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数学:1.2《排列组合》课件(新人教A版选修2-3)


引例
从甲、乙、丙3名同学中选出2名参 加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的活动, 1名同学参加下午的活动,有多少种不同的方法?
解决这个问题,需分2个步骤: 第1步,确定参加上午活动的同学,从3人中任选1人有 3种方法; 第2步,确定参加下午活动的同学,只能从余下的2人 中选,有2种方法. 根据分步计数原理,共有:3×2=6 种不同的方法.

问题1

问题2:从a、b、c这3个字母中,每次 取出2个按顺序排成一列,共有多少种不同 的排法?并列出所有不同的排法。

这里的每一种排法就是一个排列。

讨论题
由数字1,2,3,4可以组成多少个没有重复 数字的三位数?
12 1

{
{ {

{
{

13 14

31
3 32 34

{ {
{

12 12 13 13 14 14 31 31 32 32 34 34

3 4 2 4 2 3 2 4 1 4 1 2

21 2

{ {

23 24

{ { {

41
4 42 43

{
{ {

21 21 23 23 24 24 41 41 42 42 43 43

3 4 1 4 1 3 2 3 1 3 1 2

排列定义
一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按 照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个排列. 排列的定义中包含两个基本内容: 一是“取出元素”;二是“按照一定顺序排列”.“一 定顺序”就是与位置有关,这也是判断一个问题是不是排列 问题的重要标志. 根据排列的定义,两个排列相同,当且仅当这两个排 列的元素完全相同,而且元素的排列顺序也完全相同. 如果两个排列所含的元素不完全一样,那么就可以肯 定是不同的排列;如果两个排列所含的元素完全一样,但 摆的顺序不同,那么也是不同的排列.

练习
练习1.下列问题中哪些是排列问题?如果是
在题后括号内打“√”,否则打“×”.
(1)50位同学互通一封信,问共通多少封信?
(2)50位同学互通一次电话,问共通多少次?

( )
( )

(3)平面内有8个点,其中任意3点不共线,由这些点可 得到多少条直线? ( ) (4)平面内有8个点,其中任意3点不共线,由这些点可 得到多少条射线? ( )

(5)某商场有4个大门,若从一个门进去,购物后从一个 门出来,有多少种不同的出入方式? ( )

从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素 的所有排列的个数,叫做从n个不同的元素中 m 取出m个元素的排列数。用符号 An 表示。
问题1 :从3个不同的元素中取出2个元素的排列 数,记为

A ? 3? 2 ? 6
2 3

问题2 : 从4个不同的元素中取出3个元素的排 列数,记为

A ? 4 ? 3 ? 2 ? 24
3 4

从n个不同元素中取出2个元素的排列数

A

2 n 是多少?

A

3 呢? n

A 呢?

m n

排列数公式 A ? n (n ? 1) (n ? 2)?(n ? m ? 1)
m n

1.排列数公式的特点:第一个因数是n,后面每一个因 数比它前面一个因数少1,最后一个因数是n-m+1,共 有m个因数. 2.全排列:当 n ? m 时即 n 个不同元素全部取出的一个排列. A n ? n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ??? 2 ? 1 ? n! (叫做 n 的阶乘) 全排列数: n
m 3.公式变形: An ? n ? (n ? 1) ??? (n ? m ? 1)

n ? ( n ? 1) ??? 2 ? 1 n! ? ? ( n ? m ) ? ( n ? m ? 1) ? ?? 2 ? 1 ( n ? m )!

注:规定 0! ? 1 ,其中 m ≤ n

练习一(巩固排列数公式): 2 1.计算: A 20 ; . 380 2.若 A ? 17 ? 16 ? 15 ??? 5 ? 4 , 17 则 n ? ____, m ? ____ . 14
m n

3.若 n ? N * , 且55 ? n ? 69 , 则 (55 ? n)(56 ? n)?(68 ? n)(69 ? n) 用排列数符号 15 表示 ______. 69? n

A

阶乘变形

(1)2? 1!=2!,3? 2!=3!?(n+1) n!=(n+1)! ?

(2)1!+1? 1!=2!,2!+2? !=3!? n!+n? =(n+1)! 2 n!
2! 3! (n+1)! (3) =1!, =2!? =n ! 2 3 n+1
(4)2!-1!=1!,3!-2!=2? ?(n+1)!-n!=n? 2! n!

1 1 1 1 1 2 1 1 n (5) - = , - = ,? = 1! 2! 2! 2! 3! 3! n! (n+1)! (n+1)!

例2:化简:1!+2·2!+3·3!+…+n·n!

小结
排列问题,是取出m个元素后,还要按一定的顺 序排成一列,取出同样的m个元素,只要排列顺序不 同,就视为完成这件事的两种不同的方法(两个不 同的排列). 由排列的定义可知,排列与元素的顺序有关,也 就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题.当元 素较少时,可以根据排列的意义写出所有的排列.


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