ⅰ)如图,设 AC1∩A1C=O,连结 MO, 13 分

因为直三棱柱 ABC-A1B1C1, 所以四边形 AA1C1C 为矩形, 所以 AO=OC1, 在△AC1B 中,因为 AO=OC1,AM=MB, 所以 MO∥BC1. 又因为 BC1 ? 平面 MA1C,MO ? 平面 MA1C, 所以 BC1 ∥平面 MA1C。 (Ⅱ)在矩形 AA1C1C 中, 因为 AC=CC1, 3分 6分

所以 AC1⊥A1C。 因为直三棱柱 ABC-A1B1C1, 所以 CC1⊥BC, 又因为 AC⊥BC,AC∩CC1=C, 所以 BC⊥平面 ACC1A1, 所以 BC⊥AC1。 又因为 BC∩A1C=C,AC1⊥A1C, 所以 AC1⊥平面 A1BC。 17. (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)设椭圆 C 的长半轴长为 a(a>0),短半轴长为 b(b>0), 则 2b=4,

8分

10 分 11 分 13 分

a2 ? b2 3 ? 。 a 2

2分 3分

解得 a=4,b=2。 因为椭圆 C 的对称轴为坐标轴,

x2 y2 y2 x2 所以椭圆 C 的方程为标准方程,且为 ? ? 1或 ? ? 1。 16 4 16 4 (Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? x ? m ,A(x1,y1),B(x2,y2), ?y ? x ? m ? 由方程组 ? y 2 x 2 ,消去 y, ?1 ? ? ? 16 4 2 得 5 x ? 2mx ? m 2 ? 16 ? 0 , 2 2 由题意,得 ? ? (2m ) ? 20(m ? 16) ? 0 ,
且 x1 ? x 2 ? ? 因为 AB ?

5分 6分

7分 8分 9分

2m m ? 16 , , x1 x 2 ? 5 5
2

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2
16 2, 5
11

? 1 ? 1 x1 ? x 2 ? 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ?
分 所以 (?

2m 2 4(m 2 ? 16) 16 2 2, ) ? ? ( ) ,解得 m=± 5 5 5
13 分

验证知△>0 成立, 所以直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0或x ? y ? 2 ? 0 。 18. (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)由题意 f ( x) ? 2 ln x ? x, 则f ?( x) ? 令 f ?( x) ? 0, 得x ? 2 。
源:Zxxk.Com]

2 ? 1。 x

1分 2 分
[来

当 x 变化时, f ( x)与f ?( x) 的变化情况如下表: x 1 (1,2) + 2 0 (2,e) - e

f ?(x)

f (x)

-1



极大值



2-e 4分 5分 6分 7分

即函数 f (x) 在(1,2)上单调递增,在(2,e)上单调递减。 因为 f (1) ? f (e) , 所以当 x=1 时, f (x) 在区间[1,e]上有最小值-1。 (Ⅱ)函数 f ( x) ? a ln x ? x 的定义域为(0,+∞)。 求导,得 f ?( x) ? 当 a<0 时, 由 x>0,得 f ?( x) ?

a a?x 。 ?1 ? x x a?x ? 0。 x

所以 f (x) 在区间(0,+∞)上单调递减; 分 当 a>0 时, 令 f ?(x) =0,得 x=a。 当 x 变化时, f (x) 与 f ?(x) 的变化情况如下表: x (0,a) + ↗ a 0 极大值 (a,+∞) - ↘

9

10 分

f ?(x)

f (x)

即函数 f (x) 在(0,a)上单调递增,在(a,+∞)上单调递减。 综上,当 a<0 时,函数 f (x) 区间(0,+∞)上单调递减; 当 a>0 时,函数 f (x) 在(0,a)上单调递增,在(a,+∞)上单调递减。 19. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:如图,连结 PO, 在等边△ABC 中,因为 O 是 AC 的中点,且 AC=4, 所以 BO⊥AC,BO= 2 3 。 在直角△PAC 中,因为 O 是斜边 AC 的中点,且 AC=4, 所以 PO=2, 在△PBO 中,由 PB=4,得 PB2=PO2+BO2, 所以 BO⊥PO。
科网] [来源:学_科_网 Z_X_X_K]

13 分

3分

[来源:学

又因为 AC∩PO=O,AC ? 平面 PAC,PO ? 平面 PAC, 所以 BO⊥平面 PAC, 又因为 PA ? 平面 PAC, 所以 BO⊥PA。 (Ⅱ)答 :线段 AC 上存在点 Q,使得△PQB 为直角三角形。 7分 5分

具体过程如下: 如图,过 P 作 PM⊥AC 于点 M,连结 BM, 因为 BO⊥平面 PAC, 所以 BO⊥PM。 又因为 BO∩AC=O,BO ? 平面 ABC,AC ? 平面 ABC, 所以 PM⊥平面 ABC, 所以 PM⊥BM,即△PMB 为直角三角形。 故当点 Q 与点 M 重合时,△PQB 为直角三角形。 分 在直角△PAC 中,由∠APC=90° ,AC=2PA=4, 得 AM=1,(即 AQ=1),MC=3(即 QC=3), 所以当 12 10 分

AQ 1 AM 1 ? (即 ? ) 时,△PQB 为直角三角形。 QC 3 MC 3

14 分

20. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ) 因为动圆 P 过定点 A(1,0),且与直线 x=-1 相切, 所以圆心 P 到点 A(1,0)的距离与到直线 x=-1 的距离相等。 根据抛物线定义,知动点 P 的轨迹为抛物线,且方程为 C: y ? 4 x 。
2

4分

(Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,(易知斜率不存在的直线不符合要求) 由?

? y ? kx ? m ? y ? 4x
2

,消去 y 得 k x ? (2km ? 4) x ? m ? 0 ,
2 2 2 2 2 2

由题意,得 k≠0,且 ? ? (2km ? 4) ? 4k m ? 0 ,化简得 km=1。 设直线 l 与曲线 C 相切的切点 P(x0,y0),

6分

2 ? km 1 2 ? 2 , y 0 ? kx0 ? m ? , 2 k k k 1 2 所以 P ( 2 , ) , k k ? y ? kx ? m , 得Q?? 1 m ? k ? 。 , 由? ? x ? ?1
则 x0 ? 交 x 轴于点 M1(1,0),M2(-1,0); 若取 k ? 2, m ?

8分
2 2

若取 k=1,m=1,此时 P(1,2),Q(-1,0),以 PQ 为直径的圆为 x ? ( y ? 1) ? 2 ,

1 1 3 ,此时 P ( ,1), Q (?1,? ) 以 PQ 为直径的圆为 2 4 2 3 2 1 2 125 7 ,交 x 轴于点 M3(1,0),M4 (? ,0) 。 (x ? ) ? ( y ? ) ? 8 4 64 4

所以若符合条件的点 M 存在,则点 M 的坐标必为(1,0)。(即为点 A) 以下证明 M(1,0)就是满足条件的点。 因为 M 的坐标为(1,0),

10 分

1 2 ? 1, ), MQ ? (?2, m ? k ) , 2 k k 2 2m 2km ? 2 从而 MP ? MQ ? ? 2 ? 2 ? ?2? ?0, k k k2 故恒有 MP ? MQ ,
所以 MP ? ( 即在 x 轴上存在定点 M(1,0),使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M。

11 分

14 分


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