当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

清宫定理


清宫定理
1 清宫定理 设 P、Q 为△ABC 的外接圆上异于 A、B、C 的两点,P 关于三边 BC、CA、AB 的对 称点分别是 U、V、W,且 QU、QV、QW 分别交三边 BC、CA、AB 或其延长线于 D、E、 F,则 D、E、F 在同一直线上 2 证明 P、Q 两点和 D、F、E、三点有如下关系:

将三角形的三边或者其延长线作为镜面,则

从 P 点出发的光线照到 D 点经过 BC 反射以后通过 Q 点, 从 P 点出发的光线照到 E 点经 AC 的延长线反射后通过 Q 点, 从 P 点出发的光线照到 F 点后通过 Q 点 从而,如果 P、Q 两点重合,则 D、E、F 三点成为从 P(即 Q)点向 BC,CA,AB 或者它们的延长线所引的垂线的垂足。清宫定理就相当于西摩松定理。 我们决定将证明清宫定理的方针确定如下: 因为 D、 E、 F 三点中, 有两点在△ABC 的边上,其余一点在边的延长线上, 如证明 (BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)=1, 则根据梅涅劳斯定理的逆定理,就可证明 DEF 三点在同一直线上。 首先,A、B、P、C 四点共圆,因此 ∠PCE=∠ABP 但是,点 P 和 V 关于 CA 对称 所以∠PCV=2∠PCE 又因为 P 和 W 关于 AB 对称,所以 ∠PBW=2∠ABP

从这三个式子,有 ∠PCV=∠PBW 另一方面,因为∠PCQ 和∠PBQ 都是弦 PQ 所对的圆周角,所以 ∠PCQ=∠PBQ 两式相加,有 ∠PCV+∠PCQ=∠PBW+∠PBQ 即∠QCV=∠QBW 即△QCV 和△QBW 有一个顶角相等,因此 S(△QCV)/S(△QBW)=(CV·CQ)/(BW·BQ) 但是 CV=CP,BW=BP,所以 S(△QCV)/S(△QBW)=(CP·CQ)/(BP·BQ) 同理 S(△QAW)/S(△QCU)=(AP·AQ)/(CP·CQ) S(△QBU)/S(△QAV)=(BP·BQ)/(AP·AQ) 于是 (BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB) =[S (△QBU) /S(△QCU) ]·[S (△QCV)/S (△QAV)]·[S(△QAW)/S (△QBW)] =[S (△QBU) /S(△QAV) ]·[S (△QCV)/S (△QBW)]·[S(△QAW)/S (△QCU)] =[(BP·BQ)/(AP·AQ)]·[(CP·CQ)/(BP·BQ)]· [(AP·AQ)/(CP·CQ)] =1 根据梅涅劳斯定理的逆定理,D、E、F 三点在同一直线上


相关文章:
中考数学平面几何六十个定理大全
清宫定理:设 P、Q 为△ABC 的外接圆的异于 A、B、C 的两点,P 点的关于三 边 BC、CA、AB 的对称点分别是 U、V、W,这时,QU、QV、QW 和边 BC、CA、...
平面几何基本定理
F 三点共线. 55. 清宫定理:设 P、Q 为△ ABC 的外接圆的异于 A、B、C 的 两点,P 点的关于三边 BC、CA、AB 的对称点分别是 U、V、 W,这时,QU、...
数学几何必会定理
清宫定理:设 P、Q 为△ABC 的外接圆的异于 A、B、C 的两点,P 点的关于三边 BC、 CA、AB 的对称点分别是 U、V、W,这时,QU、QV、QW 和边 BC、CA、...
高中数学竞赛平面几何定理证明大全
清宫定理 :设 P 、Q 为△ ABC 的外接圆上异于 A 、B 、C 的两点,P 关于三边 BC 、 CA 、 AB 的对称点分别是 U 、 V 、 W ,且 QU 、 QV 、 ...
初中平面几何的60个定理
清宫定理:设 P、Q 为△ABC 的外接圆的异于 A、B、C 的 两点,P 点的关于三边 BC、CA、AB 的对称点分别是 U、V、W, 这时,QU、QV、QW 和边 BC、CA...
著名数学定理1
清宫定理设 P,Q 为△ ABC 的外接圆上异于 A,B,C 的两点,P 关于三边 BC,CA,AB 的对称点分别是 U,V,W, 且 QU,QV,QW 分别交三边 BC,CA,AB 或其...
定理
清宫定理:设 P、Q 为△ABC 的外接圆的异于 A、B、C 的两点,P 点的关于三 边 BC、CA、AB 的对称点分别是 U、V、W,这时 QU、QV、QW 和边 BC、CA、...
定理
清宫定理 设 P、Q 为△ABC 的外接圆上异于 A、B、C 的两点,P 关于三边 BC、CA、 AB 的对称点分别是 U、V、W,且 QU、QV、QW 分别交三边 BC、CA、...
几何及代数中的著名定理
清宫定理:设 P、Q 为△ABC 的外接圆的异于 A、B、C 的两点,P 点的关 于三边 BC、CA、AB 的对称点分别是 U、V、W,这时,QU、QV、QW 和边 BC、CA、...
平面几何的著名定理
46、清宫定理:设 P、Q 为△ABC 的外接圆的异于 A、B、C 的两点,P 点的关于三边 BC、CA、AB 的对称点分别是 U、V、W,这时,QU、QV、QW 和边 BC、CA...
更多相关标签: