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【与名师对话】2015新课标A版数学理一轮复习课时作业:7-2 Word版含解析]


课时作业(四十二)
一、选择题 1.(2013· 内江市第二次模拟)已知一个几何体的三视图如图,则 该几何体的体积为( )

2 A.3 4 B.3 C.2 D.4 解析:该几何体为底面是正方形有一条侧棱垂直于底面的四棱 锥,如图.SD⊥底面 ABCD,SD=2,四边形 ABCD 为正方形,边长 1 2 为 1,所以棱锥的体积为 V=3×1×2=3,

选 A.

答案:A 2.(2013· 山东潍坊模拟)有一平行六面体的三视图如图所示,其 中俯视图和左视图均为矩形,则这个平行六面体的表面积为( )

A.21 3 B.6+15 3 C.30+6 3 D.42 解析:如图该平行六面体上、下、右、左面为矩形,前、后面为 平行四边形表面积 S=3×3×2+2×3×2+3× 3×2=30+6 3,故 选 C.

答案:C 3.(2013· 石家庄市高三模拟)已知正三棱锥 P-ABC 的主视图和 俯视图如图所示,则此三棱锥的外接球的表面积为( )

A.4π 16π C. 3

B.12π 64π D. 3

解析:由三棱锥的主视图知,棱锥的侧棱为 4,由俯视图知底面 3 边长为 2 3,如图,O′为△ABC 中心,O 为外接球球心,O′C= 3 BC=2,PC=4,∴PO′=2 3.OO′=2 3-R,∴(2 3-R)2+4= R2,解得 R= 答案:D 4 64 ,∴外接球表面积 S=4πR2= 3 π,选 D. 3

4.(2014· 河南开封高三接轨考试)已知某几何体的三视图如图所 示,其中俯视图中圆的直径为 4,该几何体的体积为 V1,直径为 4 的 球的体积为 V2,则 V1∶V2=( A.1∶2 C.1∶1 ) B.2∶1 D.1∶4

解析:由三视图可知,几何体为圆柱中间挖去一个圆锥,

1 16 故 V1=22π×2-22π×2×3= 3 π 4 32 V2=3π×23= 3 π, 故 V1∶V2=1∶2,选 A. 答案:A 5.(2013· 河北唐山第二次模拟)一个由八个面围成的几何体的三 视图如图所示,它的表面积为( )

A.4 3 C.12 解析:

B.8 D.4 2

由三视图可知,几何体为正八面体,棱长为 2. 3 1 ∴S 表= 2× 2× 2 ×2×8=4 3. 答案:A 6.(2013· 辽宁六校联考)从一个正方体中截去部分几何体,得到 的几何体的三视图及尺寸(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是 ( )

22 A. 3 cm3 47 B. 6 cm3 23 C. 3 cm3 D.8 cm3

解析:该几何体的直观图是棱长为 2 的正方体截去一角,其体积 1 1 47 V=23-3×2×1×1×1= 6 (cm3),故选 B. 答案:B 7.

(2013· 云南昆明高三调研)如图,若一个空间几何体的三视图中, 正视图和侧视图都是直角三角形,其直角边长均为 1,则该几何体的 表面积为( )

A.1+ 2 B.2+2 2 1 C.3 D.2+ 2

解析:依题意得,题中的几何体是底面为正方形,侧棱垂直于底 面的四棱锥 P-ABCD, 其中底面边长为 1, PD=1, PD⊥平面 ABCD, 1 1 1 2 S△PAD=S△PCD=2×1×1=2, S△PAB=S△PBC=2×1× 2= 2 , S 正方形 ABCD =12=1,因此该几何体的表面积为 2+ 2,选 D. 答案:D 8. (2013· 河南洛阳统考)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,SA⊥平面 ABC,SA=2 3,AB=1,AC=2,∠BAC=60° , 则球 O 的表面积为( A.4π C.16π ) B.12π D.64π

解析:取 SC 的中点 E,连接 AE、BE,依题意,BC2=AB2+AC2 -2AB· ACcos 60° =3,∴AC2=AB2+BC2,即 AB⊥BC.又 SA⊥平面 ABC,∴SA⊥BC,又 SA∩AB=A,∴BC⊥平面 SAB,BC⊥SB,AE 1 =2SC=BE,∴点 E 是三棱锥 S-ABC 的外接球的球心,即点 E 与点 1 1 O 重合,OA=2SC=2 16π,选 C. 答案:C 二、填空题 SA2+AC2=2,球 O 的表面积为 4π×OA2=

9.(2013· 河南郑州第一次质量预测)一个几何体的三视图如图所 示(单位:m),则该几何体的体积为________m3. 解析:由三视图知,该几何体是由一个长方体和一个圆锥拼接而 1 成的组合体,故其体积 V=3×2×1+3×π×12×3=6+π. 答案:6+π 10.(2013· 吉林长春三校调研)已知一个棱长为 2 的正方体,被一 个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 ________.

解析:根据三视图,我们先画出其几何直观图,几何体为正方体 切割而成,即正方体截去一个棱台.如图所示,故所求几何体的体积 17 V= 3 . 17 答案: 3 11.(2013· 吉林长春第一次调研)若一个正四面体的表面积为 S1, S1 其内切球的表面积为 S2,则S =________.
2

3 2 解析:设正四面体棱长为 a,则正四面体表面积为 S1=4·4 · a 1 1 6 6 = 3a2,其内切球半径为正四面体高的4,即 r=4·3 a= 12 a,因此 πa2 S1 3a2 6 3 内切球表面积为 S2=4πr2= 6 ,则S = π = π . 2 2 6a 6 3 答案: π 三、解答题

12.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底 边长为 8、高为 4 的等腰三角形,侧视图是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形.求 (1)该几何体的体积 V;

答案图(2)该几何体的侧面积 S. 解:由三视图可知,该几何体底面是边长为 8 和 6 的矩形,高为 4. 顶点在底面射影恰为底面矩形的中心.如图,E、F 分别为 CD、 BC 的中点,易求 PE=4 2,PF=5. 1 1 ∴(1)V=3S 矩形 ABCD· PO=3×6×8×4=64. 1 ?1 ? PF+2CD· PE? (2)S=2×?2BC·
? ?

1 ?1 ? =2×?2×8×5+2×6×4 2?=40+24 2.
? ?

[热点预测] 13.(1)(2013· 襄阳调研统一测试)在矩形 ABCD 中,AB=4,BC =3,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B-AC-D,则四面体 ABCD 的外接球的体积为( )

125π A. 12 125π C. 6

125π B. 9 125π D. 3

(2)(2013·北 京 朝 阳 期 末 考 试 ) 在 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 P1,P2 分别是线段 AB,BD1(不包括端点)上 的动点,且线段 P1P2 平行于平面 A1ADD1,则四面体 P1P2AB1 的体积 的最大值是( 1 A.24 1 C.6 ) 1 B.12 1 D.2

(3)(2013· 东北三校第二次联考)在底面半径为 3,高为 4+2 3的 圆柱形有盖容器内,放入一个半径为 3 的大球后,再放入与球面、圆 柱侧面及上底面均相切的小球,则放入的小球的个数最多为( A.4 个 C.6 个 B.5 个 D.7 个 )

解析:(1)依题意,外接球的球心在 Rt△ACD 的斜边 AC 的中点, 1 5 ∵AB=4,BC=3,由勾股定理求得外接球的半径 R=2AC=2,∴四 面体 ABCD 的外接球的体积为: 4 ?5?3 125π ? ?· V=3· π = 2 6 ,故选 C.
? ?

(2)可设 AP1=x, 则 BP1=1-x, 因线段 P1P2 平行于平面 A1ADD1, 故由相似比例可得 P2 到面 P1AB1 的距离为 1 - x ,故所求四面体 1 1 1 1 ?x+1-x?2 ?= P1P2AB1 的体积 V=3×2×x×1×(1-x)=6x(1-x)≤6×? 2 ? ? 1 1 ,当且仅当 x = 24 2时取等号.

(3)由题可得图 1, O1O=3+r, O1A=4+2 3-3-r=1+2 3-r, OA=3-r,△O1OA 为直角三角形,所以由勾股定理得(3+r)2=(3- r)2+(1+2 3-r)2,解得 r=1,放入的小球的半径为 1.由图 2 知 OO1 =OO2=3-1=2,O1O2=2,所以∠O1OO2=60° ,所以放入小球的个 数最多为 6 个,选 C.

答案:(1)C (2)A (3)C


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