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河南省郑州市2016年高三上学期第一次质量预测数学(文)试题


郑州市 2016 年高中毕业年级第一次质量预测

文科数学试题卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.考试时间 120 分钟,满分 150 分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息,然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无 效.交卷时只交答题卡.

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 6

0 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设全集 U={x∈N﹡|x≤4},集合 A={1,4},B={2,4},则 A.{1,2,3} B.{1,2,4} C.{1,3,4}

C (A∩B)=
U

D.{2,3,4}

2.设 z=1+i(i 是虚数单位) ,则

2 = z
C.1-i D.0

A.i B.2-i 3.cos160°sin10°-sin20°cos10°= A.-

3 2

B.

3 2

C.-

1 2

D.

1 2

4.函数 f(x)=x cosx 在点(0,f(0) )处的切线斜率是 A.0 B.-1 C .1 D.

2 2

[:]

5.已知函数 f(x)= ( ) -cosx,则 f(x)在[0,2π ]上的零点个数为 A.1 B.2 C.3 D .4 6.按如下程序框图,若输出结果为 273,则判断框内?处应补充的条件为

1 2

x

A.i>7 7.设双曲线

B.i≥7

C.i>9

D.i≥9

x2 y 2 + = 1 的一条渐近线为 y=-2x,且一个焦点与抛物线 x 2 =4y 的焦点相 a b
5 2 y -5 x 2=1 4 5 2 y =1 4

同,则此双曲线的方程为 A.

5 2 5 x -5 y 2=1 B. 5 y 2- x 2=1 4 4

C.

D. 5 x -

2

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8 .正项等比数列 { an } 中的 a 1 、 a 4031 是函数 f( x )=

1 3 x -4 x 2 + 6x- 3 的极值点,则 3

log 6 a2016 =
A.-1 C. 2 B.1 D.2

9.右图是一个四面体的三视图,这三个视图均是腰长为 2 的 等腰直角三角形, 正视图和俯视图中的虚线是三角形的中 线,则该四面体的体积为

2 3 8 C. 3
A.

B.

4 3

D.2

10.已知函数 f(x)=x+

4 1 x ,g(x)= 2 +a,若 ?x1 ∈[ ,3],?x2 ∈[2,3],使得 f(x1) x 2
C.a≤0 D.a≥0

≥g(x2) ,则实数 a 的取值范围是 A.a≤1 B.a≥1 11.已知椭圆

x2 y 2 + =1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2 的直线与椭圆交 a 2 b2

于 A、B 两点,若△F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,则离心率为 A.

2 2

B.2- 3

C. 5 -2

D. 6 - 3

2 ? ?-x +2x ,x≥0, 12.已知函数 f(x)= ? 2 若关于 x 的不等式[f(x)]2+af(x)<0 恰有 1 个 ? ? x -2x, x<0,

整数解,则实数 a 的最大值是 A.2 B.3

C.5

D .8

第Ⅱ卷(主观题部分,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡上. 13.函数 f(x)= 2 x- 1 的定义域是___________.

? x- y≥0, ? 14.若不等式 x +y ≤2 所表示的平面区域为 M,不等式组 ? x+ y≥0, 表示的平面区域为 ? y≥2 x-6 ?
2 2

N,现随机向区域 N 内抛一粒豆子,则豆子落在区域 M 内的概率为____________.

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15. △ABC 的三个内角为 A、 B、 C, 若

3 o c s n i sA+ n 3 i s o c sA-

7 A =tan (- ? ) , 则 tan A=_________. 12 A

16.已知向量α ,β 是平面内两个互相垂直的单位向量,若(5α -2γ ) · (12β -2γ )=0, 则|γ |的最大值是____________. 三、解答题(满分 70 分) 17. (本小题满分 12 分) 已知等差数列{ an }的首项 a2=5,前 4 项和 S4 =28. (Ⅰ)求数列{ an }的通项公式; (Ⅱ)若 bn = (- 1)n an ,求数列{ bn }的前 2n 项和 T2 n . 18. (本小题满分 12 分) 为了整顿道路交通秩序, 某地考虑将对行人闯红灯进行处罚. 为了更好地了解市民的态 度,在普通行人中随机选取了 200 人进行调查,当不处罚时,有 80 人会闯红灯,处罚 时,得到如下数据: 处罚金额 x(单位:元) 会闯红灯的人数 y 5 50 10 40 15 20 20 10

若用表中数据所得频率代替概率. (Ⅰ)当罚金定为 10 元时,行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少? (Ⅱ) 将选取的 200 人中会闯红灯的市民分为两类: A 类市民在罚金不超过 10 元时就会 改正行为;B 类是其他市民.现对 A 类与 B 类市民按分层抽样的方法抽取 4 人依 次进行深度问卷,则前两位均为 B 类市民的概率是多少? 19. (本小题满分 12 分) 如图,矩形 CDEF 和梯形 ABCD 互相垂直,∠BAD= ∠ADC=90°,AB=AD=

1 CD,BE⊥DF. 2

(Ⅰ)若 M 为 EA 中点,求证:AC∥平面 MDF; (Ⅱ)若 AB=2,求四棱锥 E-ABCD 的体积. 20. (本小题满分 12 分) 已知点 M(-1,0) ,N(1,0) ,曲线 E 上任意一点到点 M 的距离均是到点 N 距离的

3
倍. (Ⅰ)求曲线 E 的方程; (Ⅱ)已知 m≠0,设直线 l1:x-my-1=0 交曲线 E 于 A,C 两点,直线 l2:mx+y- m=0 交曲线 E 于 B,D 两点.若 CD 的斜率为-1,求直线 CD 的方程. 21. (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=

1 2 x -mlnx,g(x)= x 2 -(m+1)x,m>0. 2
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(Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间;

(Ⅱ)当 m≥1 时,讨论函数 f(x)与 g(x)图象的交点个数. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答。如果多做。则按所做的第一题记分.作 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—l:几何证明选讲 如图,∠BAC 的平分线与 BC 和△ABC 的外接圆分别 相交于 D 和 E,延长 AC 交过 D、E、C 三点的圆于点 F. (Ⅰ)求证:EC=EF; (Ⅱ)若 ED=2,EF=3,求 AC·AF 的值. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

? 3 x=-2- t, ? ? 2 曲线 C 的极坐标方程为ρ = 2 2 cos(θ 已知曲线 C1 的参数方程为 ? 2 ? y= 1 t , ? ? 2


? ) .以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系. 4

(Ⅰ)求曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)求曲线 C2 上的动点 M 到曲线 C1 的距离的最大值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x-2|-|x+1|. (Ⅰ)解不等式 f(x)>1; (Ⅱ)当 x>0 时,函数 g(x)= 数 a 的取值范围.

ax 2-x+1 (a>0)的最小值大于函数 f(x) ,试求实 x

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2016 年高中毕业年级第一次质量预测 文科数学
一、选择题

参考

ACCCC BCBAC
二、填空题 13. ?x | x ? 0? ;

DD

14.

?
24

;

15. 1;

16.

13 . 2

三、解答题(共 70 分)

?a2 ? a1 ? d ? 5, ? 17.解:⑴由已知条件: ? ?????????2 分 4?3 S ? 4 a ? ? d ? 28, 4 1 ? ? 2

?a ? 1, ?? 1 ?d ? 4.

?????????4 分

?an ? a1 ? ? n ?1? ? d ? 4n ? 3. ?????????6 分
⑵由⑴可得 bn ? (?1)n an ? (?1)n ? 4n ? 3? ?????????8 分

T2n ? ?1? 5 ? 9 ?13 ?17 ? ...... ? ?8n ? 3? ? 4 ? n ? 4n. ?????????12 分
18.解:⑴设“当罚金定为 10 元时,闯红灯的市民改正行为”为事件 A ,??2 分 则 p ? A? ?

40 1 ? . ?????????4 分 200 5

∴当罚金定为 10 元时,比不制定处罚,行人闯红灯的概率会降低

1 .?????6 分 5 ⑵由题可知 A 类市民和 B 类市民各有 40 人,故分别从 A 类市民和 B 类市民各抽出两

人,设从 A 类市民抽出的两人分别为 A1 、 A2 ,设从 B 类市民抽出的两人分别为 B1 、 B2 . 设从“ A 类与 B 类市民按分层抽样的方法抽取 4 人依次进行深度问卷”为事件 M , ?????????8 分 则事件 M 中首先抽出 A1 的事件有: ? A 1, A 2, B 1 , B2 ? , ? A 1, A 2 , B2 , B 1? ,? A 1, B 1, A 2 , B2 ? ,

? A1, B1, B2 , A2 ? , ? A1, B2 , A2 , B1 ? , ? A1, B2 , B1, A2 ? 共 6 种.
同理首先抽出 A2 、 B1 、 B2 的事件也各有 6 种. 故事件 M 共有 4 ? 6 ? 24 种.?????????10 分 设从“抽取 4 人中前两位均为 B 类市民”为事件 N ,则事件 N 有 ? B1 , B2 , A 1, A 2?,

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? B1, B2 , A2 , A1 ? , ? B2 , B1, A1, A2 ? , ? B2 , B1, A2 , A1 ? .? P ? N ? ? 24 ? 6 .
∴抽取 4 人中前两位均为 B 类市民的概率是

4

1

1 .?????????12 分 6

19. ⑴证明:设 EC 与 DF 交于点 N ,连结 MN , 在矩形 CDEF 中,点 N 为 EC 中点, 因为 M 为 EA 中点,所以 MN ∥ AC , 又因为 AC ? 平面 MDF , MN ? 平面 MDF , 所以 AC ∥平面 MDF . ????????4 分 ⑵解:取 CD 中点为 G ,连结 BG, EG , 平面 CDEF ? 平面 ABCD ,平面 CDEF ? 平面 ABCD ? CD ,

AD ? 平面 ABCD , AD ? CD , 所以 AD ? 平面 CDEF ,同理 ED ? 平面 ABCD ,????????7 分 所以, ED 的长即为四棱锥 E ? ABCD 的高,????????8 分 1 在梯形 ABCD 中 AB ? CD ? DG , AB / / DG , 2 所以四边形 ABGD 是平行四边形, BG / / AD ,所以 BG ? 平面 CDEF , 又因为 DF ? 平面 CDEF ,所以 BG ? DF ,又 BE ? DF , BE ? BG ? B , 所以 DF ? 平面 BEG , DF ? EG .????????10 分
2 注意到 Rt ?DEG ? Rt ?EFD ,所以 DE ? DG ? EF ? 8 , DE ? 2 2 ,

所以 VE ? ABCD ?

1 S ABCD ? ED ? 4 2 . ????????12 分 3

20. ⑴解:设曲线 E 上任意一点坐标为 ( x, y ) ,由题意,

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 3 ( x ? 1) 2 ? y 2 ,

????????2 分

整理得 x2 ? y 2 ? 4 x ? 1 ? 0 ,即 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 为所求.????????4 分 ⑵解:由题知 l1 ? l2 ,且两条直线均恒过点 N (1, 0) ,????????6 分 设曲线 E 的圆心为 E ,则 E (2, 0) ,线段 CD 的中点为 P , 则直线 EP : y ? x ? 2 ,设直线 CD : y ? ? x ? t , 由?

? y ? x ? 2, t?2 t?2 , ) , ????????8 分 ,解得点 P ( 2 2 ? y ? ?x ? t
1 | CD |? | ED |2 ? | EP |2 , ????????9 分 2

由圆的几何性质, | NP |?
2 而 | NP | ? (

t?2 t?2 2 | 2?t | 2 ? 1) 2 ? ( ) , | ED |2 ? 3 , | EP |2 ? ( ) , 2 2 2
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解之得 t ? 0 ,或 t ? 3 , ????????10 分 所以直线 CD 的方程为 y ? ? x ,或 y ? ? x ? 3 . ????????12 分 21. ⑴解:函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ?

( x ? m )( x ? m ) ,????2 分 x

当 0 ? x ? m 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 的单调递减, 当 x ? m 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 的单调递增. 综上:函数 f ( x) 的单调增区间是 ( m, ??) ,减区间是 (0, m ) .????????5 分 ⑵解:令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ?

1 2 x ? (m ? 1) x ? m ln x, x ? 0 , 2

问题等价于求函数 F ( x) 的零点个数,????????6 分

F ?( x) ? ?
注意到 F (1) ?

( x ? 1)( x ? m) ,当 m ? 1 时, F ?( x) ? 0 ,函数 F ( x) 为减函数, x

3 ? 0 , F (4) ? ? ln 4 ? 0 ,所以 F ( x) 有唯一零点;??????8 分 2

当 m ? 1 时, 0 ? x ? 1 或 x ? m 时 F ?( x) ? 0 , 1 ? x ? m 时 F ?( x) ? 0 , 所以函数 F ( x) 在 (0,1) 和 (m, ??) 单调递减,在 (1, m) 单调递增, 注意到 F (1) ? m ?

1 ? 0 , F (2m ? 2) ? ?m ln(2m ? 2) ? 0 , 2
????????11 分

所以 F ( x) 有唯一零点;

综上,函数 F ( x) 有唯一零点,即两函数图象总有一个交点. ?????12 分 22. ⑴证明:因为 ?ECF ? ?CAE ? ?CEA ? ?CAE ? ?CBA , ?EFC ? ?CDA ? ?BAE ? ?CBA , AE 平分 ?BAC , 所以 ?ECF ? ?EFC ,所以 EC ? EF . ????????4分 ⑵解:因为 ?ECD ? ?BAE ? ?EAC , ?CEA ? ?DEC , 所以 ?CEA ? ?DEC , ????????6 分 即

CE DE EC 2 ? , EA ? , EA CE DE

由⑴知, EC ? EF ? 3 ,所以 EA ?

9 , ????8 分 2

所以 AC ? AF ? AD ? AE ? ( AE ? DE ) ? AE ? 23.解: (Ⅰ) ? ? 2 2 cos ? ? ?

45 . ????????10 分 4

? ?

π? ? ? 2 ? cos ? ? sin ? ? ,???????????2 分 4?

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即 ? ? 2 ? ? cos
2

? ? ? sin ? ? ,可得 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 ,
2 2

故 C2 的直角坐标方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 .????????????????5 分 (Ⅱ) C1 的直角坐标方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 , 由(Ⅰ)知曲线 C2 是以 (1,1) 为圆心的圆,且圆心到直线 C1 的距离

d?

1? 3 ? 2 1 ?
2

? 3?

2

?

3? 3 , 2

?????????8 分

所以动点 M 到曲线 C1 的距离的最大值为

3? 3 ? 2 2 .?????????10 分 2

24.解: (Ⅰ)①当 x ? 2 时,原不等式可化为 x ? 2 ? x ? 1 ? 1 ,此时不成立; ②当 ?1 ? x ? 2 时,原不等式可化为 2 ? x ? x ? 1 ? 1 ,即 ?1 ? x ? 0 , ③当 x ? ?1 时,原不等式可化为 2 ? x ? x ? 1 ? 1 ,即 x ? ?1 , ∴原不等式的解集是 ?x | x ? 0? . (Ⅱ)因为 g ( x) ? ax ? ??3 分

?????????5 分

1 a ? 1 ? 2 a ? 1 ,当且仅当 x ? 时“=”成立, x a

所以 g ( x)min ? 2 a ?1,-----7 分

?1 ? 2 x,0 ? x ? 2, ,所以 f ( x) ?[?3,1) ,-----9 分 f ( x) ? ? ??3, x ? 2
∴ 2 a ? 1 ? 1,即 a ? 1 为所求. -----10 分

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