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数列三角换元题分析整合


数列三角换元题分析整合
By Liuzirui1122

引:这种题型常见于各类竞赛、自主招生中,模拟题和高考题中并不多见,一旦 出现往往也会有各种各样的提示所以难度不大。 网上关于这种题型的整合比较乱 而且分散。本篇主要提供一些常见的通项构造方法和技巧等。

一、结构特点 三角换元构造的数列题有着比较鲜明的特点, 一旦无法注意这些特点而当成普 通数列题去探索通项是非常危险的。 1、几乎每一题提供的递推方程中都含有平方项,大部分有根号。如
2 an ?1 ? an ? an ?1

值得注意的是含有平方的非线性递推数列往往是很难求通项的, 所以一旦看到提 供了这样的特点并且要求求通项,很可能就是三角换元。
2、提供的递推方程中极少出现 n,an 3、若第一问求通项,第二问要求证明的等式/不等式中含有三角函数或者π. 4、试着解出的 a1,a2,a3 中含有常见的三角函数值(注意熟记 15°的三角函数值)

二、常用参照公式 三角换元的递推式都是参照至少一种或一类三角函数公式为母本所构造的。 以 下提供了一些非常常见的参照公式:

cos 2 x ? 2cos 2 x ? 1 1 cos 2 x cos 2 x ? 1 ? sin 2 x tan 2 x ? 1 ? 2 tanx 1 ? tan 2 x sin,cos, tan,cot 的三倍角公式 tan 2 x ?
当发现这些参照公式时,只需令其中一个 an 为某一三角函数 f(φn)
(注意讨论定义域!)

解出形如 φn+1=kφn+b 或类似的递推式,再用正常方法求解 三、例题
2 例1:已知数列{an }满足a1 ? a, an ?1 ? 2an ? 1(n ? N * )

(1)a ? [?1,1]时, 求{an } (2)a ? R时, 求{an } 解(1)显然通过余弦二倍角公式进行构造 令a1 ? cos? , 则a2 ? 2cos 2 ? ? 1 ? cos 2? 猜想an ? cos 2n ?1? 由数学归纳法易证。 eix ? e ? ix 解(2)考虑到二倍角公式可以通过 cosx ? 证明 2 再由与 cos x类似的 cosh x的函数的值域 e x ? e? x 想到设a1 ? cosh x ? , 其中x = ln(a ? a 2 ? 1) 2 e x ? e? x 2 e 2 x ? e ?2 x 从而a2 ? 2( ) ?1 ? 2 2 猜想an ? cosh 2n ?1 x ? 数学归纳法易证 e2
n ?1

x

? e ?2 2

n ?1

x

?

(a ? a 2 ? 1) 2

n ?1

? (a ? a 2 ? 1) 2 2

n ?1

分析:例 1 的第(1)问很简单,显然调用了余弦二倍角公式即可求解。第(2)问如 果不会这种构造可能会相当麻烦,因为形如 an+1=kan2+b 的形式通过不动点或 者错项相减的做法是很难走下去的。 笔者归纳了形如例 1 的递推的情况,并且推导出如下规律:

2 2 若an ?1 ? kan ? ,则 k n ?1 n ?1 ? 2 x 2 ? x ?2 , 其中x为系数 ?当 a1 ? 时, an ? ? k k ? n ?1 ?当 a ? 2 时, a ? 2cos 2 ? , 其中? 为系数 1 n ? k k ? 有兴趣的读者可以试着讨论三次的情况(借助三倍角公式分析)

例2.(2007年 ? 第5届希望杯 ? 高二试题) 数列{an }中,a1 ? a (0 ? a ? 1), an ?1 ? 解 : 化简递推式
2 2 2an ?1 ? 1 ? 1 ? an 2 2 2(1 ? an ?1 ) ? 1 ? 1 ? an 2 1 ? 1 ? an

2

, 求an .

2cos 2 ? ? 1 ? cos 2? 对比上面两个式子,余弦二倍角公式的雏形已经出来了 a 2 可以看出 1 ? an ? cos n ?1 , 证明与例1大体相同 2

例3.(2010江苏南通中学期中-19-改)
2 已知数列{an }满足a1 ? 1, an ?1 ? an ? an ?1

(1)求数列{an }的通项公式; (2)求证 : a1 ? a2 ? ... ? an ? (n ? 1)? 2

解(1)考虑到cot? + cot 2 ? ? 1 ? cot ? ? 可猜想an ? cot( 解(2)cot ? tan(

?
2n ?1

1 ? ? cot sin ? 2

), 数学归纳法易证

?
4

? cot

?

8

? ... ? cot(

?
2n ?1

)

?
2

?

?
4

) ? tan(

?
2

?

?
8

) ? ... ? tan(

?
2 2

? ?

?
2 n ?1

)

由常见结论 sin ? ? ? ? tan ? , 原式 ? ? n? ? ? ? (n ? 1)? ? ( ? ? ... ? n ?1 ) ? 2 4 8 2 2

?

?
4

?

?
2

?

?
8

? ... ?

?
2

?

?
2n ?1

分析:本题第(2)问就是典型的利用通项来证明放缩的题型,难度都不大,只要 运用好三角函数的相关恒等式/不等式就可以轻松求解。

例4.已知数列{an }和{bn }满足 : a1 ? 1, a2 ? 2, a2 n ?1 ? 求通项{an } 解 : 补a0 ? 4, 联立两个递推式 得 a2 n ?1 1 a2 n ?1 a ? ? (1 ? ), 令 1 ? cos 2 ? ,? ? (0, ) a2 n 2 a2 n ? 2 a0 2 a2 n ? a2 n ?1 , a2 n ? 2 ? a2 n ?1a2 n 2

由a1 , a0得? ?

?
3

,由上面结论数学归纳法易证

a2 n ?1 ? ? cos 2 n , 联立a2 n ? 2 ? a2 n ?1a2 n 得 a2 n 2 a2 n ? 2 ? a ? ? sec n , 从而 2 n ? 2 ? cos n a2 n ?1 2 a2 n 2 累乘得a2 n ? cos ? sin sin

?
6

cos

?
12

cos

?
24

...cos

?
3 ? 2n ?1 cos

?2

?
3 ? 2n ? 2 cos

?

?
3? 2
n?2

...cos

?
24

cos

?
12

?
6

3? 2

n ?1

1 ? ? ? ? ? cos ...c os cos cos 2 3 ? 2n ? 3 24 12 6 ? ... ? sin 2n ? 2 sin

?
3

?

? 2n ?1 sin

3

?
3 ? 2n ?1

3 ? 2n ?1 再由递推式得 a2 n ?1 ? 3 2n tan

?
3 ? 2n

(n ? N * )

分析:本题难度较大,主要是开始的构造非常难以想象,以及最后的求积的思想 需要竞赛思维才能解决,再加上大量的运算。与本题类似的题型非常多,详见习 题部分。

四、习题

习题一: (2014 ? 2015江苏宿迁市沭阳县银河学校高三(上)开学检测)
2 数列{an }满足an ?1 ? 2an ? 1, aN =1且aN ?1 ? 1,其中N ? {2,3, 4,...}

(1)求证 : a1 ? 1 (2)求证 : a1 ? cos 习题二 : 已知数列满足a1 ? 2, b1 ? 2, an ?1 ? 求an , bn的通项. 习题三 : (2009江苏盐城一模) 给定正整数k , 正实数M , 对于满足a12 ? ak2?1 ? M 的所有等差数列{an } 求T ? ak ?1 ? ak ? 2 ? ... ? a2 k ?1的最大值. 习题四 : (来源 : 西神)
2 已知数列{an }满足a1 ? a (a ? 0), 且an ?1 ? a 2 ? aS n ? S n ,

k? 2N ?2

2anbn , b n ?1 ? an ?1bn an ? bn

S n是{an }的前n项和,求an .

习题一证明: (1)猜想: aN ? k ? 1,1 ? k ? N ? 1, k ? N *
2 2 (i )k ? 1时,由an ?1 ? 2an ? 1, aN =1, 得aN ?1 ? 1, 且a N ?1 ? 1,

所以aN ?1 ? ?1, aN ?1 ? 1成立 (ii )假设k ? m(1 ? m ? N ? 1, m ? N * )时
2 aN ? m ? 1, 则aN ? m ?1 ?

所以 aN ? m ?1

aN ? m ? 1 ? [0,1] 2 ? 1, 得证 a1 ? 1

(2) N ? 2时, a2 ? 1, a1 ? ?1 ? cos ? 假设N ? m(m ? 1)时, 存在k ? Z , 使得a1 ? cos N ? m ? 1时, 存在k 使得a2 ? cos 则a12 ? k? 2m ?1 k? 2m ? 2

a2 ? 1 k? ? cos 2 m ? 2 2 2 2 k? (2(m ?1) ? 2 ? 2k )? 所以a1 ? cos ( m ?1) ? 2 或a1 ? cos 2 2( m ?1) ? 2 所以无论N 取任何大于1的正整数,都存在k 使得 a1 ? cos k? 2N ?2

习题二证明略,参考例 4 作答

习题三证明 : cos a ? sin a k ak ?1 ? ak ? 2 ? ... ? a2 k ?1 ? a1 ? .. ? ak ?1 ? k (k ? 1)d a1 ? M sin a, ak ?1 ? M cos a, d ? M (a1 ? ak ?1 )(k ? 1) ? (k ? 1) M (cos a ? sin a) 2 M (k ? 1)(3cos a ? sin a) ? 2 10M (k ? 1) 最大值= 2 ?

习题四证明 : 构造一个等边三角形OAA1 , O ? 令a1 ? OA1 ? a 由余弦定理得AA1 ? OA2 ? OAOA1 ? OA12 ? 3a 在射线OA1上取点A2使得A1 A2 ? AA1 由余弦定理得AA2 ? OA2 ? OA(OA1 ? A1 A2 ) ? (OA1 ? A1 A2 ) 2 重复以上步骤 可以得到递推式AAk ? OA2 ? OAOAk ? OAk2 且OAk ?1 ? Ak ?1 Ak ? ak ,OAk ? S k (k ? 2) 满足题设递推式. 且由三角形边角关系易得OAn A ? OA AAn ?1 从而由正弦定理, ? sin OAn A sin O 即an ? 2sin 3 2? , OA ? OA1 ? a 3

?
6 ? 2n ?1

?
3 ? 2n ?1

a


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