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1.4.3 命题的形式及等价关系(三)


1.4.3 命题的形式及等价关系——等价命题

一、概念课 【教案样例】
教学目标: 1.理解等价命题,会用原命题与逆否命题的等价性原理解决问题; 2.在解决问题的过程中,感悟“正难则反”的策略,即当证明某个问题有困难时,尝试证明它的 逆否命题来代替证明原命题; 3. 在运用逻辑语言进行数学表达交流活动中, 领会分类、 判断、 推理的思想方法的重要作

用, 树 立分析问题条理清楚、理由充分、符合逻辑的数学意识. 教学重点:理解等价命题,初步会用“正难则反”策略解决问题. 教学难点:正确写出命题的逆否命题;运用逻辑语言表述和论证真命题. 教学过程:

1.情景引入: 在四种命题形式的学习过程中,我们已经知道原命题与逆否命题、逆命题与否命题都具有同 为真命题或同为假命题的特性.那么两个同为真命题的命题之间具有这样的逻辑关系呢?这就是 我们将要学习的“等价命题”(引入新课)??

2.概念形成:(教学提示:这一环节可采用教师引领下的学生阅读教材或学生阅读教师呈现的 PPT 素材,教师引导学生感悟“正难则反”的解题策略,激发学生积极思考、参与教学的热情) 等价命题:如果 A、B 是两个命题, A ? B, B ? A ,那么 A、B 叫做等价命题. 从下面四种命题形式的关系中,我们可以看出,原命题与逆否命题是等价命题,否命题与逆命 题也是等价命题. 原命题: ? ? ?
互逆

逆命题:? ? ?

互 否

互为逆 否命题

互 否

? 否命题: ? ?

等价 互逆

? 逆否命题: ? ?

数学思考: 利用两个等价命题同真或同假的原理,当我们证明某个命题有困难时,我们尝试证 明它的逆否命题成立,从而代替证明原命题,这就是所谓的“正难则反”策略.
【1】

3.概念应用(教学提示:采用师生共同完成,或让学生独立完成,再选代表交流解题策略)

【属性】高一(上) ,集合与命题,等价命题,解答题,中,分析问题解决问题

【题目】
已知命题 ? 的否命题是“对角线互相平分的四边形是平行四边形” ,试写出命题 ? 的等价命 题,并判断等价命题的真假.

【解答】依据题意,可知,命题 ? 是:对角线不互相平分的四边形不是平行四边形.
因此,命题 ? 的等价命题是:平行四边形的对角线互相平分.根据初中教材可知,这个命题是真 命题.

【属性】高一(上) ,集合与命题,等价命题,解答题,较难,分析问题解决问题

【题目】
已知 BD、CE 分别是 ?ABC 的 ?B、?C 的角平分线, BD ? CE ,求证: AB ? AC . 如图 1-12 所示.

A

E

D

【解答】(略,见教材 P 例 3) 18

B
图 1-12

C

解题反思:①运用正难则反策略解决问题,关键是正确写出所要证明的命题的逆否命题. ②正难则反是一种常用的解决问题的策略,要切实加以掌握.

4.课堂反馈(学生独立完成,教师巡视,提供指导和发现闪光点,获取第一手反馈材料,对无法 正确写出某命题的等价命题的给予个别指导,并强化正难则反策略的应用) (1)教材练习 P 1.4(3):1,2; 19 (2)练习册习题 1.4 A 组 P6 7,8.

【2】

5.课堂小结: (让学生用自己的语言归纳小结,并通过补充和订正提高参与度) (1)等价命题; (2)正确写出一个命题的等价命题的要领:就是写出该命题的逆否命题; (3) 理解互为逆否命题的两个命题是等价命题,初步会用正难则反策略解决问题.

6.作业布置: (基础型)必做题: (1) 教材练习 P 1.4(3):3; 19 (2) 练习册 P6 1.4A (拓展型)选做题: (3)写出命题: “如果 x ? 1且 y ? 1 ,那么 x ? y ? 2 或 xy ? 1 ”的否命题和逆否命题. 9.

【情景资源】
情景1(新课导入) 我们已经学习了四种命题形式,它反映的是构成命题的条件与结论之间的依赖关系,我们也 知道, 原命题与逆否命题、 否命题与逆命题他们都具有同真假的特性.两个命题具有同真假的关系 又是一种新型关系,这就是我们将要学习的“等价命题”(引入新课)??

情景2(过渡衔接) 对于给定的某个命题,你能熟练写出他的等价命题吗?试试看,请你写出命题××的等价命 题?? 情景3(过渡衔接) 利用等价命题的同真假原理可以帮助我们克服困难.比如, 当我们证明某个命题有困难时, 我 们尝试证明它的逆否命题成立, 从而代替证明原命题.这就是所谓的正难则反策略, 你能用正难则 反策略证明??,试试看.

【题目资源】
【属性】高一(上) ,集合与命题,等价命题,填空题,中,分析问题解决问题

【题目】
命题 “一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0, a、b、c ? R) 有实数解” 的等价命题是
2 2 ? ? 【 解 答 】 等 价 命 题 : 一 元 二 次 方 程 a x ? b x c0 (

.

a 0 、 a b ? 的R 别 式 ? , 、 c ) 判

【3】

? ? b2 ? 4ac ? 0 .
【属性】高一(上) ,集合与命题,等价命题,填空题,中,分析问题解决问题

【题目】
命题“奇数乘以奇数积是奇数”的逆否命题是 .

【解答】逆否命题:如果两个整数之积不是奇数,那么这两个整数不都是奇数.
【属性】高一(上) ,集合与命题,等价命题,填空题,易,分析问题解决问题

【题目】
命题“若 x ? 16 ,则 x ? 4 ”的逆否命题是
2



【解答】逆否命题:若 x ? 4 ,则 x 2 ? 16 .
【属性】高一(上) ,集合与命题,等价命题,填空题,中,分析问题解决问题

【题目】
命题“三角形 ABC 是直角三角形”的等价命题是 .

【解答】等价命题: ?ABC 的两个内角和等于第三个内角.
【属性】高一(上) ,集合与命题,等价命题,填空题,中,分析问题解决问题

【题目】
命题“实数 x, y 中至少有一个等于 0”的等价命题是 .

【解答】等价命题:实数 x、y 的乘积 xy ? 0 .

【属性】高一(上) ,集合与命题,等价命题,填空题,中,分析问题解决问题

【题目】

【4】

命题 A 的否命题是 “如果 a ? 5 , 那么 a 2 ? 25 ” 则命题 A 的逆否命题是 , 并判断其真假.



【解答】依据题意,可知,命题 A 是:如果 a ? 5 ,那么 a 2 ? 25 .
因此,命题 A 的逆否命题是:如果 a ? 25 ,那么 a ? 5 .这个命题是真命题.
2

【属性】高一(上) ,集合与命题,等价命题,解答题,中,分析问题解决问题

【题目】
已知 BD, CE 分别是 ?ABC 的 AC , AB 边上的高线, BD ? CE ,求证: AB ? AC . 如图 1-13 所示. A

【解答】本问题的逆否命题是:如果 AB ? AC ,那么 BD ? CE .
如图 1-13 所示: ∵ AB ? AC , S?ABC ∴ BD ? CE . ∴原命题的逆否命题正确. ∴原命题也正确.

1 1 ? AC ? BD ? AB ? CE , 2 2
B

E

D

C 图 1-13

【属性】高一(上) ,集合与命题,等价命题,填空题,中,分析问题解决问题

【题目】
已知 x ? R , x ? 1 ,求证: x ? 1 ”.
2

【解答】原命题的逆否命题是:已知 x ? R ,如果 x ? 1 ,那么 x 2 ? 1 .
下面证明逆否命题正确: ∵ x ? 1, ∴ x ?1 ? 0 , x ? 1 ? 2 . ∴ x ? 1 ? ( x ? 1)( x ? 1) ? 0 ,即 x ? 1 . ∴原命题的逆否命题正确,即原命题也正确.
2

2

【属性】高一(上) ,集合与命题,等价命题,填空题,中,分析问题解决问题

【5】

【题目】
命题 A 的否命题是: 如果平行四边形有一个角不是直角, 那么这个平行四边形不是矩形.试写 出命题 A 的逆命题,并判断逆命题的真假.

【解答】依据题意,可知,命题 A 是:如果平行四边形有一个角是直角,那么这个平行四边形
是矩形.因此, 命题 A 的逆命题是: 如果平行四边形是矩形, 那么这个平行四边形有一个角是直角. 逆命题是真命题. 【属性】高一(上) ,集合与命题,等价命题,填空题,中,分析问题解决问题

【题目】
已知命题“如果四边形的对角线不垂直或不互相平分,那么这个四边形不是菱形” ,试判断该命 题的真假.

【解答】 原命题的逆否命题是: 如果四边形是菱形, 那么这个四边形的对角线垂直且互相平分. 在
初中已经证明这是一个真命题,即逆否命题是真命题.因此,原命题也是真命题. 【属性】高一(上) ,集合与命题,等价命题,填空题,易,分析问题解决问题

【题目】
试判断命题“如果一个平面四边形的对角线不相等,那么这个四边形不是正方形”的真假.

【解答】命题的逆否命题是:如果一个平面四边形是正方形,那么这个四边形的对角线相等.
显然,逆否命题是正确命题.因此,原命题是真命题. 【属性】高一(上) ,集合与命题,等价命题,填空题,较难,分析问题解决问题

【题目】
命题“ x、y ? N , x ? y 是偶数”的等价命题是 .

【解答】等价命题: x、y ? N , x 和 y 同为奇数或同为偶数.
【属性】高一(上) ,集合与命题,等价命题,填空题,较难,分析问题解决问题

【6】

【题目】
命题“对顶角相等”的等价命题是 .

【解答】把原命题改写为:如果两个角是对顶角,那么这两个角相等.
于是,可得原命题的等价命题为:如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角.

【属性】高一(上) ,集合与命题,等价命题,填空题,中,分析问题解决问题

【题目】
若命题 A 是 B 互为否命题,命题 C 是 B 的逆命题,则命题 C 等价命题是 .

【解答】命题 A .
【属性】高一(上) ,集合与命题,等价命题,填空题,易,分析问题解决问题

【题目】
已知命题甲“平面凸四边形的内角和为 360 ” ,命题乙“平面凸四边形的外角和为 360 ” ,试 判断命题甲与乙是否为等价命题.
? ?

【解答】命题甲与乙是等价命题.
【属性】高一(上) ,集合与命题,等价命题,填空题,较难,分析问题解决问题

【题目】
命题“ A ? B ? B ”的等价命题是 .

【解答】等价命题是 A ? B ? B ,或是 A ? B .

【属性】高一(上) ,集合与命题,等价命题,填空题,较难,分析问题解决问题

【题目】
命题“ A ? B ? A ”的等价命题是 .

【7】

【解答】等价命题是 A ? B ? A ,或是 A ? B .
【属性】高一(上) ,集合与命题,等价命题,填空题,较难,分析问题解决问题

【题目】
命题 A、B 是全集 U 的真子集,A ? CU B ? U ” “ 的等价命题是 .

【解答】等价命题是: B ? A .
【属性】高一(上) ,集合与命题,等价命题,解答题,较难,分析问题解决问题

【题目】
已知命题: ?ABC 中, ?C ? 90 ,点 D 为 AB 上一点,若 CD ?
?

1 AB ,则 D 不是 AB 的中 2

点.试判断该命题的真假.

【解答】该命题的逆否命题是: ?ABC 中, ?C ? 90? ,点 D 为 AB 上一点,若 D 是 AB 的中
点,则 CD ?

1 AB .根据初中知识,可知,逆否命题是真命题.因此,原命题是真命题. 2

【属性】高一(上) ,集合与命题,等价命题,解答题,较难,分析问题解决问题

【题目】
命题“ AB 是圆的一条直径, C 是圆所在平面上不同于 A、B 的一点,若 ?ACB ? 90 ,则
?

点 C 不在圆上” ,试判断该命题的真假.

【解答】原命题的逆否命题是: AB 是圆的一条直径, C 是圆所在平面上不同于 A、B 的一点,
若点 C 在圆上,则 ?ACB ? 90 .根据初中知识,可知,逆否命题是真命题.因此,原命题是真命
?

题.

【8】


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