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扬州中学2015-2016学年高二下学期期中考试 数学(理)


江苏省扬州中学 2015—2016 学年第二学期期中考试

高二(理科)数学试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.复数 z ? 1 的共轭复数是_________________.
1? i

2016.4.19

2.命题“x=π ”是“sinx=0”的____

____________条件. 3.设异面直线 l1,l 2 的方向向量分别为 a ? (1,1,0),b ? (1,0,?1) ,则异面直线 l1,l 2 所成角 的大小为 ________________.

(x ? 4.在

2 5 ) 的二项展开式中, x 3 的系数是 _____________ . x

5.某团队有 6 人入住宾馆中的 6 个房间,其中的 301 与 302 对门,303 与 304 对门,305 与 306 对门,若每人随机地拿了房间钥匙,则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为 __________. 6. 已知可导函数 f ( x) 的导函数 f ' ( x) 满足 f ' ( x) ? f ( x) ,则不等式 是 ________________. 7.设 f (k ) ?

f ( x) f (1) ? 的解集 e ex

8. 若数列 ?an ? 的通项公式 a n ?

1 1 1 1 ? ? ??? (k ? N ? ) ,那么 f (k ? 1) ? f (k ) ? _______. k ?1 k ? 2 k ? 3 2k
1 (n ? N ? ) ,记 f (n) ? (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ? ? ? (1 ? an ) ,试 (n ? 1) 2

通过计算 f (1), f (2), f (3) 的值,推测出 f (n) ? __________ ______ . 9.甲、乙、丙三人站在共有 7 级的台阶上,若每级台阶最多站 2 人,同一级台阶上的人不区分 站的位置,则不同的站法总数为___________. 10. 已知: (x ? 2)8 ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1) 2 ? ? ? a8 ( x ? 1) 8 ,其中 ai ? (i ? 0,1,2

?8) 为实常数,则 a1 ? 2a2 ? ? ? 7a7 ? 8a8 ? ____________.
11.某班某天要安排语文、数学、政治、英语、体育、艺术 6 节课,要求数学课排在前 3 节, 体育课不排在第 1 节,则不同的排法种数为 .(以数字作答).

12. 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是正方形,侧棱

PD ⊥底面 ABCD , PD ? DC , E 是 PC 的中点.则二面角
B ? DE ? C 的 平 面 角 的 余 弦 值

y
是 . 1 1 13. 已知函数 f (x)= x3+ ax2+bx 在区间[- 3 2 1,1)、(1,3]内各有一个极值点,则 a-4b 的
1

y?

b x a

y?h

0

( a ,0 )

x

取值范围是__________. 14.我们在学习立体几何推导球的体积公式时,用到了祖日恒原理:即两个等高的几何体, 被等高的截面所截,若所截得的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等。类比此方法:

x2 y2 求双曲线 2 ? 2 ? 1 a b
(a ? 0, b ? 0) ,与 x 轴,直线 y ? h (h ? 0) 及渐近线 y ?
绕 y 轴旋转一周所得的几何体的体积_____________ 二.解答题(本大题共 6 题,共 90 分) 15. (满分 14 分) 已知命题: “ ?x ??x | ?1 ? x ? 1 ? ,使等式 x2 ? x ? m ? 0 成立”是真命题, (1)求实数 m 的取值集合 M; (2)设不等式 ( x ? a)( x ? a ? 2) ? 0 的解集为 N,若 x∈N 是 x∈M 的必要条件,求 a 的取 值范围.

b x 所围成的阴影部分(如图) a

16. (满分 14 分)已知复数 w 满足 w ? 4 ? (3 ? 2w)i ( i 为虚数单位) . (1)求 w ; (2)设 z ? C ,在复平面内求满足不等式 1 ?| z ? w |? 2 的点 Z 构成的图形面积.

17. (满分 14 分)已知 (1 ? 2 x )n 的展开式中,某一项的系数是它前一项系数的 2 倍,而又 等于它后一项系数的
5 .(1)求展开后所有项的二项式系数之和;(2)求展开式中的有理项. 6

2

18. (满分 16 分) 如图(1) ,等腰直角三角形 ABC 的底边 AB=4,点 D 在线段 AC 上,DE⊥AB 于 E, 现将△ADE 沿 DE 折起到△PDE 的位置(如图(2) ) . (Ⅰ)求证:PB⊥DE; (Ⅱ)若 PE⊥BE,直线 PD 与平面 PBC 所成的角为 30°,求 PE 长.

19. (满分 16 分) 高一(12)班、高一(13)班共派出 n ? 1 个男生和 n 个女生参加学校运动会的入场仪式, 其中男生倪某为领队.入场时,领队男生倪某必须排第一个,然后女生整体在男生的前面, 排成一路纵队入场,共有 En 种排法;入场后,又需从男生(含男生倪某)和女生中各选一 名代表到主席台服务,共有 Fn 种选法. (1)试求 En 和 Fn ; (2)判断 ln En 和 Fn 的大小( n ? N ? ) ,并用数学归纳法证明.

20. (满分 16 分) 已知函数 f ( x)(x ? R) , f ' ( x) 存在,记 g ( x) ? f ' ( x) ,且 g ' ( x ) 也存在, g ' ( x) ? 0 .

3

⑴求证: f ( x) ≤ f ( x0 ) ? f ' ( x0 )(x ? x0 ) ; ( x0 ? R) ⑵设 ?i ? R ? (i ? 1,2,3,? n) ,且 ?1 ? ?2 ? ? ? ?n ? 1 , xi ? R(i ? 1,?, n) (n ? N ? ) 求证:

?1 f ( x1 ) ? ?2 f ( x2 ) ? ? ? ?n f ( xn ) ≤ f (?1 x1 ? ?2 x2 ? ? ? ?n xn )

⑶已知 a, f (a), f [ f (a)], f { f [( f (a)]}是正项的等比数列,求证: f (a ) ? a .

高二(理科)数学期中试卷参考答案
1.
3.

2016.4

1 1 - i 2 2

2. (填必要不充分,充分不必要,充分必要,不充分不必要)必要不充分 4.-10 5.

? 3

1 5

1, ? ?) 6.(
10. 1024 11.312

7.

1 1 1 ? ? 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1
3 3
13. (-16,10]

8. f ( n) ?
2

n?2 2n ? 2

9. 336

12.

14. a h? . 解: y ? m ,是一个圆环其面积

y

y?

b x a

S ? ? ( AC 2 ? BC 2 )


x2 y2 a2 2 2 2 AC ? a ? m , ? ? 1 ? b2 a2 b2
2

y?h

a2 2 同理 BC ? 2 m b
2 2 2

0

( a ,0 )

x

∴ AC ? BC ? a ,由观日恒原理知,此旋转体的体积,等价于一个半径为 a ,高为 h 的

4

柱体的体积为 a h? .
2

15. 解: (1) 已知命题: “ ? x∈{x|–1< x <1}, 使等式 x2–x–m = 0 成立”是真命题, 得 f(x)= x2–x–m = 0 在(-1,1)有解, 由对称轴 x=

?? ? 1 ? 4m ? 0 1 ,则 ? , 2 ? f (?1) ? 1 ? 1 ? m ? 0
? ?
?????7 分

得 m ? ?? , 2 ? . (2)不等式 ( x ? a)( x ? a ? 2) ? 0

? 1 ? 4

①当 a>2-a,即 a>1 时解集 N 为(2-a,a) ,若 x∈N 是 x∈M 的必要条件,

?a ? 2 9 ? 则 M ? N,a 的取值范围 ? 1 ,? a ? . 4 2?a ? ? ? ? 4
②当 2-a > a,即 a<1 时解集 N 为(a ,2-a) ,若 x∈N 是 x∈M 的必要条件,则 M ? N,a 的取值

?2 ? a ? 2 1 ? 范围 ? 1 ,? a ? ? . 4 a?? ? ? 4
1 9 综上a ? (??, ? ) ? ( , ??) . 4 4
16. (1) ? w( 1? 2 i? ) ?4

3? i, w?

4? 3 i ? ? 2; i (2) 3? 1? 2 i

?1 r ?1 ?C r 2r ? 2C r , n 2 ? n 17. 解:根据题意,设该项为第 r+1 项,则有 ? r r 5 r ?1 r ?1 ?C n 2 ? C n 2 , 6 ? r ?1 ? n ? 2r ? 1, ?C r ? Cn , ? n ? 即 ? r 5 r ?1 亦即 ? n! 5 n! ?C n ? C n , ? r !(n ? r )! ? 3 (r ? 1)!(n ? r ? 1)! , 3 ? ?

?r ? 4, 解得 ? ?n ? 7.

(1)所有项的二项式系数和为 27 ? 128 .
r r 2 2 x , r ? 7且r ? N . (2)展开式的通项为 Tr ?1 ? C7 r

于是当 r=0, 2, 4, 6 时,对应项为有理项,
0 0 2 2 4 4 2 2 即有理项为: T1 ? C0 7 2 x ? 1 , T3 ? C7 2 x ? 84 x , T5 ? C7 2 x ? 560 x ,

6 6 3 T7 ? C7 2 x ? 448x3 .

18.(Ⅰ)∵DE⊥AB,∴DE⊥BE,DE⊥PE,

5

∵BE∩PE=E,∴DE⊥平面 PEB,又∵PB?平面 PEB,∴BP⊥DE; (Ⅱ)∵PE⊥BE,PE⊥DE,DE⊥BE, ∴分别以 DE、BE、PE 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图) , 设 PE=a,则 B(0,4﹣a,0) ,D(a,0,0) ,C(2, 2﹣a,0) , P(0,0,a) ,…(7 分) 可得 设面 PBC 的法向量 , , ,



令 y=1,可得 x=1,z=

因此 ∵

是面 PBC 的一个法向量, ,PD 与平面 PBC 所成角为 30°,



,即



解之得:a= ,或 a=4(舍) ,因此可得 PE 的长为 .
n n 1 1 19.解:(1) En ? An ? An ? ? n !? , Fn ? Cn . ?1 ? Cn ? n(n ? 1) 2

(2) 因 为 lnEn ? 2 ln n !, Fn ? n n(?

, 1) 所 以 ln E1 ? 0 ? F1 ? 2 , ln E2 ? ln 4 ? F2 ? 6 ,

ln E3 ? ln36 ? F3 ? 12,?,由此猜想:当 n ? N * 时,都有 ln En ? Fn ,即 2ln n ! ?n (n 1 ? ) .
下面用数学归纳法证明 2ln n! ? n(n ? 1) ( n ? N * ). 1) 2) 当 n ? 1 时,该不等式显然成立.
* 假设当 n ? k (k ? N ) 时,不等式成立,即 2ln k ! ? k (k ? 1) ,则当 n ? k ? 1 时,

2 ln( k ? 1)! ? 2 ln( k ? 1) ? 2 ln k ? ! 2 ln( k ?

n ? k ? 1 时不等式成 要证当 ? 1) k k ? ( , 1)

立.只要证: 2ln(k ? 1) ? k (k ? 1) ? (k ? 1)(k ? 2) ,只要证: ln(k ? 1) ? k ? 1 .

1? x ? 0 ,所以 f ( x) 在 (1, ??) 上单调递减, x 从而 f ( x) ? f (1) ? ?1 ? 0 ,而 k ? 1? (1, ??) ,所以 ln(k ? 1) ? k ? 1 成立. 则当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 综合 1)、2)得原不等式对任意的 n ? N * 均成立.
令 f ( x) ? ln x ? x, x ? (1, ??) ,因为 f ' ( x) ? 20.证明:⑴设 ? ( x) ? f ( x) ? f ( x0 ) ? f ' ( x0 )(x ? x0 ) ,则 ? ' ( x) ? f ' ( x) ? f ' ( x0 )
6

∵ g ' ( x) ? 0 故 g ( x) ? f ' ( x) 为减函数,则 x ? x0 为 ? ( x) 的极大值点. ∵ ?(x) ≤ ? ( x0 ) ? 0 ,即 f ( x) ≤ f ( x0 ) ? f ' ( x0 )(x ? x0 ) (当且仅当在 x ? x0 取到) ⑵证明:由⑴可知: f ( x1 ) ? f ( x0 ) ? f ' ( x0 )(x1 ? x0 ) ,两边同乘以 ?1 得

?1 f ( x1 ) ? ?1 f ( x0 ) ? ?1 f ' ( x0 )(x1 ? x0 ) , ?2 f ( x2 ) ? ?2 f ( x0 ) ? ?2 f ' ( x0 )(x2 ? x0 )
??? ?n f ( xn ) ? ?n f ( x0 ) ? ?n f ' ( x0 )(xn ? x0 ) 上式各式相加,得 ?1 f ( x1 ) ? ?2 f ( x2 ) ? ? ? ?n f ( xn ) ? (? 1??2 ? ? ? ?n ) f ( x 0) )

? f ' ( x0 ) ? [?1 ( x1 ? x0 ) ? ?2 ( x2 ? x0 ) ? ? ? ?n ( xn ? x0 )]
因为 ?1 ? ?2 ? ? ? ?n ? 1 ,设 ?1 x1 ? ?2 x2 ? ?? ?n xn ,则

?1 ( x1 ? x0 ) ? ?2 ( x2 ? x0 ) ? ? ? ?n ( xn ? x0 ) ? 0
由此, ?1 f ( x1 ) ? ?2 f ( x2 ) ? ? ? ?n f ( xn ) ? f (?1 x1 ? ?2 x2 ? ? ? ?n x n) ) 等号当且仅当在 x1 ? x2 ? ? ? xn 时成立 证 明 : 错 误 ! 链 接 无 效 。 记 公 比 为 q, q ? 0 , 则 f (a) ? aq, f [ f (a)] ? aq2 ,

f { f [ f [ f (a}} ? ag3 ,
取 x1` ? a , x2 ? aq2 , ? ?

q ? (0,1) , 1? q
2

则 ?x1 ? (1 ? ? ) x2 ? aq , f [?x1 ? (1 ? ? ) x2 ] = f (aq) ? f [ f (a)] ? aq 又∵ ?f ( x1 ) ? (1 ? ? ) f ( x2 ) ?

?f (a) ? (1 ? ? ) f (aq2 ) ,

? ?f (a) ? (1 ? ? ) f { f [ f (a)]} ? ?aq ? (1 ? ? )aq3 ,

? aq3 ? ?aq ? ?aq3 ? aq3 ? ?aq(1 ? q 2 ) ? aq3 ?
2

q aq(1 ? q 2 ) ? aq 2 1? q

即 ?f ( x1 ) ? (1 ? ? ) f ( x2 ) ? aq ? f [?x1 ? (1 ? ? ) x2 ] 在⑵中取 n ? 2, ?1 ? ?, ?2 ? 1 ? ? ,即 ?f ( x1 ) ? (1 ? ? ) f ( x2 ) ? f [?x1 ? (1 ? ? ) x2 ]
2 当且仅当 x1 ? x 2 时成立,即 a ? aq ? a ? 1 ,∴ f (a ) ? a .

7

8


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