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理科第十四章推理与证明


第十四章 推理与证明
第一节合情推理与演绎推理 题型 185 归纳推理
,观察:,

例题 14.1 设函数 f(x)=

根据以上事实, 由归纳推理可得: 当 14、
x (2n ? 1) x ? 2n

___.

例题 14.2 定义 Fn ( A , B) 表示所

有满足 A

B ? ?a1, a2 , ???, an ? 的集合 A , B 组成的有序集

合 对 ( A ,B ) 的 个 数 . 试 探 究 F 1 ( A , B) , F 2 ( A , B) , ??? , 并 归 纳 推 得

Fn ( A, B) =_________.
16. 3 . 例题 14.3 如图,坐标纸上的每个单元格的边长为 1,由下往上的六个点: 1,2,3,4,5,6 的横纵坐标分别对应数列 ?an ? (n ? N ) 的前 12 项,如下表所示:
*
n

按如此规律下去,则 a2009 ? a2010 ? a2011 ?

.

a1 x1

a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x5 y5

a11 x6

a12 y6

1

15.1005

?x ? (?1) n sin ? 2n, x ? [2n, 2n ? 1) ? ? 2 , (n ? N ) , 例题 14.4 已知函数 f ( x) ? ? ?(?1) n ?1 sin ? x ? 2n ? 2, x ? [2n ? 1, 2n ? 2) ? 2 ?
若 数 列 {am} 满 足 a m ? f (

m )( m ? N ? ) , 且 2

?a ?
m

的 前 m 项 和 为 Sm , 则

S2014 ? S2006 =
15.8042

.

例题 14.5 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一组数: 1,1, 2,3,5,8,13,?其中从第三个数起,每一个数都等于他前而两个数的和.该数列是一个 非常美丽、和谐的数列,有很多奇妙的属性.比如:随着数列项数的增加,前一项与后一项 之比越逼近黄金分割 0.6180339887?.人们称该数列{an}为“斐波那契数列”.若把该数列 {an}的每一项除以 4 所得的余数按相对应的顺序组成新数列{bn}, 在数列{bn}中第 2014 项的 值是___3_____ 15、【KS5U 答案】 3 解析:写出前几项数列的数,可以找出规律。 例题 14.6 观察下列等式:

sin2 ? ? cos2 ?? ? 300 ? ? sin? cos ?? ? 300 ? ?

3 ; 4 1 ; 2 1 ; 4

sin2 ? ? cos2 ?? ? 450 ? ? 2 sin? cos ?? ? 450 ? ? sin2 ? ? cos2 ?? ? 600 ? ? 3 sin? cos ?? ? 600 ? ?

sin2 ? ? cos2 ?? ? 900 ? ? 2sin? cos ?? ? 900 ? ? 0 ;
2? 3 4 训练题 1[2014·北京卷] 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀” “合

可以猜想出结论: sin 2 ? ? cos 2 ? ? ? 750 ? ?

sin ? cos ? ? ? 750 ? ?

格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于 乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好, 并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( ) A.2 人 B.3 人 C.4 人 D.5 人 8.B 训练题 2[2014·福建卷] 已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:①a≠2;②b
2

=2;③c≠0 有且只有一个正确,则 100a+10b+c 等于________. 16.201 训练题 3[2014·陕西卷] 已知 f(x)= ,x≥0,若 f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n 1+x ?N+,则 f2014(x)的表达式为________. 14. 1+2014x 训练题 4[2014·福建卷] 若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系: ①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4 有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a, b,c,d)的个数是________. 15.6 [解析] 若①正确,则②③④不正确,可得 b≠1 不正确,即 b=1,与 a=1 矛 盾,故①不正确; 若②正确,则①③④不正确,由④不正确,得 d=4;由 a≠1,b≠1,c≠2,得满足条 件的有序数组为 a=3,b=2,c=1,d=4 或 a=2,b=3,c=1,d=4. 若③正确,则①②④不正确,由④不正确,得 d=4;由②不正确,得 b=1,则满足条 件的有序数组为 a=3,b=1,c=2,d=4; 若④正确,则①②③不正确,由②不正确,得 b=1,由 a≠1,c≠2,d≠4,得满足条 件的有序数组为 a=2,b=1,c=4,d=3 或 a=3,b=1,c=4,d=2 或 a=4,b=1,c= 3,d=2; 综上所述,满足条件的有序数组的个数为 6. 训练题 5[2014·新课标全国卷Ⅰ] 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市 时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为________. 14.A 训练题 6[2014·陕西卷] 观察分析下表中的数据: 多面体 三棱柱 五棱锥 立方体 面数(F) 5 6 6 顶点数(V) 6 6 8 棱数(E) 9 10 12

x

x

猜想一般凸多面体中 F,V,E 所满足的等式是________. 14.F+V-E=2 训练题 7 向圆内随机投掷一点, 此点落在该圆的内接正 n ? n ? 3, n ? N? 边形内的概率为 pn , 下列论断正确的是 A.随着 n 的增大, pn 增大 C.随着 n 的增大, pn 先增大后减小 4.A 训练题 8 n 个连续自然数按规律排成下表, 根据规律, 2011 到 2013, 箭头的方向依次为 ( ) B.随着 n 的增大, pn 减小 D.随着 n 的增大, pn 先减小后增大

3

A.↓→ 9.B 训练题 9

B.→↓ C.↑→ D.→↑

答案:

1 4

题型 186

类比推理

例题 14.7 观察下列等式:
1 5 C5 ? C5 ? 23 ? 2 , 1 5 9 C9 ? C9 ? C9 ? 27 ? 23 ,

1 5 9 13 C13 ? C13 ? C13 ? C13 ? 211 ? 25 , 1 5 9 13 17 C17 ? C17 ? C17 ? C17 ? C17 ? 215 ? 27 ,

??? 由以上等式推测到一个一般的结论:
1 5 9 对于 n ? N , C4 n?1 ? C4 n?1 ? C4 n?1 ?
*

4 n?1 ? C4 n?1 ?



答案

24 n ?1 ? ? ?1? 22 n ?1
n

4

解析

这是一种需类比推理方法破解的问题,结论由二项构成,第二项前有 ? ?1? ,
n
*

二项指数分别为 24n?1 , 22n?1 ,因此对于 n ? N ,
1 5 9 C4 n?1 ? C4 n?1 ? C4 n?1 ? 4 n?1 24 n ?1 ? ? ?1? 22 n ?1 ? C4 n?1 ?
n

例题 14.8(2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案))36 的所有正约数之和可按如下方法 得 到 : 因 为 36=2 ? 3
2 2

, 所 以

36

的 所 有 正 约 数 之 和 为

(1 ? 3 ? 32 ) ? (2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 32 ) ? (22 ? 22 ? 3 ? 22 ? 32 ) ? (1 ? 2 ? 22( ) 1 ? 3 ? 32 ) ? 91
参照上述方法,可求得 2000 的所有正约数之和为________________________ 【答案】4836 例题 14.9 将函数 y ?

1 2 2 的图象绕原点顺时针旋转 45? 后可得到双曲线 x ? y ? 2 .据此类 x 4x 推得函数 y ? 的图象的焦距为 . x ?1

15. 8 例题 14.10 在平面上有如下命题:“ O 为直线 AB 外的一点,则点 P 在直线 AB 上的充要 条件是:存在实数 x, y 满足 OP ? xOA ? yOB ,且 x ? y ? 1 ”,我们把它称为平面中三点 共线定理,请尝试类比此命题,给出空间中四点共面定理,应描述为: 15. O 为平面 ABC 外一点,则点 P 在平面 ABC 内的充要条件是:存在实数 x, y , z 满足

OP ? xOA ? yOB ? zOC 且 x ? y ? z ? 1
例题 14.11 已知命题:在平面直角坐标系 xoy 中,?ABC 的顶点 A(? p,0) 和 C ( p,0) ,顶点

B 在椭圆

的离心率).试将该命题类比到双曲线中,给出一个真命题:在平面直角坐标系 xoy 中,

sin A ? sin C 1 x2 y2 ? (其中 e 为椭圆 ? 2 ? 1(m ? n ? 0, p ? m 2 ? n 2 ) 上,则 2 e sin B m n
的 顶 点

?ABC
2 2

A(? p,0)



C ( p,0)







B .







线

x y ? 2 ? 1(m ? n ? 0, p ? m 2 ? n 2 ) 上,则 2 m n

例题 14.12 设 S、V 分别表示面积和体积,如△ABC 面积用 S△ABC 表示,三棱锥 O-ABC 的体积 → → → → 用 VO-ABC 表示.对于命题:如果 O 是线段 AB 上一点,则|OB|·OA+|OA|·OB=0.将它类比到 → → → 平面的情形是:若 O 是△ABC 内一点,有 S△OBC·OA+S△OCA·OB+S△OBA·OC=0.将它类比到空 间的情形应该是:若 O 是三棱锥 A-BCD 内一点,则有__________________________. 例题 14.13 在计算“ 1? 2 ? 2 ? 3 ? ??? ? n(n ? 1) ”时,某同学学到了如下一种方法:先改写

5

第 k 项: k (k ? 1) ? [ k ( k ? 1)( k ? 2) ? ( k ?1) k( k ?1)], 由此得

1 3

1 1? 2 ? (1? 2 ? 3 ? 0 ?1? 2), 3 1 2 ? 3 ? (2 ? 3 ? 4 ? 1? 2 ? 3), 3
?

1 n(n ? 1) ? [n(n ? 1)(n ? 2) ? (n ? 1)n(n ? 1)]. 3 1 相加,得 1? 2 ? 2 ? 3 ? ??? ? n( n ? 1) ? n(n ? 1)( n ? 2). 3
类比上述方法,请你计算“ 1? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 4 ? ??? ? n(n ? 1)(n ? 2) ”, 其结果为 16、 .

1 n?n ? 1??n ? 2??n ? 3? 4

例题 14.14 设△ABC 的三边长分别为 a、b、c,△ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则 r= 2S ;类比这个结论可知:四面体 S-ABC 的四个面的面积分别为 S 1、S2、S3、S4,内切 a+b+c 球的半径为 r,四面体 S-ABC 的体积为 V,则 r= 15. 训 练 3V S1+S2+S3+S4 1 若 .



a0 , a1 , a2 ,

an





















0 1 2 Cn a0 ? Cn a1 ? Cn a2 ?

n 类比上述性质, 相应地: 若 b0 , b1 , b2 , ? (?1)n Cn an ? 0 成立,

bn

成等比数列,则有等式__

b0Cn ? b1?Cn ? b2Cn ?

0

1

2

? bn ( ?1)

n

n Cn

?1

_成立。

训练题 2 已知 (2x ? 1)n ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? ... ? an xn 中令 x ? 0, 就可以求出常数,即 1 ? a0 . 请你研究其中蕴含的解题方法研究下列问题 若 e x ? ? ai x i ,即 ex ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 ?
i ?0 ??

an xn ?

,则

1 2 3 ? ? a1 a2 a3

n = an

15.解:对 ex ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 ? 两边求导:
a1 ? 1 ? 1 ?1 a1

an xn ? nan xn? 1?

3 ex ? a1 ? 2a 2x ? 3 a3 x2 ? 4 ax 4 ?

令 x=0 得 :

再 两 边 求 导 : ex ? 2 ?1a2 ? 3 ? 2a3 x ? 4 ? 3a4 x2 ?

n ? (n ? 1)an xn?2 ?

令 x=0 得 :

6

a2 ?

1 1 ? ? 1 ? 2 ? 2! 1? 2 a2

再 两 边 求 导 : ex ? 3 ? 2 ?1a3 ? 4 ? 3 ? 2a4 x ?
a3 ? 1 1 ? ? 1 ? 2 ? 3 ? 3! 1? 2 ? 3 a2

n(n ? 1)(n ? 2)an xn?3 ?

令 x=0 得 :

? 猜想: an ? 所
1 ? a1
1 1? 2 ? 3 ? n ? 1 ? 1? 2 ? 3 ? an ! ?n n ? n! [ ? (n ?1 n )? ,


2n ? a2 n (

n ?n an

所 n1
?3

?以 ]

n? !

?

3 2 a3

?

!

a

n

?1

!n?

)

? n

(

!

?

2

? !

训练题 3 先阅读下面的材料:“求 1 ? 1 ? 1 ? 令 1? 1? 1?

的值时,采用了如下方法:

? x ,则有 x ? 1 ? x ,两边同时平方,得 x2 ? 1 ? x ,解得

x?

1? 5 (负值舍去).”————根据以上材料所蕴含的数学思想方法,可以求得 2

函数 F ( x) ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? x ? x 的零点为________.

1 ? 13 . 2 *15. 解 析 : 令 f ( x)?
15.

若 f ( x0 ) ? x0 , 则 x) ) . ) x 3 ? x, 则 F ( x)? f ( f ( f ( f ( ?

f ( f ( 0x )? )

f ( ? ) ,?, f ( f ( f ( f ( x0 ))) ? x0 ;反过来,若 x0 满足 f ( f ( f ( f ( x0 ))) ? x0 , 0x 0x
1 ? 13 (负值舍去). 2

由于 f ( x) 在 [0, ??) 上单调递增,由反证法可知,必有 f ( x0 ) ? x0 .综上可知,方程

f ( f ( f ( f ( x))) ? x 与 f ( x) ? x 同解,得 x ?

训练题 4 已知数列 ?an ? 是正项等差数列,若 Cn ?

a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? nan ,则数列 ?Cn ? 也为等 1? 2 ? 3 ? ? n
,则数

差数列. 类比上述结论,已知数列 ?bn ? 是正项等比数列,若 d n = 列{ d n }也为等比数列.

?b b

2

1 2

b3 ...bn

3

1 n 1? 2?3? 4...? n

?

训练题 5 我们知道无限循环小数 0.3 ?

1 7 0.777... ,现探究 0.7 ? 。设 0.7 ? x ,由 0.7 ? 可 3 9 7 知 10 x ? x ? 7.777... ? 0.777...,即 10 x ? x ? 7 ,从而 x ? 。则类比上述探究过程,用 9 245 分数形式表示 0.735 ? 15、 333

7

训练题 6 数学家科拉茨在 1937 年提出了一个著名的猜想: 任给一个正整数 n , 若它是偶数,

n ),若它是奇数,则将它乘 3 加 1(即 3n ? 1 ),不断重复这样的运 2 算,经过有限步后,一定可以得到 1 。如初始正整数为 6 ,按照上述规则,我们得到一 个数列:6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 。根据此猜想,如果对于正整数 n (首项), 经过变换(注:1 可以多次出现)后的第 8 项为 1 ,则 n 的所有可能的值为
则将它减半(即 16、 2,3,16, 20, 21,128

第二节证明 题型 187
例题 14.14

综合法与分析法证明

a 设函数f ( x) ? ax2 ? bx ? c且f (1) ? ? , 3a ? 2c ? 2b。求证: 2 b 3 ( 1)a ? 0,且 ? 3 ? ? ? a 4 (2)函数f ( x)在?0,2?中至少有一个零点 (3)设x1 , x 2 是f ( x)的两个零点,则 2 ? x1 ? x 2 ?
例题 14.15

57 4

在三角形ABC中,A, B, C成等差数列,其对边分 别为a, b, c, 1 1 3 求证: ? ? a?b b?c a?b?c

题型 188
例题 14.16

反证法证明

若a, b, c均为实数,且 a ? x2 ? 2y ? 求证:a, b, c中至少有一个大于 0

?
2

, b ? y 2 ? 2z ?

?
3

, c ? z 2 ? 2x ?

?
6

8

题型 189

数学归纳法

例题 14.17 用数学归纳法证明:

1?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? ? ? ? ? ... ? (n ? N ? ) 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 n ? 3 n?n

1 1 1 13 ? ?L ? ? (n ? 2) 2n 24 例题 14.18 用数学归纳法证明不等式 n ? 1 n ? 2 时的过程中,由
n ? k 到 n ? k ? 1 时,不等式的左边。。。。。。。。。。。。。。。(
A.增加了一项 C.增加了两项 D.增加了一项 6.C )

1 2(k ? 1)

B.增加了两项

1 1 ? 2k ? 1 2(k ? 1)

1 1 1 ,又减少了一项 ? k ?1 2k ? 1 2(k ? 1)
1 1 ,又减少了一项 k ?1 2(k ? 1)

其它训练题
→ MB→ MA→ 训练题 1 如图 1,在△OAB 中,M 是 AB 边上的点,则 OM = OA + OB ,类比到空间向

AB

AB

量,如图 2,在四面体 OABC 中,M 是△ABC 内一点,那么下列结论正确的是 · ( D
O O



A

M 图1

B

A 图2

M B

C

MB+MC → MC+MA → MA+MB → → A. OM = OA + OB + OC MA+MB+MC MA+MB+MC MA+MB+MC
→ B. OM =

BC

△ABC的周长

→ OA +

CA

△ABC的周长

→ OB +

AB



△ABC的周长

OC

→ C. OM =

d1 d2 d3 → → → OA + OB + OC d1+d2+d3 d1+d2+d3 d1+d2+d3

(其中 d1、d2、d3 分别表示 M 到 BC、CA、AB 的距离)

9

→ D. OM =

S△MBC S△ABC

→ OA +

S△MCA

→ OB +

S△MAB S△ABC



OC

S△ABC

2 * 训练题 2 若 f ( n) 为 n ? 1(n ? N ) 的各位数字之和,如 142 ? 1 ? 197,1 ? 9 ? 7 ? 17 ,则

f (14) ? 17,记 f1 (n) ? f (n), f2 (n) ? f ( f1 (n)),
5

, fk ?1 (n) ? f ( f k (n)), k ? N * , 则 f 2012 (8) =
*

训练题 3 在含有 3 件次品的 10 件产品中,取出 n(n ? 10, n ? N ) 件产品, 记 ? n 表示取出的次品数,算得如下一组期望值 E? n : 当 n=1 时, E?1 ? 0 ? 当 n=2 时, E?2 ? 0 ?
0 1 1 0 C3 C7 C3 C7 3 ? 1 ? ? ; 1 1 C10 C10 10 0 2 1 1 0 C3 C7 C3 C7 C32C7 6 ? 1 ? ? 2 ? ? ; 2 2 2 C10 C10 C10 10

0 3 1 2 1 3 0 C3 C7 C3 C7 C32C7 C3 C 9 当 n=3 时, E?3 ? 0 ? ? 1? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 7 ? ; 3 C10 C10 C10 C10 10

?? 观察以上结果,可以推测:若在含有 M 件次品的 N 件产品中,取出

n(n ? N , n ? N * ) 件产品,记 ξ n 表示取出的次品数,则 Eξ n =

mn N



训练题 4 已知 a<b,则在下列的一段推理过程中,错误的推理步骤有 ③ .(填上所有 错误步骤的序号) ∵a<b,∴a+a<b+a,即 2a<b+a,?① ∴2a﹣2b<b+a﹣2b,即 2(a﹣b)<a﹣b,?② 2 2 ∴2(a﹣b)?(a﹣b)<(a﹣b)?(a﹣b),即 2(a﹣b) <(a﹣b) ,?③ 2 ∵(a﹣b) >0,∴可证得 2<1.?④

训练题 5 对一块边长为 1 的正方形进行如下操作:第一 步,将它分割成 3x3 方格,接着用中 心和四个角 的 5 个小正方形,构成如图①所示的几何图形,其面积 S1

?

5 ;第二步,将图 9

①的 5 个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作,得到图②;依此类推, 到第 ?步,所得图形的面积 Sn

5 ? ( ) n .若将以上操作类比推广到棱长为 1 的正方体中,则 9
(II)到第 n 步时,所得几何体的 1 _____. 1 n ,( ) 3 3

(I)当 n = 1 时,所得几何体的体积 V1 =_

10

体积 Vn =___1

1 n ___. ,( ) 3 3
a2 .类比到 4

训练题 6 现有一个关于平面图形的命题:如图,同一个平面内有两个边长都是 a 的正方形, 其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为

空间,有两个棱长均为 a 的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方 体重叠部分的体积恒为

a3 8

n ? ? 1 2 3 ??? n ? 2 n ? 1 ? ? n 1 ? ? 2 3 4 ??? n ? 1 n 1 2 ? 中, 训练题 7 在 n 行 m 列矩阵 ? 3 4 5 ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ??? ? n 1 2 ??? n ? 3 n ? 2 n ? 1? ? ?
记位于第 i 行第 j 列的数为 aij (i, j ? 1, 2 ???, n) 。当 n ? 9 时 , a1 1 ? a 2 2 ? a 3 3? ? ? ? ?a 9 9 ? 45 。

解析: a11 ? a22 ? a33 ? ??? ? a99 ? 1+3+5+7+9+2+4+6+8=45 训练题 8 设 V 是全体平面向量构成的集合,若映射 f : V ? R 满足:对任意向量 a=(x1,y1) ?V,b=(x2,y2)?V,以及任意 ? ?R,均有

f (? ? a(1 ? ? )b) ? ? f (a) ? (1 ? ? ) f (b),
则称映射 f 具有性质 P。 现给出如下映射: ①

f1 : V ? R, f 2 (m) ? x, ? y, m ? ( x, y) ?V ;
2

② f2 : V ? R, f 2 (m) ? x ? y, m ? ( x, y) ?V ;
3 ③ 3 其中,具有性质 P 的映射的序号为________。(写出所有具有性质 P 的映射的序号) 【答案】①③

f : V ? R, f (m) ? x ? y ? 1, m ? ( x, y) ?V .

训练题 9 观察下列各式: 5 =3125, 5 =15625, 5 =78125,?,则 5 A.3125 B.5625 C.0625 【答案】D

5

6

7

2011

的末四位数字为 D.8125

训练题 10 设 S 是整数集 Z 的非空子集,如果 ?a, b ? S , 有 ab ? S ,则称 S 关于数的乘法是 封 闭 的 . 若 T,V 是 Z 的 两 个 不 相 交 的 非 空 子集 , T ? U ? Z, 且 ?a, b, c ? T , 有

abc ? T ; ?x, y, z ?V , 有 xyz ?V ,则下列结论恒成立的是 A. T ,V 中至少有一个关于乘法是封闭的
B. T ,V 中至多有一个关于乘法是封闭的 C. T ,V 中有且只有一个关于乘法是封闭的 D. T ,V 中每一个关于乘法都是封闭的
11

【答案】A 训练题 11 在平面直角坐标系中,如果 x 与 y 都是整数,就称点 ( x, y ) 为整点, 下列命题中正确的是_____________(写出所有正确命题的编号). ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y ? kx ? b 不经过任何整点 ③直线 l 经过无穷多个整点,当且仅当 l 经过两个不同的整点 ④直线 y ? kx ? b 经过无穷多个整点的充分必要条件是: k 与 b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 【答案】①,③,⑤ 训练题 12 设函数

f ( x) ?

x ( x ? 0) x?2 ,观察:

f1 ( x ) ? f ( x ) ?

x , x?2

f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) ? f 3 ( x) ? f ( f 2 ( x)) ?
f 4 ( x) ? f ( f 3 ( x)) ?

x , 3x ? 4 x , 7x ? 8
x , 15 x ? 16

根据以上事实,由归纳推理可得: 当 n ? N 且 n ? 2 时,
?

fn ( x) ? f ( fn?1 ( x)) ?

.

x n 【答案】 (2 ? 1) x ? 2
n

训练题 13 观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ?? 。

照此规律,第 n 个等式为 【答案】 n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ?

? (3n ? 2) ? (2n ?1)2
2 2 3 3 4 4 5 5

训练题 14 观察下列各式: a ? b ? 1, a ? b ? 3, a ? b ? 4, a ? b ? 7, a ? b ? 11,



a10 ? b10 ?
A.28 B.76 C.123 D.199 【答案】C 【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。 【解析】 等式右面的数构成一个 数列 1,3,4,7,11 , 数列的前两项相加 后面的项, 即
12

an ? an?1 ? an?2 ,所以可推出 a10 ? 123,选 C.
训练题 15 正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 在边 AB 上,点 F 在边 BC 上,AE=BF=

7 .动点 P 3

从 E 出发沿直线喜爱那个 F 运动, 每当碰到正方形的方向的边时反弹, 反弹时反射等于入射 角,当点 P 第一次碰到 E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为 (A)16(B)14(C)12(D)10 【答案】B 【解析】结合已知中的点 E,F 的位置,进行作图,推理可知,在反射的过程中,直线是 平行的,那么利用平行关系,作图,可以得到回到 EA 点时,需要碰撞 14 次即可. 训练题 16 我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九 而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V ,求 其直径 d 的一个近似公式 d ?
3

16 V . 人们还用过一些类似的近似公式. 根据 9
3

π =3. 14159 判断,下列近似公式中最精确的一个是
11. d ? 【答案】D 【解析】
3

16 V 9

B. d ? 3 2V

C. d ?

300 V 157

D. d ?

3

21 V 11

3 4 d 3 6V a 6b 6?9 由V ? ? ( ) ,得d ? , 设选项中常数为 , 则? = ;A中代入得? = =3.375, 3 2 ? b a 16 6 ?1 6 ?157 6 ?11 B中代入得? = =3,C中代入得? = =3.14, D中代入得? = =3.142857, 2 300 21 由于D中值最接近?的真实值,故选择D。
训练题 17 观察下列不等式

1 3 ? 22 2 1 1 5 1? 2 ? 3 ? , 2 3 3 1 1 1 7 1? 2 ? 2 ? 2 ? 2 3 4 4 1?
?? 照此规律,第五个 不等式为 ... .

1 1 1 1 1 11 ? ? ? ? ? . 2 2 32 4 2 5 2 6 2 6 1 1 1 1 1 11 【解析】通过观察易知第五个不等式为 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? . 2 3 4 5 6 6
【答案】 1 ? 训练题 18 设 N=2 (n?N ,n≥2),将 N 个数 x1,x2,?,xN 依次放入编号为 1,2,?,N 的 N 个位置,得到排列 P0=x1x2?xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序 依次放入对应的前
n
*

N N 和后 个位置, 得到排列 P1=x1x3?xN-1x2x4?xN, 将此操作称为 C 变换, 2 2
13

将 P1 分成两段,每段 2 段,每段
i

N 个数,并对每段作 C 变换,得到 p2 ;当 2≤i≤n-2 时,将 Pi 分成 2

N 个数,并对每段 C 变换,得到 Pi+1,例如,当 N=8 时,P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此 2i

时 x7 位于 P2 中的第 4 个位置. (1)当 N=16 时,x7 位于 P2 中的第___个位置; n (2)当 N=2 (n≥8)时,x173 位于 P4 中的第___个位置. 【答案】(1)6;(2) 3 ? 2 【解析】(1)当 N=16 时,
n?4

? 11

P 0 ? x1 x2 x3 x4 x5 x6
P 1 ? x1 x3 x5 x7

x16 ,可设为 (1, 2,3, 4,5, 6,
x16 ,即为 (1,3,5,7,9,

,16) , 2, 4,6,8, ,16) , ,16) , x7 位于 P2 中的第 6

x15 x2 x4 x6

P2 ? x1 x5 x9 x13 x3 x7 x11x15 x2 x6
个位置,;

x16 ,即 (1,5,9,13,3,7,11,15, 2,6,

(2)方法同(1),归纳推理知 x173 位于 P4 中的第 3 ? 2

n?4

? 11 个位置.

【点评】本题考查在新环境下的创新意识,考查运算能力,考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯,才可顺利解决此类问题. 训练题 19 回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数. 如 22, 121, 3443, 94249 等. 显 然 2 位回文数有 9 个:11,22,33,?,99.3 位回文数有 90 个:101,111,121,?,191, 202,?,999.则 (Ⅰ)4 位回文数有 【答案】90, 9 ? 10
n

个; 个.

(Ⅱ) 2n ? 1 (n ? N? ) 位回文数有

【解析】(Ⅰ)4 位回文数只用排列前面两位数字,后面数字就可以确定,但是第一位不能 为 0,有 9(1~9)种情况,第二位有 10(0~9)种情况,所以 4 位回文数有 9 ? 10 ? 90 种。 答案:90 (Ⅱ)法一、由上面多组数据研究发现,2n+1 位回文数和 2n+2 位回文数的个数相同, 所以可以算出 2n+2 位回文数的个数。2n+2 位回文数只用看前 n+1 位的排列情况,第一位不 能为 0 有 9 种情况,后面 n 项每项有 10 种情况,所以个数为 9 ? 10 .
n

法二、可以看出 2 位数有 9 个回文数,3 位数 90 个回文数。计算四位数的回文 数是可以看出在 2 位数的中间添加成对的“00,11,22,??99”,因此四位数的回文数 有 90 个按此规律推导 0~9 这十个数,因此
2 2

,而当奇数位时, 可以看成在偶数位的最中间添加 ,则答案为 9 ? 10 .
n

训练题 20 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数. (1)sin 13°+cos 17°-sin13°cos17° (2)sin 15°+cos 15°-sin15°cos15° (3)sin 18°+cos 12°-sin18°cos12°
14
2 2 2 2

(4)sin (-18°)+cos 48°- sin (-18°)cos 48° (5)sin (-25°)+cos 55°- sin (-25°)cos 55° Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广位三角恒等式,并证明你的结论. 【答案】
2 2 2 2

2

2

2

2

训练题 21 若 S n ? sin 个数是( )

?
7

? sin

2? n? ? ? ... ? sin ( n ? N ),则在 S1 , S2 ,..., S100 中,正数的 7 7

15

A、16 【答案】C

B、72

C、86

D、100

【解析】由题意可知, S13 ? S14 = S 27 ? S 28 = S 41 ? S 42 =?= S 97 ? S 98 =0,共 14 个,其余均 为正数,故共有 100-14=86 个正数。 训练题 22 观察下列事实|x|+|y|=1 的不同整数解(x,y)的个数为 4 , |x|+|y|=2 的不同 整数解(x,y)的个数为 8, |x|+|y|=3 的不同整数解(x,y)的个数为 12 ?.则|x|+|y|=20 的不同整数解(x,y)的个数为 A.76 B.80 C.86 D.92 【答案】B 【解析】个数为首项为 4,公差为 4 的等差数列,所以 an ? 4 ? 4(n ? 1) ? 4n , a20 ? 80 , 选 B. 训练题 23 观察下列不等式

1 3 ? 22 2 1 1 5 1? 2 ? 3 ? , 2 3 3 1 1 1 5 1? 2 ? 2 ? 2 ? 2 3 4 3 1?
?? 照此规律,第五个 不等式为 ... .

【答案】 1 ?

1 1 1 1 1 11 ? ? ? ? ? . 2 2 32 4 2 5 2 6 2 6 1 1 1 1 1 11 ? ? ? ? ? . 2 2 32 4 2 5 2 6 2 6

【解析】通过观察易知第五个不等式为 1 ?

训练题 24 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。他 们研究过如图所示的三角形数:

将三角形数 1,3, 6,10,?记为数列{an},将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成 一个新数列{bn},可以推测: (Ⅰ)b2012 是数列{an}中的第______项;

16

(Ⅱ)b2k-1=______。(用 k 表示) 【答案】(Ⅰ)5030;(Ⅱ)

5k ? 5k ? 1? 2
n(n ? 1) ,写出其 2

【解析】由以上规律可知三角形数 1,3,6,10,?,的一个通项公式为 an ?

若干项有: 1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110, 发现其中能被 5 整除的为 10,15,45,55,105,110,故 b1 ? a4 , b2 ? a5 , b3 ? a9 , b4 ? a10 , b5 ? a14 , b6 ? a15 . 从而由上述规律可猜想: b2 k ? a5 k ?

5k (5k ? 1) ( k 为正整数), 2 (5k ? 1)(5k ? 1 ? 1) 5k (5k ? 1) b2 k ?1 ? a5 k ?1 ? ? , 2 2

故 b2012 ? a2?1006 ? a5?1006 ? a5030 ,即 b2012 是数列 {an } 中的第 5030 项. 【点评】本题考查归纳推理,猜想的能力.归纳推理题型重在猜想,不一定要证明,但猜想 需要有一定的经验与能力,不能凭空猜想.来年需注意类比推理以及创新性问题的考查. 训练题 25 定义:如果对任意一个三角形,只要它的三边长 a,b,c 都在函数 f(x)的定义域 内, 就有 f(a), f(b), f(c)也是某个三角形的三边长, 则称 f(x)为 “保三角形函数” . 若 函数 h(x)=lnx (x? [M, +∞))是保三角形函数, 求 M 的最小值为 。

17

18

训练题 26

训 练 题 27 对 于 定 义 域 和 值 域 均 为 [0,1] 的 函 数 f ( x) , 定 义 f1 ( x) ? f ( x) ,

f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) ,??

f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)) , n ? 1,2,3,? , 满 足 f n ( x) ? x 的 点 称 为 f ( x) 的 n 阶 周 期 点 . 设
f ( x) ?

1 ? ? 2 x,0 ? x ? 2 , 则 f ( x) 的 n 阶周期点得个数是 ? 1 ?2 ? 2 x, ? x ? 1, 2 ?
( )

A.2n ? 1

B.2n?1

C.2 n

D.n 2

12.C 训练题 28 有一个奇数组成的数阵排列如下:

则第 30 行从左到右第 3 个数是 16. 1051





训练题 29 设 [t ] 表示不超过实数 t 的最大整数, 则在坐标平面 xoy 上, 满足 点 P ( x, y ) 所形成的图形的面积为__________. 16. 8

[ x]2 [ y ]2 ? ? 1的 4 9

19


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