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平行线分线段成比例


第23章
2.平行线分线段成比例

情境导入
同学们,我们的作业本每一页都是 由一些距离相等的平行线组成,,下面 请同学们在作业本上画一条直线和相邻 的三条平行线交于A,B,C三点,AB与BC 相等吗? 再画一条直线与这三条平行线交于 点D,E,F,DE 与 EF相等吗? 平行线等分线段定理:如果一组平 行线在一条直线上所截得线段相等,

那么在其它直线上所截得的线段也 相等。

平行线等分线段定理的条件
相邻的两条平行线间的距离相等

三条距离不相等的平行线 截两条直线会有什么结果?

A B

l

l? D E F

l1 l2

猜 想

2 AB 2 DE 若 ? ,那么, ?? BC 3 EF 3 C 3 AB 3 DE 若 ? , 那么, ?? BC 4 EF 4

l3

你能否利用所学过的相关知识进行说明?

AB 2 考察 ? BC 3

A
P1

l

l? D
Q1

设线段AB的中点为P1,线段 BC的三等分点为P2、P3.

B
P2 P3

E

l1 a1

Q2

AP1=P1B=BP2= P2P3= P3C

l3 分别过点P1,P2, P3作直线 a1,a2,a3平行于l1,与l? 的交点 分别为Q1,Q2,Q3. 这时你想到了什么?

C

l2 a2 Q3 a3

F

DQ1=Q1E=EQ2=Q2Q3=Q3F 平行线等分线段定理

AB DE 2 则: ? ? . BC EF 3

我们们已经得到 AB 2 若l1 //l 2 //l 3 , ? , BC 3 DE 2 则 ? EF 3
AB DE 即: ? BC EF

A B C

l

l? D E F

l1 l2

l3

平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.

AB DE ? BC EF
除此之外,还有其他结论成立吗?

AB DE ? BC EF

反 比
BC EF ? AB DE

合比
AC DF ? AB DE

合比 AC DF AB BC ? ? DE EF BC EF 反 比
BC EF ? AC DF
BC AC ? EF DF

?

合比
AB DE ? AC DF

AB BC AC ? ? DE EF DF

推论
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边 的延长线)所得的对应线段成比例. l l? l? l A D l E l
1

1

D B

E C

l2

A B

l2

l3

C

l3

平行线分线段成比例定理与平行线等分线段 定理有何联系?
A B D E

AB 当 ?1 BC
F

A

D E

B

C

AB 当 ?1 BC

C

F

结论:后者是前者的一种特殊情况!

例:如图l1 // l2 // l3 , AB ? 4, DE ? 3, EF ? 6.求BC的长。
A D l1 E l2 F

解: ? l1 // l2 // l3 AB DE ? ? (平行线分线段成比例) BC EF ? C ? AB ? 4,DE ? 3,EF ? 6, 4 3 ? ? , BC 6 ? BC ? 8.

4
B

3
6
l3

当堂训练
1. 如图,E为□ABCD的边CD延长线上一点,
BO EO 连接BE,交AC与点O,交AD与点F,求证: ? FO BO

证明: ? AF∥BC , BO CO ? ? FO AO ? AB∥CE EO CO ? ? BO AO BO EO ? ? FO BO

2.如图,△ABC中,DE//BC,DF//AC,AE=4, EC=2,BC=8。求BF和CF的长.
分析:运用平行线分线段成比例定理的推论分别列 出比例式求解. A

解 ∵DE//BC
AD AE 4 2 ? ? ? ? AB AC 6 3

D
B
? BF ? 8 -

E
F C

∵DF//AC
AD CF ? ? AB CB
2 CF 16 ? ? , 即CF ? 3 8 3

16 8 ? 3 3

3.如图,△ABC中,DE//BC,EF//CD. 求证:AD是AB和AF的比例中项.
分析: 分别在△ABC及△ADC中利用平 行线分线段成比例定理的推论
A F
D B

证明 在?ABC中,? DE//BC , AB ? AC
AD AE AD AC 在?ADC中,? EF//CD, ? AF AE AB AD ? AD AF

E C

∴AD2=AB· AF,即AD是AB和AF的比例中项

4.如图,有一块形状为直角梯形的草地,周围均为水泥

直道,两个拐角A、B处均为直角,草地中间另有一条
水泥直道EF垂直于AB,垂足为E.已知AE长a米,EB长 b米,DF长c米.求CF.

解;由题意知 ?A ? ?B ? 900,EF ? AB ? AD / /EF / /BC AE DF a c ? ? , ? EB CF b CF bc ? CF ? . a

A a E b B

D c F

?
C

课堂小结
一、平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线,所得的对应线段 成比例. (关键要能熟练地找出对应线段)

二、要熟悉该定理的几种基本图形
A B C D E F C D B A E F

三、注意该定理在三角形中的应用

通过本节课的学习,对本章的知识

你有哪些新的认识和体会?

课后作业
1.从教材习题中选取, 2.完成练习册本课时的习题.

对世界上的一切学问与知识的掌握也并 非难事,只要持之以恒地学习,努力掌握规 律,达到熟悉的境地,就能融会贯通,运用 自如了。——高士其


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