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福建省漳州市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析


福建省漳州市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题意要求的. 1. (5 分)下列式子中,不正确的是() A.3∈{x|x≤4} B.{﹣3}∩R={﹣3} C.{0}∪?=? D.{﹣ 1}?{x|x<0}

2. (5 分)如果 和 是两个单位向量,那么下列四个结论中正确的是() A. = B. ? =1 C.
2



2

D.| | =| |

2

2

3. (5 分)函数 f(x)= A.[0,1)

lg(1﹣x)的定义域为() B.(0,1) C.(0,1]

D.[0,1]

4. (5 分)与﹣463°终边相同的角可以表示为(k∈Z) () A.k?360°+463° B.k?360°+103° C.k?360°+257° 257° 5. (5 分)已知 a,b∈R,若 a>b,则下列不等式成立的是() A.lga>lgb B.0.5 >0.5
a b

D.k?360°﹣

C.

D.

6. (5 分)已知向量 , 满足| |=| |=2, 与 的夹角为 120°,则| ﹣ |的值为() A.1
x

B.

C.

D.12

7. (5 分)函数 f(x)=3 +x﹣2 的零点所在的一个区间是() A.(1,2) B.(0,1) C.(﹣2,﹣1) 8. (5 分)已知函数 A. B.x=0 ,则它的一条对称轴方程为() C.

D.(﹣1,0)

D.

9. (5 分)要得到函数 A.向左平移 个单位纵坐标不变

的图象,只需将函数

的图象上所有点()

B. 向左平移 C. 向右平移 D.向右平移

个单位纵坐标不变 个单位纵坐标不变 个单位纵坐标不变

10. (5 分)函数 f(x)=a ﹣ (a>0,a≠1)的图象可能是()

x

A.

B.

C.

D.

11. (5 分) A.4

sin

π+ B .1

cos

π 的值是() C.﹣4
2

D.﹣1

12. (5 分)已知函数 f(x)=x,g(x)为偶函数,且当 x≥0 时,g(x)=x ﹣2x.记 .给出下列关于函数 F(x)=max{f(x) ,g(x)}(x∈R)的说法: ①当 x≥3 时,F(x)=x ﹣2x; ②函数 F(x)为奇函数; ③函数 F(x)在[﹣1,1]上为增函数; ④函数 F(x)的最小值为﹣1,无最大值. 其中正确的是() A.①②④ B.①③④
2

C.①③

D.②④

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡的相应位置. 13. (4 分)已知函数 f(x)的定义域和值域都是{1,2,3,4,5},其对应关系如下表所示, 则 f(f(4) )=. x 1 2 3 4 5 f(x) 5 4 3 1 2

14. (4 分)已知向量 =(3,1) , =(x,﹣3) ,若 ⊥ ,则 x=.

15. (4 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,﹣ 如图所示.则函数 f(x)的表达式为 f(x)=.

<φ<

)一个周期的图象

16. (4 分)设定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(tanx)= +f( )+…+f( )= .

,则 f(2)+f(3)+…+f+f( )

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知 tanα=﹣2,求: α 的值.

18. (12 分)已知二次函数 f(x)满足:f(0)=f(1)=1,且 (Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)求 f(x)在 的值域.



19. (12 分)已知函数 (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间; (Ⅱ)求函数 f(x)在



上的最值及取得最值时自变量 x 的取值.

20. (12 分)某企业拟用 10 万元投资甲、乙两种商品.已知各投入 x 万元,甲、乙两种商品 可分别获得 y1,y2 万元的利润,利润曲线 P1,P2 如图所示.问怎样分配投资额,才能使投资 获得最大利润?

21. (12 分)已知 f(α)=



(Ⅰ)化简 f(α) ; (Ⅱ)若 f(α)= ﹣cosα,且 α∈(0,π) ,求 sinα﹣cosα 的值.

22. (14 分)已知函数

为奇函数.

(Ⅰ)若 f(1)=5,求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)当 a=﹣2 时,不等式 f(x)≤t 在[1,4]上恒成立,求实数 t 的最小值; x (Ⅲ)当 a≥1 时,求证:函数 g(x)=f(2 )﹣c(c∈R)在(﹣∞,﹣1]上至多有一个零点.

福建省漳州市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题意要求的. 1. (5 分)下列式子中,不正确的是() A.3∈{x|x≤4} B.{﹣3}∩R={﹣3} C.{0}∪?=? D.{﹣1}?{x|x<0} 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 集合. 分析: 本题的关键是正确认识元素与集合的关系,集合与集合的关系. 解答: 解:对于 A,3≤4,故 A 正确 对于 B,{﹣3}∩R={﹣3},故 B 正确 对于 C,{0}∪?={0},故 C 错误 对于 D,﹣1<0,故 D 正确 故答案为:C

点评: 本题主要考查集合的基本运算,属于基础题.要正确判断两个集合间的关系,必须 对集合的相关概念有深刻的理解,善于抓住代表元素,认清集合的特征.

2. (5 分)如果 和 是两个单位向量,那么下列四个结论中正确的是() A. = B. ? =1 C.
2



2

D.| | =| |

2

2

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用单位向量的定义和数量积的性质即可得出. 解答: 解:∵ 和 是两个单位向量, ∴ .

故选:D. 点评: 本题考查了单位向量的定义和数量积的性质,属于基础题. 3. (5 分)函数 f(x)= lg(1﹣x)的定义域为() A.[0,1) B.(0,1) C.(0,1] 考点: 专题: 分析: 义域. 解答:

D.[0,1]

函数的定义域及其求法. 函数的性质及应用. 根据函数 f(x)的解析式,列出使解析式有意义的不等式组,从而求出 f(x)的定 解:要使函数 f(x)的解析式有意义,得:

解得:0≤x<1; 所以原函数的定义域是:[0,1) . 故选:A 点评: 本题考查了求函数定义域的问题,解题时应根据函数的解析式,列出使解析式有意 义的不等式组,从而求出定义域,是基础题. 4. (5 分)与﹣463°终边相同的角可以表示为(k∈Z) () A.k?360°+463° B.k?360°+103° C.k?360°+257°

D.k?360°﹣257°

考点: 终边相同的角. 专题: 计算题. 分析: 直接利用终边相同的角的表示方法,写出结果即可. 解答: 解:与﹣463°终边相同的角可以表示为:k?360°﹣463°, (k∈Z) 即:k?360°+257°, (k∈Z) 故选 C 点评: 本题考查终边相同的角,是基础题.

5. (5 分)已知 a,b∈R,若 a>b,则下列不等式成立的是() A.lga>lgb B.0.5 >0.5
a b

C.

D.

考点: 不等式比较大小. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: A.通过 a,b 取特殊值,即可得出选项的正误; B.由 a>b,利用指数函数的单调性即可得出,不正确; C.通过 a,b 取特殊值,即可得出选项的正误; D.利用函数 f(x)= 在 R 上单调递增即可得出,正确.

解答: 解:对于 A.取 a=﹣1,b=﹣2,无意义,不正确; a b 对于 B.∵a>b,∴0.5 <0.5 ,不正确; 对于 C.取 a=﹣1,b=﹣2,无意义,不正确; 对于 D.由于函数 f(x)= 在 R 上单调递增,又 a>b,因此 ,正确.

故选:D. 点评: 本题考查了指数函数、对数函数与幂函数的单调性,不等式的性质,属于基础题.

6. (5 分)已知向量 , 满足| |=| |=2, 与 的夹角为 120°,则| ﹣ |的值为() A.1 B. C. D.12

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 运用向量的数量积的定义和性质,向量的平方即为模的平方,由完全平方公式计算 即可得到. 解答: 解:由向量 与 的夹角为 120°,| |=| |=2, 则 即有| = =2×2×cos120°=﹣2, |= =2 . =

故选 B. 点评: 本题考查向量的数量积的定义和性质,主要考查向量的平方即为模的平方,属于基 础题. 7. (5 分)函数 f(x)=3 +x﹣2 的零点所在的一个区间是() A.(1,2) B.(0,1) C.(﹣2,﹣1) 考点: 函数零点的判定定理;二分法求方程的近似解.
x

D.(﹣1,0)

专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 易知函数 f(x)=3 +x﹣2 在 R 上单调递增且连续,从而由函数的零点的判定定理求 解. x 解答: 解:易知函数 f(x)=3 +x﹣2 在 R 上单调递增且连续, 且 f(0)=1+0﹣2=﹣1<0, f(1)=3+1﹣2=2>0; 故函数 f(x)=3 +x﹣2 的零点所在的一个区间是(0,1) ; 故选 B. 点评: 本题考查了函数的零点的判定定理的应用,属于基础题.
x x

8. (5 分)已知函数 A. B.x=0

,则它的一条对称轴方程为() C. D.

考点: 正弦函数的图象. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 利用正弦函数的对称性,可知 2x+ 解答: 解:由 2x+ 令 k=0,得 x= , , =kπ+ ,得 x= + =kπ+ (k∈Z) ,k 赋值为 0 即可求得答案.

(k∈Z) ,

∴它的一条对称轴方程为 x=

故选:C. 点评: 本题考查正弦函数的对称性,熟练掌握正弦函数的对称轴方程是解决问题的关键, 属于基础题.

9. (5 分)要得到函数 A.向左平移 B. 向左平移 C. 向右平移 D.向右平移 个单位纵坐标不变 个单位纵坐标不变 个单位纵坐标不变 个单位纵坐标不变

的图象,只需将函数

的图象上所有点()

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件利用诱导公式,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论.

解答: 解:将函数 可得函数 y=sin (x+

的图象上所有点向左平移 )=sin( + )=cos(

个单位纵坐标不变, )的图象,

﹣ )=cos( ﹣

故选:A. 点评: 本题主要考查诱导公式的应用,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题. 10. (5 分)函数 f(x)=a ﹣ (a>0,a≠1)的图象可能是()
x

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先判断函数的单调性,再判断函数恒经过点(﹣1,0) ,问题得以解决. 解答: 解:当 0<a<1 时,函数 f(x)=a ﹣ ,为减函数, 当 a>1 时,函数 f(x)=a ﹣ ,为增函数, 且当 x=﹣1 时 f(﹣1)=0,即函数恒经过点(﹣1,0) , 故选:D 点评: 本题主要考查了函数的图象和性质,求出函数恒经过点是关键,属于基础题.
x x

11. (5 分) A.4

sin

π+ B. 1

cos

π 的值是() C . ﹣4 D.﹣1

考点: 对数的运算性质;二倍角的正弦. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数运算法则和二倍角的正弦公式求解. 解答: 解: = = = = sin π+ cos π

=﹣4. 故选:C. 点评: 本题考查对数的运算,是基础题,解题时要认真审题,注意正弦二倍角公式的合理 运用. 12. (5 分)已知函数 f(x)=x,g(x)为偶函数,且当 x≥0 时,g(x)=x ﹣2x.记 .给出下列关于函数 F(x)=max{f(x) ,g(x)}(x∈R)的说法: ①当 x≥3 时,F(x)=x ﹣2x; ②函数 F(x)为奇函数; ③函数 F(x)在[﹣1,1]上为增函数; ④函数 F(x)的最小值为﹣1,无最大值. 其中正确的是() A.①②④ B.①③④ C.①③
2 2

D.②④

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 可结合图象写出 F(x)的解析式,然后结合 F(x)的图象判断函数 F(x)的奇偶性 和单调性,从而判断②③的正确,最后结合图象分段求函数 F(x)的最值. 解答: 解:因为函数 f(x)=x,g(x)为偶函数,且当 x≥0 时,g(x)=x ﹣2x,所以 g(x) 2 =x ﹣2|x|, F(x)= ,所以当 x≥3 时,F(x)=x ﹣2x,即①对;
2 2

因为 F(x)的图象不关于原点对称,所以函数 F(x)不为奇函数,即②错; 由图象知函数 F(x)在[﹣1,3]上是增函数,所以在[﹣1,1]上是增函数,即③对; 由图象易知函数 F(x)的最小值为 F(﹣1)=﹣1,无最大值.即④对. 故选:B

点评: 本题主要考查函数的两个重要性质﹣﹣奇偶性和单调性,考查数学上数形结合这一 重要方法,是一道中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡的相应位置.

13. (4 分)已知函数 f(x)的定义域和值域都是{1,2,3,4,5},其对应关系如下表所示, 则 f(f(4) )=5. x 1 2 3 4 5 f(x) 5 4 3 1 2 考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数对应关系表得到 f(4)=1,f(1)=5,由此能求出 f(f(4) ) . 解答: 解:∵函数 f(x)的定义域和值域都是{1,2,3,4,5}, 由其对应关系表得到 f(4)=1,f(1)=5, ∴f(f(4) )=f(1)=5, 故答案为:5. 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要注意识表能力的培养.

14. (4 分)已知向量 =(3,1) , =(x,﹣3) ,若 ⊥ ,则 x=1.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 运用向量垂直的条件:数量积为 0,计算即可得到 x. 解答: 解:由 =(3,1) , =(x,﹣3) , 若 ⊥ ,则 =0,

即为 3x﹣3=0, 解得,x=1. 故答案为:1 点评: 本题考查平面向量的定义和性质,考查向量垂直的条件,考查运算能力,属于基础 题.

15. (4 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,﹣ 如图所示.则函数 f(x)的表达式为 f(x)=f(x)=sin(2x+

<φ< ) .

)一个周期的图象

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质.

分析: 由图象可得 A,由周期的一半可得 ω,代入点( 进而可得解析式. 解答: 解:由图象可得 A=1,周期 T 满足 = 解得 ω=2, ∴f(x)=sin(2x+φ) , 又图象过点( ∴﹣1=sin( 又∵ ∴φ= ∴所求函数的解析式为:f(x)=sin(2x+ 故答案为:f(x)=sin(2x+ ) ) ,﹣1) , +φ) , , = ﹣

,﹣1)结合 φ 的范围可得 φ 值,



点评: 本题考查三角函数解析式的求解,由图象得出函数的周期,振幅和特殊点是解决问 题的关键,属中档题.

16. (4 分)设定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(tanx)= +f( )+…+f( )=0.

,则 f(2)+f(3)+…+f+f( )

考点: 三角函数的化简求值;函数的值;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 函数的性质及应用;三角函数的求值. 分析: 由已知中 f(tanx)= +f( )=0,进而可得答案. ,根据万能公式,可得 f(x)的解析式,进而可得 f(x)

解答: 解:∵f(tanx)=

=



∴f(x)=

,f( )=

=

=

∴f(x)+f( )=0

∴f(2)+f(3)+…+f+f( )+f( )+…+f(

)=0

故答案为:0 点评: 本题考查的知识点是三角函数的恒等变换及化简求值,其中根据已知求出 f(x) = ,以及 f(x)+f( )=0 是解答的关键.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知 tanα=﹣2,求: α 的值.

考点: 专题: 分析: 解答: ∴原式=

同角三角函数基本关系的运用. 三角函数的求值. 原式利用同角三角函数间的基本关系变形,把已知等式代入计算即可求出值. 解:∵tanα=﹣2, +cos α=
2

+

=

+

= + =1.

点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键.

18. (12 分)已知二次函数 f(x)满足:f(0)=f(1)=1,且 (Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)求 f(x)在 的值域.



考点: 二次函数的性质;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: (Ⅰ) 【解法一】设 f(x)=ax +bx+c(a≠0) ,根据题意列出方程组,求出 a、b、c 的值即可; 【解法二】根据题意求出 f(x)的对称轴与顶点坐标,设出 f(x)的顶点式方程,求出它的 解析式; (Ⅱ)根据 f(x)的解析式,结合对称轴,求出 f(x)在闭区间上的值域即可. 2 解答: 解: (Ⅰ) 【解法一】设 f(x)=ax +bx+c, (a≠0) , 由已知得 ,

解得 a=1,b=﹣1,c=1, 2 ∴f(x)=x ﹣x+1; 【解法二】∵f(0)=f(1)=1,且 ∴f(x)的对称轴是 ,顶点为 , ,

∴设 ∵ 解得 a=1; ∴ ,




2

(Ⅱ)∵f(x)=x ﹣x+1 的对称轴是 且 , , f(2)=4﹣2+1=3, ∴f(x)的值域为 .



点评: 本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题,考查了求二次函数的解析式与值域 的应用问题,是基础题目

19. (12 分)已知函数 (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间; (Ⅱ)求函数 f(x)在



上的最值及取得最值时自变量 x 的取值.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)首先通过三角恒等变换把函数关系式变形成正弦型函数,进一步利用公式求 出函数的周期和单调区间. (Ⅱ)直接利用函数的定义域,利用整体思想求出函数的最值. 解答: 解: (Ⅰ) ∵ ∴f(x)的最小正周期 由 得 ∴f(x)的单调增区间为 (Ⅱ)∵ ,∴ , , . . , ,

∴当 ∴当

,即 ,即 x=0 时,

时,f(x)min=﹣2, .

点评: 本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的周期的求法,函 数的单调区间的应用,利用函数的定义域求函数的值域.属于基础题型. 20. (12 分)某企业拟用 10 万元投资甲、乙两种商品.已知各投入 x 万元,甲、乙两种商品 可分别获得 y1,y2 万元的利润,利润曲线 P1,P2 如图所示.问怎样分配投资额,才能使投资 获得最大利润?

考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题;函数的性质及应用. 分析: 根据函数的模型求出两个函数解析式.将企业获利表示成对产品乙投资 x 的函数, 再利用配方法,求出对称轴,即可求出函数的最值. 解答: 解:由图可得 , (x≥0) , , (x≥0) ,

设用 x 万元投资甲商品,那么投资乙商品为(10﹣x)万元,总利润为 y 万 元. 当且仅当 即 时, , (0≤x≤10)

答:用 6.25 万元投资甲商品,3.75 万元投资乙商品,才能获得最大利润. (也可把投资乙商品设成 x 万元,把投资甲商品设成(10﹣x)万元) 点评: 本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题、考查二次函数的最值,属 于中档题.

21. (12 分)已知 f(α)=



(Ⅰ)化简 f(α) ; (Ⅱ)若 f(α)= ﹣cosα,且 α∈(0,π) ,求 sinα﹣cosα 的值.

考点: 同角三角函数基本关系的运用;运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)根据三角函数的诱导公式进行化简 f(α) ; (Ⅱ)根据同角的三角函数关系式进行求解. 解答: 解: (Ⅰ)

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f(α)=sinα, ∴ 两边平方得 ∴ 又 α∈(0,π) ,则 ∴sinα﹣cosα>0 由 故 点评: 本题主要考查三角函数值的化简和求值,利用三角函数的诱导公式以及同角的三角 函数的关系式是解决本题的关键. , , ,即 , ,

22. (14 分)已知函数

为奇函数.

(Ⅰ)若 f(1)=5,求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)当 a=﹣2 时,不等式 f(x)≤t 在[1,4]上恒成立,求实数 t 的最小值; x (Ⅲ)当 a≥1 时,求证:函数 g(x)=f(2 )﹣c(c∈R)在(﹣∞,﹣1]上至多有一个零点. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数奇偶性的性质. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)由奇函数定义可得 f(﹣x)=﹣f(x) ,可求 b,由 f(1)=5 可得 a; (Ⅱ)不等式 f(x)≤t 在[1,4]上恒成立,等价于 f(x)max≤t,易判断 a=﹣2 时 f(x)在[1, 4]上的单调性,由单调性可得最大值; (Ⅲ)表示出 g(x) ,只需判定函数 g(x)在(﹣∞,﹣1]单调即可,利用单调性的定义可作 出判断; 解答: 解: (Ⅰ)∵函数 ∴f(﹣x)=﹣f(x) ,即 , 为奇函数,

∴b=0, 又 f(1)=4+a+b=5, ∴a=1 ∴函数 f(x)的解析式为 (Ⅱ)a=﹣2, ∵函数 . 在[1,4]均单调递增, .

∴函数 f(x)在[1,4]单调递增, ∴当 x∈[1,4]时, ∵不等式 f(x)≤t 在[1,4]上恒成立, ∴ , . , .

∴实数 t 的最小值为 (Ⅲ)证明: 设 x1<x2≤﹣1,

= ∵x1<x2≤﹣1, ∴ ∵a≥1,即﹣a≤﹣1, ∴ ,又







∴g(x1)﹣g(x2)>0,即 g(x1)>g(x2) , ∴函数 g(x)在(﹣∞,﹣1]单调递减, 又 c∈R,可知函数 g(x)在(﹣∞,﹣1]上至多有一个零点. 点评: 本题考查函数的单调性、奇偶性及其应用,考查函数最值的求解,考查学生综合运 用函数性质分析解决问题的能力,属中档题.


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