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高一数学竞赛辅导(四)


高一数学竞赛辅导(四)
例 1 证明函数 f(x)=
1? x ? x ?1
2

的图象关于原点对称.

1? x ? x ?1
2

例2

证明,任何定义域关于原点对称的函数都可以表示为一个奇函数和 一个偶函数的和. 如能找到一种具体的表示方法,则命题成立.

1

例 3 函数 f(x)定义在实数集上,且对一切实数 x 满足等式 f(x+2)=f(2-x) 和 f(7+x)=f(7-x). 设 f(x)=0 的一个根是 x=0. 记 f(x)=0 在区间 ―1000≤x ≤1000 中根的个数为 N,求 N 的最小值.

例4

设函数 f(x)= 4

4x ?1 3x ? 1

的反函数为 y=f(―1)(x), 解方程 f(x)=f(―1)(x).

2

例5 设 f(x)满足条件: (1)
f ( x ) ? f ( ? x ? 4 ), x ? R

,

(2) 当 x>2 时,f(x)为增函数. 试比较三个函数值
a ? f [(1 .1)
0 .9

], b ? f [(0 .9 )

1 .1

], c ? f [lo g 1 1 6 ] 的大小.
2

例 6 已知 f(x)=1+logx5, g(x)=logx29+logx38, 试比较 f(x)和 g(x)的值的大小. 例 7 证明: 对任意的实数 x,y,z∈(0,1), 不等式 x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1 成立. 例 8 当 a 为何值时,不等式
lo g 1 (
a

x ? a x ? 5 ? 1) ?lo g 5 ( x ? a x ? 6 ) ? lo g a 3 ? 0
2 2

有且只有一个解.

3

练习: 1. 选择题 (1) 已知三个实数 a,b=aa,c=ab, 其中 0.9<a<1, 这三个数的大小关系是( ) A. a<c<b B. a<b<c C. b<a<c D. c<a<b
1 a ?1
x

(2) 若 a>0, a≠1, f(x)是一个奇函数,则 G(x)=F(x) ?( A. 奇函数 B. 偶函数

?

1 2

)

是(

)

C. 不是奇函数也不是偶函数

D. 奇偶性与 a 的具体数值有关 (3) 对任意的函数 f(x), 在同一直角坐标系中, 函数 y=f(x-1)与函数 y=f(- x+1)的图象恒( ) B. 关于直线 x=1 对称 D. 关于 y 轴对称 ) D. 6
1 2

A. 关于 x 轴对称

C. 关于直线 x=-1 对称

(4) 函数 f(x) 对一切实数 x 满足 f(2+x)=f(2-x). 若方程 f(x)=0 恰好有四 个不同的实根,则这些根之和为( A. 0 B. 2 C. 4 E. 8 )

(5) 已知 a∈(0,1)为常数,|x|+|y|≤1,函数 f(x,y)=ax+y 的最大值为( A. a II. 填空题 (1) 在同一直角坐标系中,若函数 y=f(x)的图象与函数 y=
4x ? 3 2x ?1

B. 1

C. a+1

D.

(a+1)

的图象关

于原点 0 中心对称,则函数 y=f(x)的解析表达式是__________. (2) 如果 f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=x(1-x),那么当 x<0 时,f(x)的表 达式是_________. (3) 已 知 二 次 项 系 数 为 正 的 二 次 函 数 f(x) 满 足 f(x+1)=f(1 - x), 则
f( 3 ) 与 f ( ) 的大小关系是________. 12 7 5

(4) 若函数

y ? 2 lo g 1 x ? 2 lo g 1 x ? 3
2 2 2

递增,则 x 的取值范围是_______.

(5) 若 p2<3q,则函数 f(x)=x3+px2+qx+r 在 R 上的单调性是_________.

4

3. 已知|a|<1,|b|<1,|c|<1,求证 (1) ab+ac+bc>0; (2) abc+2>a+b+c.

4. 设 a,b,c 为三角形的三边,求证
a 1? a ? b 1? b ? c 1? c

.

5

5. 设实数 xi 满足 0≤xi≤1 (i=1,2,3,4),

求证

x1+x2+x3+x4-x1x2-x2x3-x3x4-x4x1 ≤2.

6


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