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3.推理与证明


推理与证明
1.由“若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c ”推理到“若 a ? b ,则 ac ? bc ”是( A.归纳推理 B.类比推理 C.演绎推理

) D.不是推理

2.分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的( ) A: 充分条件 ; B:必要条件;C: 充要条件 D: 等价条件; 3.用反证法证明“若 a,b,c<3,则 a,b,c 中至少有一个小于 1”时, “假设”应为 A.假设 a,b,c 至少有一个大于 1 C.假设 a,b,c 至少有两个大于 1 B.假设 a,b,c 都大于 1 D.假设 a,b,c 都不小于 1 9. 用数学归纳法证明 1 ? a ? a ? ? ? a
2 n? 2

?

1 ? a n ?3 * ( a ? 1, n ? N ) ,在验证当 n ? 1 时,等 1? a

式左边应为 A. 1 B. 1+a C. 1+a ? a
2

D. 1+a ? a ? a
2

3

10.观察下列各式: 55 = 3125,56 = 15625,57 = 78125, A.3125 B.5625 C.0625

,则 5

2013

的末四位数字为 D.8125 ( )

11.如图1所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”, 它们是由整数的倒数组成的,第 n 行有 n 个数且两端

1 ? n≥2? ,每个数是它下一行左右相邻两数 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 的和,如 ? ? , ? ? , ? ? ,?, 1 2 2 2 3 6 3 4 12
的数均为 则第7行第4个数(从左往右数)为 ( )

1 1 1 2
1 3 1 6

1 2
1 3

1 4 1 20

1 12 1 30
图1

1 12

6.用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于 60 ”时,应假设 o o A.三个内角都不大于 60 B.三个内角都大于 60 o o C.三个内角至多有一个大于 60 D.三个内角至多有两个大于 60 7.有一段演绎推理是这样的: “直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线 b? 平面 ,直线 平面 ? ? ,直线 b ∥平面 ? ,则直线 b ∥直线 a ”的结论显然是错误的, a ? ? 这是因为 ( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误

o

A.

1 140

B.

1 105

C.

1 60

D.

1 42

1 5

1 4 1 20

1 5

???????????????

1

12.将正奇数按照如下规律排列,则 2015 所在的列数为 第1列 第2列 第3列 第4列 第 1 行: 1 第 2 行: 3 5 第 3 行: 7 9 11 第 4 行: 13 15 17 19 ?? A.16 B.17 C.18 D.19

17、 (本小题满分 12 分) ?? 已知 a,b,c 是全不相等的正实数,求证

b?c?a a?c?b a?b?c ? ? ? 3。 a b c

13. 把 正 整 数 按 下 图 所 示 的 规 律 排 序 , 则 从 2003 到 2005 的 箭 头 方 向 依 次 为 (



14.若等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,则数列{

Sn }为等差数列,公差为 d .类似地, n 2

若正项等比数列{bn}的公比为 q,前 n 项积为 Tn,则数列{ n Tn }为等比数列,公比为_________.
n 15. 用数学归纳法证明:(n ? 1)(n ? 2)?(n ? n) ? 2 ?1? 3 ??? (2n ? 1) 时,从“ k 到 k ? 1 ”

左边需增加的代数式是______________________. 16.在等差数列 ?an ? 中,若 a20 ? 0 ,则有

a1 ? a2 ?

? an ? a1 ? a2 ?

? a39?n (n ? 39, n ? N ? ) 成立.类比上述性质,在等比数列

?bn ? 中,若 b20 ? 1 ,则有

2

bc ? 1 ,则 a 2 ?b2 ?c 2 ?d 2 ?a b? c d ? 20. (10 分) 用反证法证明: 若 a, b, c, d ? R , 且 ad ?

1

22. 在各项为正的数列 {an } 中,数列的前 n 项和 Sn 满足 S n ? (1)求 a1 , a2 , a3 ;

1? 1? ? , an ? ? ? 2? an ? ?

(2)由(1)猜想数列 ?an ? 的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.

2 2 2 21.(1) 已知: a , b, c 都是正实数,且 ab ? bc ? ca ? 1. 求证: a ? b ? c ? 1 .

(2)若下列三个方程: x2 ? 4ax ? 4a ? 3 ? 0, x2 ? (a ?1) x ? a2 ? 0, x2 ? 2ax ? 2a ? 0 中至 少有一个方程有实根,试求 a 的取值范围.

23.( 本小题满分 12 分) 设 an ? 1 ?

1 1 ? ? 2 3

?

1 n ? N ? ? ,是否存在一次函数 g ? x ? ,使得 ? n

a1 ? a2 ? a3 ?
的结论.

并试用数学归纳法证明你 ? an?1 ? g ? n?? an ?1? 对 n ? 2 的一切自然数都成立,

3

24.是否存在一个等差数列{an},使得对任何自然数 n,等式: a1+2a2+3a3+?+nan=n(n+1)(n+2) 都成立,并证明你的结论.

1 1 1 ? ? ? ? , (n ? N ? , n ? 1) 2 3 n n 用数学归纳法证明: S2 n ? 1 ? (n ? N ? , n ? 1) 2
26.知 S n ? 1 ?

25.(12 分)用数学归纳法证明:1 ?

1 1 ? ? 22 32

?

1 1 ? 2 ? (n ? N * , n ? 2). 2 n n

4


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