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3RRS并联机构运动学及动力学分析


分类号:TP242

密级:

天津理工大学研究生学位论文

3-RRS并联机构运动学及动力学分析
(申请硕士学位)

学科专业:机械电子工程

研究方向:机器入学
作者姓名:郭玉 指导教师:赵新华教授

2013年1月

> Thesis Submitted to

恤洲a吼er奄珧gr优.勰
Tianjin University

of Technology for

Kinematics and Dynamics Analysis of
3-RRS Parallel

Manipulator

By

Guo Yu

Supervisor Zhao Xinhua

Jan.2013

独创性声明
本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取 得的研究成果,除了文中特别加以标注和致谢之处外,论文中不包含其他 人己经发表或撰写过的研究成果,也不包含为获得

天盗理工大鲎



其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研 究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。


学位论文作者签名:

邪玉

签字日期:幻哆年≥月s日

学位论文版权使用授权书
墨生墨墨盘堂有关保留、使用学位论文 的规定。特授权墨盗墨墨太堂 可以将学位论文的全部或部分内容编入
本学位论文作者完全了解 有关数据库进行检索,并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编, 以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复本和电子 文件。 (保密的学位论文在解密后适用本授权说明)

学位论文作者签名:

郭玉


孙戡j狲暂 …名劫子

签字日期:抛B年≥月岁日

摘要
在国家自然科学基金的资助下,本文系统研究了对一种3-RRS并联机构位置反解、 工作空间分析、机构奇异位形、传动性能以及机构的刚体逆动力学建模等问题,本文的 主要研究内容有: 首先,系统研究了3-RRS并联机构的位置反解问题和工作空间分析。借助几何法得 到了机构的位置反解的解析解,给定机构的尺度参数,可以直接获得机构唯一的反解位 形,极大地提高了位置求解速度和效率,对机构的实时在线控制具有重要意义。在位置 反解的基础上,利用网络法对机构的工作空间进行了分析,得到了机构位置工作空间和 姿态工作空间与机构结构参数的关系,为后续的工作空间综合奠定了基础。 其次,对3-RRS并联机构奇异位形进行了分析研究。应用螺旋理论,求解出3-RRS 并联机构的驱动雅可比矩阵、约束雅可比矩阵以及全雅可比矩阵,通过对雅可比矩阵的 特性值的分析对机构的奇异位形进行了分析,获得了在给定工作空间内,机构的奇异位
形的分布规律。

再次,通过定义机构支链的输入与输出的力/力矩传动效率系数对3-RRS并联机构 进行传动性能进行了分析。针对目前基于雅可比矩阵而获得的机构传动性能指标所存在 的量纲不一致问题,借助机构的压力角这一概念,构建了机构支链的输入与输出的力/ 力矩传动效率系数,对机构的运动学传动性能进行了评价与分析。该评价指标不涉及机
构的自由度性质以及雅可比的量纲问题,可应用于任何自由度形式的少自由度并联机

构,为后续的机构构型选型以及运动学优化提供了依据。 最后,根据支链的结构特征,推导出3-RRS并联机构封闭形式的速度和加速度公式。
在此基础上应用虚功原理方法,建立了3-RRS并联机构的动力学反解方程,对3-RRS

并联机构逆动力学进行了研究。 关键词: 3-RRS并联机构位置反解奇异位形传动性能动力学

Abstract
Funded
by the National Natural Science Foundation of Cllina,this dissertation deals with

the kinematics and dynamics analysis of 3-RRS parallel manipulator,including inverse position analysis,working space,singularity configuration,transmission

performance and

dynamics formulation.The main contents
Firstly,the

are as

follows: workspace of 3一RRS parallel manipulator
are

analysis

of inverse position

and

achieved by using

analytical method.11le
the inverse kinematic

inverse kinematic equation of the mechanism is is greatly improve the calculation’s

achevied,based
speed

on

equations,which

and efficiency and important

for machine’S

real—time

ollline contr01.111e 3-D

curves

of

the workspace were obtained in different condition by Matlab. Secondly,the analysis of singularity ofmechanism Was achieved.Three kinds ofJacobin matrix of the mechanism were derived by using screw theory.Based singular
on

the

Jacobin matrix,the
of the

position

of the mechanism Was

certained.111e singular position efficiency coefficient

mechanism and

Was certified by Mauab simulations.
Thirdly,through defining of the transmission output force/torque of the 3?RRS parallel of the input

manipulator,the analysis of transmission
the problem

performanc君of mechanism
effectiveness angle of the mechanism,the
is

Was achieved.For

of dimensionless inconsistent of the
help of the pressure

of the index was certified by evaluation

Matlab

simulations,with the

and analysis

of the kinematic transmission performance

achevied.111e evaluation

index does not involve the

problem
basis for

of the fre*xlom

and Jacobin

dimension

of the institutions,and which

kinematic optimization ofthe parallel

provided the mechanism.

configuration selection and

Finally,according
inverse dynamics ofthe

to the structural

characteristics of branched chain,the velocity and

acceleration of the 3-RRS parallel manipulator were

achieved.Based

on

these works,the

mechanism Was established by the

principle ofvirtual work.

Key words:3-RRS Parallel manipulator,Inverse position analysis,Singuhrity configuration,
Transmission performance,Dynamics





第一章绪论………………………………………………………………………………………………………………1 1.1课题研究背景和意义…………………………………………………………..1 1.2并联机构的发展与应用现状…………………………………………………..1 1.2.1并联机构的起源与发展…………………………………………………1 1.2.2少自由度并联机构的发展………………………………………………4 1.2.3并联机构的应用现状……………………………………………………5
1.3并联机构理论研究现状…………………………………………………………7

1.3.1并联机构位置分析研究…………………………………………………7 1.3.2并联机构工作空间研究…………………………………………………8 1.3.3并联机构奇异位形研究…………………………………………………8 1.3.4并联机构传动性能研究…………………………………………………9 1.3.5并联机构动力学研究………………………………………………….10
1.4本文主要研究内容…………………………………………………………….1l

第二章3-RRS并联机构位置反解及工作空间分析……………………………。

.13

2.1引言…………………………………………………………………………….1 3
2.2

3-RRS并联机构反解分析…………………………………………………….13
2.2.1 2.2.2 2.2.3

3-RRS并联机构简介与坐标建立………………………………………1 3 3-RRS并联机构位置反解……………………………………………..14 3-RRS并联机构位置反解算例验证…………………………………..1 6

2.3

3-RRS并联机构工作空间的计算机仿真…………………………………….1 8
2.3.1 2.3.2 2.3.3

3-RRS并联机构结构参数及搜索空间………………………………..19 3-RRS并联机构工作空间仿真程序的编制…………………………。19 3-RRS并联机构工作空间的计算机仿真结果………………………..20

2.4小结……………………………………………………………………………………………………。25

第三章3-RRS并联机构奇异位形分析………………………………………………………………26 3.1引言……………………………………………………………………………26
3.2

3-RRS并联机构雅可比矩阵求解…………………………………………….26
3.2.1

3-RRS并联机构约束雅可比矩阵……………………………………。27

3.2.2 3.2.3 3.3 3.4

3-RRS并联机构驱动雅可比矩阵……………………………………一28 3-RRS并联机构全雅可比矩阵………………………………………..29

3-RRS并联机构动平台速度分析…………………………………………….29

3-l娘S并联机构奇异位形判定………………………………………………。30
3.4.1 3.4.2 3.4.3

3-RRS并联机构约束奇异……………………………………………一30 3-RRS并联机构结构奇异……………………………………………。30 3-RRS并联机构边界奇异……………………………………………一3 1

3.5

3-RRS并联机构奇异位形仿真……………………………………………….3 1
3.5.1 3.5.2 3.5.3

3-RRS并联机构工作空间仿真程序的编制…………………………。32 3-RRS并联机构结构奇异……………………………………………一33 3-RRS并联机构边界奇异……………………………………………..33

3.6,J、结……………………………………………………………………………………………………..35

第四章3-RRS并联机构传动性能分析. 4.1引言……………………………………………………………………………………………………..36
4.2 4.3 4.4

3-1LRS并联机构单支链输出传动效率系数………………………………….36 3-RRS并联机构单支链输入传动效率系数………………………………….37 3-RRS并联机构传动性能仿真……………………………………………….38
4.4.1 4.4.2

3-RRS并联机构单支链输出传动性能系数仿真图…………………一39 3-RRS并联机构单支链输入传动性能系数仿真图…………………..41

4.5小结……………………………………………………………………………………………………..43

第五章3-RRS并联机构动力学分析……………………………………………………………………44
5.1引言…………………………………………………………………………….44
5.2 5.3 5.4

3-ILRS并联机构速度分析…………………………………………………….44 3-RRS并联机构加速度分析………………………………………………….47 3-ICRS并联机构动力学分析………………………………………………….49
5.4.1 5.4.2 5.4.3

3-RRS并联机构动平台的外力螺旋…………………………………。49
3-RRS并联机构杆件外力螺旋………………………………………..50

3-RRS并联机构整个系统功率………………………………………。50

5.5小结…………………………………………………………………………….51

第六章结论与展望…………………………………………………………………………………………53
6.1结论……………………………………………………………………………………………………。53 6.2展望……………………………………………………………………………53

参考文献……………………………………………………………………………………………………………55 发表论文和科研情况说明…………………………………………………………………………………60 致 谢………………………………………………………………………….
…………………61

第一章绪论

第一章绪论

1.1课题研究背景和意义
并联机构在结构和功能实现方面都是一类全新的机构,近三十年来,一直是国内外 机构学和高等机构学领域中的热门研究课题。由于并联机构在刚度、承载能力、精度、 结构紧凑、自重负荷比等方面有着突出优点和应用潜力,并与传统的串联型机构在应用 上构成互补关系,因此在诸如航空/航天、机械加工、医疗器械等领域逐步得到工业界及
学术界的重视和广泛应用。

上世纪末,国内外机构学学者最初研究的并联机构仅限于6自由度并联机构 Steward[1】平台,6自由度并联机构在静刚度上表现出突出的优势,然而在工作空间、加 工精度等方面的表现却让研究人员很失望。尤其是绝大多数实际生产中并不需要6个自 由度。因此,近几年研究人员逐渐将目光转移到自由度较少的并联机构研究中。少自由 度并联机构在速度、刚度、可重构性、精度和多功能性等方面具有巨大的应用潜力。另 外,对混联机构的研究也不断升温,这种机构兼备串、并联机构的优点,同时又良好地 突破了并联机构工作空间的局限,可应用于复杂曲面的加工装备中【2卅。 目前,少自由度并联机构中研究最多、应用最广泛的当属3自由度并联机构。3自 由度并联机构可分为三类:一类是3自由度平面并联机构,由Thomas[5l于1985年提出; 第二类是3自由度球面并联机构,由?Cox[6]于1981年提出。Gosselin[7-91对平面并联机构 和球面并联机构的不同结构形式进行了运动学分析研究;第三类是3自由度空间并联机 构,由Hunt[10】于1983年提出3-RPS并联机构,该机构的运动平台可实现两维转动和一 维移动,在机械加工,望远镜聚焦机构等方面得到广泛应用。空间3自由度并联机构是 目前研究最多、应用最广泛的并联机构。 相对于6自由度并联机构,空间3自由度并联机构具有许多前者所不具有的特殊性 质,在机构的位置分析、工作空间、奇异位形、传动性能、动力学、误差精度及控制等 方面仍存在着一些具有挑战性的问题需要进行更深入的研究,为其工程应用奠定理论基 础。基于上述分析,本课题以空间3-RRS并联机构为研究对象,系统地研究了3-RRS 并联机构的运动学分析和动力学建模方法,以期为后续机构的工程应用奠定基础。

1.2并联机构的发展与应用现状
1.2.1并联机构的起源与发展
(《A Platform
with Six Degrees

ofFreedom))【ll】作为并联机构研究的开篇之作,成功

地使并联机构的概念在众多学者中深入推广,据记载Cauchy,Bricard,Lebesgue在两

第一章绪论

个世纪前已经开始了对并联机构做了相关理论方面的研究。1928年,James
功制造出来。

E.GwinneR

提出了一种并联娱乐装置【12】,如图1.1。但这项发明限于当时的工业技术最终没能被成

图1.1并联娱乐装置

1940年,Pollard设计出一台并联机构【l 31,如图1.2,该机构由3条支链组成,具有
5个自由度,可用于汽车喷漆作业。1947年,Dunlop Rubber公司的著名汽车工程师Eric

Gough博士设计了一个轮胎检测装置,它是一个变杆长八面体六腿并联机构,具有6个 自由度,称为Gough平台,如图1.3,这个机构可以测量多种负载同时作用下轮胎的性 能。Gough于1955年研制出了该机构的实际样机。Stewart[14】于上世纪60年代改进了 Gough发明的这种机构,并以自己的名字将其命名。后来该机构逐渐被应用为飞行模拟 领域。 Stewart平台机构最初由一个三角形的运动平台构成,拥有6个液压缸驱动,可
以模拟6个自由度的空间运动,如图1-4。随着研究的深入和实际的应用需要,Stewart

平台的结构已经不再单一,诸多变异型的Stewart平台被提出并得到实际应用。现在一 般把由上下平台组成,由移动副驱动的并联机构统称为Stewart平台。 1978年,澳大利亚著名机构学家Hunt[15】将Stewart平台应用到机器人操作机,如图 1.5,被称为并联机器人。随后,在医疗、雷达、步行机构、通讯等各个领域均有Stewart 机构平台的应用。
1983年,Hunt[16]将并联机构的结构形式进行了改进,并首次对并联机构的机构学、

运动学、动力学等理论方面进行了研究。随后6自由度的空间并联机构很快引起了巨大 的轰动,在后来几年的研究中,该机构得到了不断的优化。以其为原型而研制的不同原 理和结构的并联机构大量使用在生产制造以及科研领域中。 1994年,由美国Giddings&Lewis公司制造的VARIAX[r7】并联数控机床与加工中心 在美国芝加哥国际机床博览会上展出,引起了巨大的轰动,如图1-6。随后,包括中国
在内的工程界和学术界掀起了研究并联机床的热潮。世界各国也在此领域内投入巨资进 行相关的技术研发,并联机构开始作为产品应用到包括机床在内的许多行业中,如飞行

仿真器、天线稳定平台、手术机械手、娱乐等【18.20】。 在我国,并联机构的研究于90年代逐步发展起来。最早的系统性开展并联机构机

第一章绪论

构学理论研究工作的是燕山大学黄真教授,黄真教授带领的研究小组对并联机构在理论
和实践上都进行了较早的研究工作,并研制出了国内首台6自由度并联机构的样机,如 图1.7:随后又研制出一台6自由度并联机构误差补偿装置【2l】,如图1.8。


图1-2 Pollard的并联机构 图1-3

Gough并联机构

图1-4

Stewart平台

图1-5基于Stewart平台的轮胎检测装置

图1-6

Giddings&Lewis VARIAX

图1—7六自由度并联样机

图1-8误差补偿装置

第一章绪论

1.2.2少自由度并联机构的发展 所谓的少自由度并联机构,是指自由度介于2到5的并联机构。限于本文研究内容, 以下仅将对不同学者所提出的几款典型的3自由度并联机构的研究与应用进行简要论
述。

3-RPS并联机构最早由Hunt[22】于上世纪八十年代提出,该机构有2个转动自由度 和1个移动自由度。该机构结构简单,便于控制,可以用作机器人的末端手腕,也可 以作为独立的机构来使用,亦可作为其它装置来使用:如太阳能及其它电池装夹装置、
人造肢体关节、数控并联机床等。直到目前,国内外学者对与该机构的相关理论及应用 拓展仍在探究。 瑞士的Clavel[23】于上世纪八十年代设计出的Delta[241机构是目前在包装行业中应用 最为广泛的一种机构。Delta并联机构可以实现3自由度的平动,如图1-9,现今的Delta

并联机构己被应用为一个抓取机构,广泛应用于装配、包装和医药工业。Delta并联机 构的特点是动平台较轻,能每秒可实现120次拾取操作,加速度可达99,非常适合小质 量物体的快速拾取操作。Hexa并联机构是以Delta并联机构为原型,由Pierror【25】和
Uchioyama[26】于上世纪90年代提出的,Hexa并联机构拥有6个自由度,后来被Toyota 公司产品化。

图1-9

Delta并联机构实际生产中的应用

1995年Tsai[27】提出了一种新的3-UPU移动并联机构,于2000年对该机构进行了 运动设计与优化。该机构结构简单、平动的运动特点以及运动副巧妙布置等特点吸引了 众多学者的关注和研究,在Tsai研究的基础上,学者相继提出了不同支链布局形式的三 平动并联机构。
“灵巧眼”是一种球面并联机构,可以实现3个自由度的运动,1994年由加拿大

学者Gosselin[28】带领研究人员一同研发成功。该机构于被成功应用于摄象设备的自动定
位领域。

在少自由度并联机构的研究中,3自由度并联机构在工业应用中表现出了极大的应 用潜力和发展前景,是最重要也是研究最多的一类机构,各国学者都在此领域进行了大

第一章绪论

量的理论研究和工程实践,更多适合工程实践应用的并联机构被设计出来。
1.2.3并联机构的应用现状 从上世纪至今,并联机构在现代尖端技术的各个领域得到了广泛的应用, 并联机构 的典型应用主要有如下几个方面【29-34】:

(1)运动模拟器。如图1.10是CAE公司生产的7000系列飞行模拟器, 如图1.11 是美国爱荷华大学研制的汽车模拟系统NADS.1。 (2)并联工业机构。瑞典ABB公司生产使用的Delta和Tricept并联机构是目前应用
最为成功的实际应用。如图1.12是天津理工大学赵新华教授研制开发的3自由度平动 机构3-RRRT并联机构。 (3)力传感器。六维力传感器是能够感知外力和外力矩的全部信息的一类传感器。 由C.C Nguyen和C.Ferraresi等人提出,并研究了基于Stewart结构的六维力传感器。

我国燕山大学己成功地研制出大量程六维力传感器样机及标定系统,如图卜13,并获得
了国家专利。

(4)微操作机构。并联微操作机构具有精度高、无摩擦、无滞后的特点,因此被用
作医疗器械、精密加工、雷达天线的试验装置以及微机电产品的精密加工和装配等领域。 如图卜14为德国的MICOS公司生产的Hexapod HP.430六自由度微动机构。

(5)并联机床和数控加工中心。世界范围内最具有代表性的并联机床有德国INDEX &TRAUB公司的高精度V100并联机床,如图卜15。以及西班牙PKMtricept SL公司最 新开发的用于加工硬金属的五自由度并联机床Tricept T9000,如图卜16。近年来,我国 在并联机床上也取得了优异的成果,如清华大学研制的六自由度并联机床XNZ63,如
图卜17。

图l-10

CAE

7000系列飞行模拟器

图l一1 1

NADS.1汽车模拟系统

第一章绪论

图l-12

3-RRRT并联机构

图1.13六维传感器样机

图1.14

HP-430微动机构

图1.15

VOH.1000并联机床

图1-16

Tricept

T9000并联机床

图1.17

XNZ63并联机床

.6.

第一章绪论

1.3并联机构理论研究现状
并联机构自问世以来,因其刚度大、承载能力高等优点得到国内外研究学者的重视。
目前,世界范围内主要从并联机构型综合、运动学位置分析、奇异性、工作空间、传动

性能、动力学和控制策略等方面对并联机构展开了相关理论的研究。现就本课题的研究 内容,对少自由度并联的位置分析、工作空间、机构奇异位形、传动性能以及动力学建 模等方面进行相关论述。 1.3.1并联机构位置分析研究 并联机构位置分析有两个方面的内容,即位置正解和位置反解。已知机构驱动元件 的位移量或角度,求解动平台的位姿的过程称为正解。已知动平台的位姿,求解机构驱 动元件的位移量或角度的过程称为反解。并联机构的位置反解是工作空间、奇异位形、 传递性能、动力学等方面的研究基础,因此如何获得并联机构位置反解的解析解是并联 机构运动学研究最为重要最为基础的部分。表1.1为位置分析求解方法的对比。
表1-1位置分析求解方法对比

国内外学者在位置分析的研究中做了大量的工作,在数值法方面,黄真【35】对动静平 台是三角形的并联机构的运动学方程进行研究,将方程中的变量化简为一个,然后进行 一维搜索,这种方法将求解的速度大大提高。Parcnti.Castelli[36】和Innoc,cmti[37'38】根据机 构的自身特点,提出了一种搜索方法,可以找到所有实数解,并成功应用于6-SPS机构。 Mruthyunjaya[39]和Dasgupta[删提出预测.校正算法,在纯几何角度的基础上使用3维搜索 求解出实数解。Wamplcr等提出了数值的连续方法,Raghavant41】采用该算法证明了 Stewart平台在复数域内所有数值解的个数有40个。 在解析法方面,Raghavan运用Morgan[42】的同伦法,提出了一种数值解法,最后得 出结论并联机构的解一般情况不超过40个。Kamral43l对一种6自由度并联机构进行位

第一章绪论

置正解分析并得到了所有正解。赵铁石、黄真[44,45]通过螺旋理论对机构的位置正反解进 行了分析。 1.3.2并联机构工作空间研究 并联机构的工作空间研究是机构运动学分析的重要指标之一。工作空间可分为可达 工作空间、灵活工作空间和全工作空间三种类型。表1.2为常用的求解工作空间的方法
比较。
表1.2工作空间分类方法对比

Fichtc一461采用扫描法,求解出6一SPS并联机构在某一位姿下的工作空间的截面图。
Gosselin【47】利用6-SPS并联机构各支链轨迹圆弧的方法给出了工作空间的显示表达式。

Morlet[481在Gossdin研究的基础上通过引入铰链约束做了类似研究。Masory[491等将可能 影响工作空间的因素,如转动副转角限制,尺寸干涉及杆长考虑进工作空间的求解当中, 并且还使用微分数值法来计算工作空间的体积。 在我国,天津大学的黄田教授通过微分几何法,利用单参数包络面理论,对并联机 构的工作空间进行了数学解析建模【卿。哈尔滨工业大学的陈在礼教授,通过预先给定6 自由度并联机构一定姿态能力的工作空间,提出了一种利用遗传算法求解工作空间的新 的搜索算法p¨。 1.3.3并联机构奇异位形研究 并联机构的奇异位形研究是机构运动学分析的基本工作之一。 目前,奇异位形的分析均基于机构的雅可比矩阵,当机构处于奇异位形时,机构雅 可比矩阵为奇异矩阵,其行列式为零。此时机构的反解不存在,机构性能的刚度、精度 和稳定性将急剧下降。不同的奇异性会引起并联机构瞬时自由度的增加或者减少,导致 并联机构失稳或者出现死点。因此在设计并联机构时应尽量避开并远离奇异位形【52-541。 奇异位形的求解首先需要对雅可比矩阵进行求解。求解雅可比矩阵常用的方法有矩 阵分析法、Grassmann线几何法和螺旋理论。 (1)矩阵分析法应用比较广泛。通过雅可比矩阵的行列式是否为零来判定并联机构 在某一位姿下是否处于奇异。Maye一55】认为,理论上不论多么复杂的并联机构的雅可比

第一章绪论

矩阵都可以用非线性方程表示出来,但在实际求解过程中,一般并联机构的雅可比矩阵 所对应的非线性方程的数学推导过程都非常繁杂,计算量庞大,但在少数具有特定构型 的并联机构的雅可比矩阵的求解中,可以利用其结构的特定条件简化非线性方程,使求 解简单,大大减少了计算量。黄真【56】在对6-SPS型Stewart平台的研究分析中,求解出 一阶影响系数矩阵,并根据此矩阵来判断该机构的奇异性。 (2)Grassmann线几何法可以应用于并联机构的驱动关节都采用移动副的并联机构 的奇异位形分析中。移动副对应的旋量节距为0。1988年,M甜et[S7,ss]首先采用线几何 法分析出一个特殊的Stewart平台的所有可能的奇异位形。Hao[59】将这种方法应用到一 般并联机构的奇异位形分析中。 (3)螺旋理论首先被Hunt[删成功引入进雅可比矩阵的求解中。螺旋理论可以避免使
用局部坐标带来的奇异,也可以对刚体进行整体的几何描述,从而大大简化对机构的分

析。Mohamed和Duffyf61】以此方法为基础提出了分析一般并联机构奇异位形的通用方法。 Kuma962】提出了一种更为详尽的螺旋理论方法来分析闭环机构的奇异位形。 1.3.4并联机构传动性能研究 在并联机构的分析与优化设计中,如何对机构的传动性能进行评价是一个十分重要 的基础问题。如何建立各元素量纲一致、物理意义明确的雅可比矩阵并在其基础上提出 相应的机构运动学性能评价体系,对机构的设计与优化具有重要的意义,这也是一项具 有挑战性的工作[63彤1。 传统的运动传动性能评价指标一般建立在对机构雅可比矩阵的行列式、条件数、奇 异值的分析基础上。Paul与Stevenson[66]求解出一类腕关节机构末端执行器的雅可比矩 阵行列式,并对其位形进行了评价。Yoshikawa[671基于雅可比矩阵行列式,对一类四自 由度灵巧手的操作性能进行了评价,并得到了机构最优位形。Salisburyl68】用雅可比矩阵 的条件数来衡量机构各向同性指标,指出当雅可比矩阵的条件数达到最小值l时,机构是 各向同性的,此时机构的性能最优。目前,并联机构中广泛采用的两个主要性能指标是 雅可比矩阵条件数倒数(10cal
conditioning

index,LCI)和全局条件数指标(global

conditioning index,GCO。并联机构雅可比矩阵的条件数越小,速度性能越稳定,力/力矩

的传递能力越强,反之,条件数越大,速度性能越不稳定,力/力矩的传递能力越弱。 雅可比矩阵行列式只能判别机构是否处于奇异位形,而不能反映出机构离奇异位形 的远近。随后,各国研究学者在雅可比矩阵条件数的基础上,相继提出不同的性能指标。 机构的灵活度被提出用于反映驱动关节速度与机构操作末端线速度与角速度映射关系。 通过对机构雅可比矩阵的分析。导出六维广义椭球,来描述从驱动关节到机构末端的静 态力/力矩传递性能。Asada[69]用广义惯性椭球GIE(generalized inertia ellipsooid)来描述机 械臂的特性,利用椭球的长短轴之间的差异来描述广义力各向异性的程度。Yoshikawa[70] 提出单位力椭球的概念,利用力椭球可以给出在某一方向上机构的力学性能更好,但无 法给出机械臂的最大输出力。 由于雅可比矩阵与机构的位姿有关,是并联机构的瞬时位形函数,因此著名学者 M甜ct【7l】对基于雅可比矩阵的评价指标应用产生了质疑。虽然雅可比矩阵同时包含力和

第一章绪论

力矩的信息,但力和力矩是两种不同量纲的量,因此,这两个指标不适用于具有移动和 转动耦合运动的并联机构的性能评价和优化设计。 为克服上述不足,不同学者依据不同方法提出了不同的具有量纲一致或是无量纲雅 可比矩阵。Angeles[72】提出特征长度法,该方法利用雅可比矩阵各项同性条件构造一种 特征长度(charactca'istic/natural length),然后利用该长度对雅可比矩阵中的对应项作归一 处理。但是需要注意的是,利用这种方法确定的特征长度将随着机构位形的变化而变化, 故该方法仅适用于在位形空间中具有各向同性的并联机构。另外,C.Gosselin[731利用刚 体的位姿由其不共线三点的位置确定这一基本几何原理提出一种新型雅可比矩阵,该雅 可比矩阵反映驱动关节速度与并联机构末端执行器上不共线三点的线速度之间的映射 关系,并基于该雅可比矩阵定义并联机构的运动学灵巧性评价指标。传递角的概念首先 被趾t【74】引入到机构的传动性能分析中来,并且由Han[75】发展到平面机构中。Ball[76]提出 一种新的评价传动性能的系数一一虚拟系数(virtual coefficient)[77,78],随后虚拟系数被

Yuan[79】等学者应用到空间机构当中,其有效范围从娟到+∞。Sutherland和Iblll提出传
递指数(transmission index,TI)哺o】,TI仅与机构支链的几何比例有关。然而,当传递力 螺旋和输出运动螺旋的轴线平行或者它们之中的任何一个的节距无穷大时,TI不存在。 TSai和Lee【81】引入了广义传递力螺旋(generalized transmission wrench screw,OTWS)来描 述机构的传递性能。Takeda[82】等人为求解并联机构单支链的传递性能,将所研究支链外 的所有输入固定,求解出并联机构的各个支链与动平台相连的关节处压力角的余弦的最 小值,该值作为一种新的传递性能系数来描述单自由度并联机构的运动传递性能。 1.3.5并联机构动力学研究 并联机构的动力学主要研究机构的惯性力计算、受力分析、动力平衡、动力学模型 的建立、计算机动态仿真、动态参数识别和弹性动力分析等诸多方面,其中动力学模型 是并联机构实现设计和控制的基础。动力学分析包括动力学的正问题及逆问题。动力学 的正问题是指已知的初始值和变化函数,求解出并联机构动平台上某一点的位移、速度 和加速度。动力学的逆问题是指给定动平台上某一点的运动轨迹和改点的速度和加速 度,求出各支链随时间变化的驱动力。由于并联机构是多输入和多输出系统,因此并联 机构的动力学模型通常是一个有着复杂耦合的多变量的非线性的复杂系统。 目前常用的并联机构动力学模型建立的方法有:拉格朗1j(Lagrange)方程法、牛顿. 欧拉法(Newton-Euler)、高斯(Gauss)方法、凯恩(Kane)方法、虚功原理等。 (1)牛顿-欧拉方法0Newton-Euler)对机构中的每个构件单独进行分析,求解出每个 构件的动力学方程,再列出各个构件受到的连接关节的约束力方程,利用力平衡原理建 立机构的整体的动力学方程。应用牛顿.欧拉方法进行动力学建模的优点是可以求出系 统内部的作用力,思路清晰容易理解,但是中间过程的计算量庞大,方程的数目多,尤 其是当应用牛顿.欧拉方法处理较为复杂的机构的动力学问题时,系统中存在过多的约 束力,牛顿.欧拉方法的优点就不明显了。 (2)拉格朗E](Lagrange)方法需要求解出系统的动能和势能,拉格朗日方法理解起来 相对容易,但它的推导过程非常庞大,容易出错。拉格朗日方法是对机构的整体运动与

第一章绪论

力的关系进行动力学建模,因此不能像牛顿.欧拉方法一样各杆件的约束力。从使用拉 格朗日方法建立的动力学方程中可以看出机构各杆件之间的耦合关系。Lee【83】建立了 Stewart平台的拉格朗日逆动力学方程;
力学建模中。 (3)凯恩(Kane)方法是牛顿.欧拉方法和拉格朗日方法的结合,凯恩方法是建立在广义

Abdellatif和H咖锄【硎在拉格朗日原理的基

础上,提出了一种逆动力学建模的方法,并将其成功应用在一个6自由度并联机构的动

主动力和惯性力的基础上的,因此求解出得动力学方程的形式简单,且不需要庞大的计 算过程。避免了拉格朗日方法所使用的求导过程,凯恩方法可以解决牛顿.欧拉方法所 无法解决的复杂系统的并联机构的动力学建模问题,大大提高了建模的效率。Liu[85】建 立了Stewart平台的凯恩逆动力学方程;张国伟和宋伟刚【86】以Stewart平台为例,应用凯 恩方法建立起动力学模型。
(4)虚功原理方法与凯恩方法相类似,只是只是将广义力和广义力矩写成旋量的表达

形式。Gosselin[871,Tsai[88】对一般并联机构运用虚功原理建立了动力学方程。Huang/89】 利用影响系数法求解出动平台速度和加速度相对于驱动关节的速度和加速度的表达式, 再通过虚功原理建立了Stewart平台的逆动力学方程;GaUardo和砒c0酬将一个具有2 个自由度球面并联机构作为研究对象,运用虚功原理建立其逆动力学模型。 国内外学者对于并联机构的动力学研究主要针对6自由度的并联机构,对于少自由 度的并联机构的动力学研究较少。动力学建模的方法还比较单一,还没有一个格式简单,
计算量小,可以应用于复杂系统的动力学建模的方法。 综上所述,少自由并联机构在位置分析、工作空间、奇异位形、传递性能以及动力

学建模等方面仍有诸如问题值得进行深入的研究,这对新型机构的提出与应用具有重要 的理论价值和现实意义。

1.4本文主要研究内容
本文研究了3-RRS并联机构的运动学及动力学方面的问题,主要研究内容如下: 第1章为绪论。简要介绍了机构的起源与发展,概述了并联机构的产生和特点,分 析了并联机构的主要研究方向,并阐述了论文的主要内容和研究意义。 第2章,3-RRS并联机构位置反解分析和工作空间分析。在位置反解分析中,通过 解析法对机构进行位置反解分析,并对计算结果进行仿真和分析,为后面的工作空间分 析和奇异位形分析做基础。在工作空间分析中,通过3维搜索法,获得不同参数下机构 的工作空间形状,并对工作空间进行了分析比较。 第3章,3-RRS并联机构奇异位形分析。借助螺旋理论,推导3-RRS并联机构的约 束雅可比矩阵、驱动雅可比矩阵和全雅可比矩阵,通过对雅可比矩阵分析来判别机构的 奇异位形,并对奇异位形进行仿真和分析。 第4章,3-RRS并联机构传动性能分析。定义机构支链的力/力矩传动效率系数来评 价机构的输入和输出传动性能,对3-RRS并联机构的传动性能进行了分析和仿真。 第5章,3-RRS并联机构逆动力学建模。求解出机构的速度和加速度表达式,运用

第一章绪论

虚功原理,对机构的动力学进行分析。 第6章,结论与展望。

第二章3-RRS并联机构位置反解及工作空间分析

第二章3-RRS并联机构位置反解及工作空间分析

2.1引言
并联机构的位置分析是运动学分析的基础,可分为位置正解和位置反解两个问题。 已知机构驱动元件的位移量或角度,求解动平台的位姿的过程称为正解。己知动平台的 位姿,求解机构驱动元件的位移量或角度的过程称为反解。并联机构的位置反解是工作 空间、奇异位形、传递性能、动力学等方面的研究前提,因此位置反解问题是并联机构 运动学研究中最为重要最为基础的问题。如何获得机构的位置反解的解析表达,对于机 构的实际应用具有重要的理论价值。
并联机构的工作空间是指并联机构的运动平台在一定条件限制下所能达到的所有

位置的集合。由于并联机构受到自身结构的限制,其工作空间往往相对较小,因此,如 何有效增大工作空间是评价并联机构工作性能的一个重要指标,而如何对机构的工作空 间进行分析是其首要环节。 本章节主要对3-RRS并联机构的位置反解和工作空间进行分析。 (1)在位置反解分析中,采用闭环几何法对其位置反解进行求解,建立机构的闭环 方程并根据机构的特点建立约束方程进行反解求解,最终得到机构位置反解的解析表达 式,并通过MaⅡab软件进行算例仿真,验证反解的正确性。 (2)在工作空间分析中,采用数值法对其工作空间进行求解,绘制出求解工作空间 流程图,在位置反解的求解基础上,通过Matlab软件确定该机构在不同参数下的工作 空间,分析不同结构参数对工作空间的形状和大小的影响。

2.2

3-RRS并联机构反解分析
3-RRS并联机构简介与坐标建立

2.2.1

本文研究的3-RRS并联机构,如图2.1所示,由静、动平台通过三条结构相同的 RRS支链连接而成,其中静平台通过转动副(】R)与各杆件连接,动平台通过球铰链(S)与 各杆件连接,两杆件之间用转动副(R)连接。为了建立机构的位置分析模型,在机架上 建立静坐标系O-XYZ和动坐标系D,嘲w。其中D点为静平台三角形的中心,x轴由D点 指向骂点,z轴垂直于墨最晟所确定的平面,】,轴满足右手定则:利用相同方法建立动 坐标系∥.UVW。

动坐标系D,.删相对于静坐标系O-XYZ的姿态可通过Z彳-Z旋转变换(绕Z轴旋转
y角,再绕X轴旋转口角,最后绕Z轴旋转≯角),构成的旋转矩阵可描述为

第二幸3-RRS并联机构位置反解及工作空间分析

R=Rot(z,qz)Rot(x’,O)Rot(z',j6)

:l嚣籀端.svsO 1十,,W】
=I掣印+缈胡s≯-Jys≯+缈胡却? =I阳,, 妇s痧 sOcO l 胡I I

陋?,
、 7

图2-1

3-RRS并联机构简图

2.2.2 3-RRS并联机构位置反解

考虑到3-RRS并联机构有两个转动以及一个移动形式的自由度输出,那么机构的位 置反解问题可表述为,己知动平台的两个姿态角缈及0以及动平台参考点∥的Z轴坐 标,求解各支链的输入角屈。
设定静、动平台等边三角形外接圆的半径分别为a和b;0,点的坐标为

【x



z】1;驱动杆杆长为厶J,从动杆杆长为岛,fo

q为f支链中转动副的转动轴线的

方向矢量。

如图2.2所示,在坐标系O-XIrZ下构造闭环矢量方程

OO’+D,4=OB,+垦露+只4

i=1,2,3

(2—2)

第二章3-RRS并联机构位置反解及工作空间分析

图2-2

3-RRS反解图

注意到每条支链的两个转动副轴线平行,并且分别与两杆件垂直,则在式(2.2)等号

两端分别点乘转动副的转动轴线的方向矢量q

(OO’+D,4)T?q=(D色+马霉+暑4)T?q
整理式(2.3),得

i=I,2,3

(2.3)

(一00'+瓦)T.q=0
式中:

(2-4)

丽=【x



z】T;

一O'As=R[aeosq,i asinq咯。卜
q=【sin仍.cos仍o】T:

仍=(“)莩Ⅲ,2’3.
将式(2-4)展开


【sinqlf-eos仍
整理得

nv



—. . . . L



瞄 淄 啷 卿仍仍叱一心

+口 +口 +口

+ +

X y
1,● ● ● ● ●J





(2-5)

.g.口.磊 鲫仍仍 k■屹 + Z

au工嵋0+2Y=0 ‘口匕+3aUy+2X=O
—15一

(2-6) (2-7)

第二章3-RRS并联机构位置反解及工作空间分析
屹2%

(2-8)

整理上述三个式子可以得到该机构伴随运动的表达式,如下 y=-≯
(2-9) (2—10)

x=兰sin2y(cos¨)
y-a290s2y(cos口-1)

(2-11)

为得到各支链的输入角屈,连接点4和点忍,屏分成届J和及J两部分。对三角形 4B,P,利用余弦定理求得

忡s(皆]

(2—12)

式中,厶』、厶J分别为第f支链主动杆、从动杆的杆长,

厶』为点4和点J召:f间的距

‰=√(~一h)2+(乩一%)2+(z^一%)2

点4在坐标系D.腕中的坐标为
l口C0s仍致+口sin仍匕+x l

。4-=l口C0s仍b+口sin识b+y I
L口C0s饵”:+口siIl仍匕+zJ

点垦在坐标系D堋Z中的坐标为
。垦=【6cos仍bsin仍o】r

岫cos(翮]
2.2.3 3-RRS并联机构位置反解算例验证

㈣3,

这样一来,给定机构的独立输出变量Z,y及p,可通过式(2-9)、(2-10)、(2.11)得 到机构的伴随运动,并利用式(2?12)、(2一13)得到机构各支链的输入角屏=候』+压』,至此 可以获得机构位置反解的解析表达。

根据上述对3-RRS并联机构位置反解的分析,本节通过数值算例,运用Matlab软 件验证上述算法的正确性。 首先给定机构的结构参数和动平台输入参数,如表2.1、表2.2所示。将表2-1、表 2—2的参数代入位置反解的算法中,得到输入角屈如表2-3所示,以及相对应的机构位

第二章3-RRS并联机构位置反解及工作空间分析

形图如图2-3所示。
表2.1机构结构参数

结构参数

表2-2动平台输入参数

表2.3反解结果

驱动副转角

剧号


Pl(。)
141.7 82.0 130.4 134.2

如(。)
130.7 82.O 130.4 118.1

岛(。)
140.7 82.O 130.4 130.3







.17.

第二章3-RRS并联机构位置反解及工作空问分析 Z(mm)


二(m
n.

。\
、、

…::、~~、~、、。—',一一一面一。
Ⅳ(,i”JⅢ)-、。。、:。一-4 c。一1孟'Y’(、mim、二…
(a)y=60。:0=30。;Z=400mm



i3

¨.j

j.

、飞k
。。

¨,’q■’一~

\一.

≥~≥≮≥锰一≮_一瓤?湍嘉一‘暴-O,【)-400≮磊≮一“_
由表2.3以及图2.3可知,给定机构的相关尺度参数,利用上述机构反解求解模型, 可以得到机构唯一的一个机构位形与之对应,这极大的提高了机构位置反解的求解速 度,有利于机构的实时在线控制。
2.3

3-RRS并联机构工作空间的计算机仿真
基于上述的机构位置反解,本节将利用网格法对3-RRS并联机构的工作空间进行分

析求解。首先编制工作空间的仿真界面,并分析并联机构的不同结构参数对工作空间的
形状和大小的影响关系。 影响工作空间的主要因素有以下几个方面: (1)支链中机构的杆长的限制。

(2)支链中相关转动副转角的限制。 (3)各支链之间杆件的尺寸干涉。 本文所研究的3-RRS并联机构在结构上只具有转动副和球副。因此3-RRS并联机
构的工作空间在结构上只受到转动副转角的极限限制因素的影响。转动副理论上可以做

360。极限转动,但是在工程实践中往往会受到机构的限制而具有一定的转角范围。本文
设定转动副的极限转角为以。。=150。。

第二章3-RRS并联机构位置反解及工作空间分析

2.3.1

3-RRS并联机构结构参数及搜索空间

机构的结构参数及搜索空间如表2.1、表2.4所示
表24搜索空间的定义

2.3.2 3-RRS并联机构工作空间仿真程序的编制
绘N3一RRS并联机构 工作空间程序 …….


设置e初值,初值为0





一一

判断e是否小于40度


是二 下



… 退出

设置甲初值,初值为0
,~
一一
一。 ~

判断甲是否小于360度。‘一。. 一一一


e步长加1?




是 7


反解求解p。p2p3
及XYZ

判断pIp2p3是否满足条件


≈ T 将XYZ描点绘图

'-甲步长加1 ‘7…。”


图2—4

3-RRS并联机构工作空间流程图

.19.

第二章3-RRS并联机构位置反解及工作空间分析

本节采用网格法来求解3-RRS并联机构的工作空间。根据3-RRS并联机构驱动转 动副的限制条件,在Matlab软件中编制3-RRS并联机构工作空间的仿真程序,其程序
流程图如图2—4所示。 2.3.3 3-RRS并联机构工作空间的计算机仿真结果 3-RRS并联机构的工作空间在Matlab软件中的仿真结果如下:

(a)3-RRS并联机构在XYZ内,运动平台参考点的可达位置的三维工作空间立体图,
如图2.5所示。

孙㈨
鲫 湖

∽1i—√I叫

图2-5

3-RRS并联机构工作空间立体图

(b)为了更为清晰的表达3-RRS并联机构的工作空间,将搜索空间z的范围分为 三个部分,即将搜索空间分为三个部分,如表2.5所示。
表2-5搜索空间

搜索空间go -_-___l●__ll___●-I●____--●___●_-____-__●____●___-_●-一一 户F-g- y(。) p(。)

Z(mm)
590~700

搜索空间巧
搜索空间巧 搜索空间巧

0,--360

O~40

O~360

0—40

330~590

0~360

0~40

3-RRS并联机构在各部分搜索空间内的三维工作空间立体图,如图2-9所示。

第二章3-RRS并联机构位置反解及工作空间分析

Z(mm)
700一, 680 J

660

64t){

620~J

~4Hf;I一~、

j)一、、、
lI~一、

X(mm)

(a)3-RRS并联机构在搜索空间巧中的工作空间立体图

三]
枷‘l

兰J
Z(mm)
330、 3:5、一

3器L~2~0~—卜~—~

纛 喾
,。,、。

一一一一。一,一一≮一一Jo

(b)3-RRS并联机构在搜索空间巧中的工作空间立体图

’:;一、、、、、



八、卜、

lJ、 ̄、、


015一 Ⅳ(mⅢ)√、、:、,-I—I一)-一一

’y(崩m)
、 ,

一一一5一一m
,一‘一一一。

(c)3-RRS并联机构在搜索空间K中的工作空间立体图 图2-6 3-RRS并联机构工作空间立体图

由图(b)可知,机构在Z=330mm~600mm范围内均可达到0的最大值p=40。。由图 (a)可知,机构在Z=600mm~700mm范围内沿着Z的正方向,工作空间急剧收缩:由图 (c)可知,机构在Z=300mm~330mm范围内沿着Z的负方向,工作空间急剧收缩。由此 可知,在Z=330mm~600mm范围内,3-RRS并联机构运动平台参考点的位置工作空间
是最均匀的。

(c)另外,将z固定在某一个高度,可以得到机构在不同高度下的z截面的工作空

第二章3-RRS并联机构位置反解及工作空间分析 间立体图。



∥r、

一一,/一7005

砌司习。



II

X(mm)…n卜、:一i一一≮:5y(赫)

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X(mm)耵’‘、一一。"-2‘It Y(mm、
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(b)Z=400mm

Z(D7D1)



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一.,.一一一”21

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(C)Z=500mm

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、、、

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Ⅳ(厅2埘)nf、、、一一一一一-,‘i;—',r未。、 ‘、……,
J 4 ^

(d)Z=700mm

图2.7

3-RRS并联机构不同高度下的z截面的工作空间立体图

由图2—7可知,3-RRS并联机构在Z=300mm和Z=700mm时的工作空间比较小, 在Z=400mm和Z=500mm时的工作空间比较大,与图2-6相对应。 (d)本文定义工作空间的搜索空间0的范围是0。~40。,但在理论上,随着z的变化,

0max不同。‰在不同高度下的变化如图2.8所示。
‰(o)

图2-8

0max随高度z的变化

由图可知,‰在Z=300mm~440mm内随着Z高度的增加而增加,‰在 Z=440mm处达到最大‰=75。。随后m觚在Z=440mm~700mm内随着Z高度的增加
而减小。由图可知,点彳和点B所对应的高度范围以及点C和点D所对应的高度范围是

第二章3-RRS并联机构位置反解及工作空间分析

3-RRS并联机构的最佳工作空间。 (e)根据对图2—8的分析,将0的搜索范围改为o。~氏。,对3-RRS并联机构的工作 空间进行三维搜索,得到机构在不同高度下的Z截面的工作空间立体图。

(a)Z=400mm

(b)Z=500mm

图2-9 0=0-氏。。时不同高度的Z截面的工作空间立体图

(f)3-RRS并联机构在vOZ搜索空间内的三维工作空间立体图,如图2.10所示。

i丁~~—r~~~一一—二一一百一一百一 日、(。)。1C。2"-~i—了一。 口。(。)
4 5

图2-10 3-RRS并联机构∥一0(p=0—40。,V=0~360。)空间的三维立体图

敏。0sintg,巳一0costp'

(曲为了更为清晰的表达3-RRS并联机构的工作空间,仍将搜索空间z的范围按 照表2-6所示分为三个部分,即将搜索空间分为三个部分。
表2-6搜索空间的定义

第二章3-RRS并联机构位置反解及工作空间分析

3-RRS并联机构在各部分搜索空间内的三维工作空间立体图,如图2-11所示。

Z(mm)
?I_H.】、

Z(mm
600、 550一

S1)I)4

450— 400、{

357止、

(b)3-RRS并联机构在|;f,.0(p=O~40。,lf,=O~3600)空间的三维立体图 以。0 sin,吼一O cosI:f,

由图2-11(b)可知,机构在z=330mm~600ram范围内均可达到口的最大值日=40。。 由图2-11(a)可知,机构在Z=600mm~700朋m范围内沿着z的正方向,日随着Z的增大

第二章3-RRS并联机构位置反解及工作空间分析

而急剧减小,说明Z越大,机构运动平台可实现的姿态角越小。由图2.11(c)可知,机 构在Z=300ram~330ram范围内沿着Z的负方向,随着z值的减小而急剧减小,说明这 时机构的运动平台的姿态角随着Z值的较小也越来越小。由此可知,如果3-RRS并联机 构处于Z=330ram~600ram范围内,其运动平台的姿态角是最大的。这与此前对3-RRS

并联机构在mjZ内的三维工作空间立体图的分析结果相一致。 2.4小结
本文对3-RRS并联机构的位置反解和工作空间进行了分析,得到如下结论: 。(1)本章节采用几何法对3-RRS并联机构的位置反解进行求解,最终得到机构位置 反解的解析表达式;利用Matlab软件对机构的位置反解问题进行了数值验证,通过仿 真可知,给定机构的相关参数,利用本文提出的反解方法,可直接获得机构反解的唯一 位形,极大的提高了机构位置反解的求解速度和效率,这对实现机构的实时在线控制具
有重要意义。

(2)本章节在位置反解的基础上,利用网格法对机构的工作空间进行了分析。通过 Matlab软件仿真可知:机构的运动平台参考点的位置工作空间与机构运动平台的姿态工 作空间具有一致性,即在给定机构结构参数时,当平台参考点的Z值坐标大于某个值时, 随之z值的增大,运动平台的X,y急剧收缩,而此时运动平台的姿态角也急剧变小, 即机构位置工作空间和姿态工作空间同时变小;而当平台参考点的Z值在某一范围内 时,机构的位置工作空间和姿态工作空间均可达到最大值;当平台参考点的Z值坐标小 于某个值时,随之Z值的减小,运动平台的x,y急剧收缩,而此时运动平台的姿态角 也急剧变小,即机构位置工作空间和姿态工作空间同时变小。

第三章3-RRS并联机构奇异位形分析

第三章3-RRS并联机构奇异位形分析

3.1引言
奇异位形是并联机构的固有属性,仅与机构的构型和尺寸有关,而与机构的运动状 态无关。判断机构的奇异位形首先需要对雅可比矩阵进行求解。当雅可比矩阵的行列式 为0时,可以判断出此时机构处于奇异位形。奇异位形状态下的机构无法求解出具有实 数解的反解,机构在刚度、精度和稳定性等方面将急剧下降。此时机构瞬时自由度不再 与理论上的自由度一致,另外,.奇异位形将会导致并联机构失稳或者出现死点。因此在 设计并联机构时应尽量使机构无奇异。 由于奇异位形的复杂性,并联机构存在不同的奇异位形。对奇异位形进行分类,并 对每种奇异位形进行分析,是研究奇异位形的基础。一般而言,并联机构的奇异位形可 分为边界奇异,位形奇异和结构奇异。雅可比矩阵行列式的值为0时,机构处于边界奇 异;雅可比矩阵的值趋向于oo时,机构处于位形奇异;雅可比矩阵的值趋向于零比零时, 机构处于结构奇异。奇异位形的求解首先需要对雅可比矩阵进行求解。求解雅可比矩阵 常用的方法有矩阵分析法、Grassmann线几何法和螺旋理论。 本文应用螺旋理论,求解出3-RRS并联机构的约束雅可比矩阵、驱动雅可比矩阵和 全雅可比矩阵,并通过对机构不同的雅可比矩阵对该机构的奇异位形进行分析,最后使 用Manab对该机构的奇异位形进行仿真。

3.2

3-RRS并联机构雅可比矩阵求解
如图3一l所示,设动平台的瞬时运动螺旋在坐标系D,一UVW中可表示为

s∥--E e|t¥ji
j=l

(3-1)

墨,,2l墨,,D包×墨,,l,岛,,2l岛。;tye,×s2,,l

焉,,2I岛,,皑×岛。,I,疋,,2I&。,D讧×墨,,l 疋,,2l墨,,毗×s,小如2[%y∥]
式中,p,.f(/=1~5,i=1—3)表示为第i条支链第/个转动副相对应的角速度;

乃,,(_,=l~5,i=1~3)表示为第i条支链第,个运动副的单位螺旋;tOo,、l,D,分别表示动
平台角速度和参考点0,的线速度。

第三章3-RRS并联机构奇异位形分析

图3-1

3-RRS并联机构简图

3.2.1 3-RRS并联机构约束雅可比矩阵

由反螺旋理论可知,互为反螺旋的条件为: (1)两个轴线相交的线矢量互为反螺旋; (2)两个轴线平行的线矢量互为反螺旋: (3)一个线矢量与一个偶矢量的轴线相互垂直,则他们互为反螺旋; (4)任意两个偶矢量互为反螺旋: 由反螺旋理论可知,支链f的约束反螺旋S'l',过4点, 且方向与转动副的轴线方向
相一致。

‰广离JⅢ二3
将式(3.1)和式(3—2)作互易积,可得 £'l'j。易20
将式(3.3)写成矩阵形式有
JcSo,=0

(3-2)

(3—3)

(3-4)

式中厶为该机构的约束雅可比矩阵,且

第三章3-RRS并联机构奇异位形分析

[面×墨,。]r
厶=

[瓦×墨,:]r [瓦×墨。,]r

(3-5)

如是一个3x6的矩阵,为机构的约束雅可比矩阵。如的每一行代表一个支链对机 构动平台施加的单位约束力螺旋,作用于球铰的中心,且方向与支链转动副轴线方向一 致。乇的秩应为3,当如的秩小于3时,机构产生约束奇异。
3.2.2 3-RRS并联机构驱动雅可比矩阵

并联机构的支链除了提供限制动平台运动的力/力偶,还可以提供驱动动平台运动的 驱动力/力偶,使机构具有空间移动或转动的自由度。 锁定每条支链的转动副,即驱动关节,支链上的反螺旋数可能将增加。对于机构的 某一支链,根据反螺旋理论,可以得到另外一个与所有运动副螺旋互易的反螺旋墨'I-,过 4点,且方向与各支链的从动杆方向一致。

如广[蒜霉,卜名3
将式(3-1)和式(3—2)作互易积,可得

p6,

群'2'f。站=展』墨'2,i。墨,j 将式(3.7)写成矩阵形式有 ‘如=‘香

i=1,2,3

(3-7)

(3-8)

圣=‘易

(3-9)

式中,口=[卮,。鹿,:Pl,3]r:厶=‘1‘。
墨.2.1。jIl。l

以=

[至兰型至!]:臣卿 匝:型至迂旺卿
卑.2'2。墨,2 墨'2'2。Sl,2 墨'2’3。焉,3 茸.2,3。墨.3

匦兰型至Ⅱ圃
墨,2'l。焉。l

(3-10)

以是一个3x 6的矩阵,为机构的驱动雅可比矩阵。以的每一行代表一条支链对机

第三章3-RRS并联机构奇异位形分析

构动平台施加的单位驱动力螺旋,作用于球铰的中心,且方向与支链从动杆方向一致。 以表示动平台线速度与角速度到驱动关节线速度的映射关系。‘的秩应为3,当毛的秩 小于3时,机构产生位形奇异。
3.2.3 3-RRS并联机构全雅可比矩阵 合并式(3.2)和(3-9)得
q2 J罩口

(3-11)

式中,圣=[鹿.。A,:卮,,0



o]r
墨,2'I。焉。l
影,2,l o焉,1

陬×Unit(雨)]2

匣竺丛至辽 [啪(硒)]丁
毒∞。焉,2 墨’2’2。墨,2
(3-12)

.,=H: 匝二型堑辽 哑!堑!]: 【.无J
髟’2,3。墨,3 髟’2'3。岛,3

[瓦×墨,,]r



[瓦×墨,:]2 广一 I D鸽×墨,,l

s乏


1r

.,是一个6x 6的矩阵,为机构的全雅可比矩阵。J的上部分3x 6的子矩阵反映动平 台的线速度与驱动关节速度的映射,J的下部分3x 6的子矩阵限制动平台的瞬时运动只 有3个自由度。若厶的秩小于3,机构产生约束奇异;若.,的秩小于6,而乇满秩,机
构产生结构奇异。

3.3

3-RRS并联机构动平台速度分析 将式(3q按6个变量q q哆易易乙展开,重新排列成以下形式
厶国=‘VO,
(3-13)

式中,缈=[q哆吐]r; vo,=[易易乙]r

一 一 厶=I广一 D,4×墨,.∥4}×墨,:D,4×最。,l;以=一l墨,,
1J r

1 7’

墨,:

S,,ll
(3—14)



∞=厶1正咐=厶VO,

厶是一个3×3的矩阵,反映动平台参考点D,的线速度到动平台角速度的映射关

第三章3-RRS并联机构奇异位形分析 系。

合并式(3—14)和%的同等变换%=%(,为3x3的单位矩阵)
【∞;%】-以%,‘=f厶,,】∞
将式(3-15)带入(3?10)得
(3.15)

一J≯d=3◇0

Q一16)

以是3×3的矩阵,为并联机构的速度雅可比矩阵,是机构的全雅可比矩阵的转化形 式。取厶(3x3)表示以的1,2,3行,是动平台的线速度与驱动关节速度之间的映射,


毒2以%

(3一17)

3.4

3-RRS并联机构奇异位形判定

3.4.1 3-RRS并联机构约束奇异

约束奇异是指当驱动元件固定,并联机构的运动平台仍然获得瞬时的自由度,这时 机构获得额外的瞬时自由度。

厂一——●—●一 ,一I o'4×墨。。O。4f×墨.2 O。4×S,3 l


1r



墨,。

S,:

墨,,



对于3-RRS并联机构,如果约束雅可比矩阵厶的3个反螺旋墨’l',(i=1~3)线性相 关,厶的秩小于3,将产生约束奇异。实际上3个反螺旋I'I.。O=l~3)共面但不共轴且 不相交,故线性无关,L的秩为3,故3-RRS并联机构无约束奇异。
3.4.2 3-RRS并联机构结构奇异

(1)支链f中的焉j,是。;和4不共面 墨’l'。和墨』,&”玛,j,疋.i’瓦,,的互易积为零,3个反螺旋墨,l';共面但不共轴且不相 交,故线性无关,厶的秩为3。卑,:'i和是’f,毛』,墨p毛J的互易积为零,3个反螺旋墨.2’, 共面但不共轴且不汇交,故线性无关。无的秩为30 Sr甜和霉“的互易积不为零,分别 和3个Sr’l’,垂直,和墨.1,,线性无关,完全雅可比矩阵.,的秩等于6,此时3-RRS并联机 构不存在结构奇异。

(2)支链f中的≈,龟。,和4共面

当输入角肛,?=A,z=肛。,2at'cos(哥)时,三条支链的墨j,邑。,和4-共面,墨’1';和
P一,
Il,i 1-‘2。i

i、三条支链的乳,疋。,和4都共面

jIl'i,疋”毛'j,&’j,是,,的互易积为0,墨’l’。、影.1’z和墨∞不满足线性相关的条件,故髟.1’。、 st'l'z和Sr,。,3线性无关。但是当三条支链的墨'f’龟,;和4都共面时,和疋'i,毛,f,瓯'f,瓦,,

第三章3-RRS并联机构奇异位形分析

的互易积为0,和墨舢互易积不为0的反螺旋肆御不存在,因此相应的驱动雅可比矩阵无

也不存在。此时反螺旋的维数为1,屯,是'f’%,墨’j,墨J线性相关,3-RRS并联机
构处于结构奇异。 ii、一条支链的墨j,J12.;和4共面(假设i=1)

当输入属,,≠届,:≠届,3≠arcos(产j})=arcsin(寺)时,其中一条支链的jII'j,j12。,
’l,i’’2,i ’l,I。’2,1

和4共面,该条支链和312’j’邑j,&”是,;的互易积为0,和墨舢互易积不为。的反螺旋 墨'2';不存在,因此相应的驱动雅可比矩阵‘也不存在。此时反螺旋的维数为1,墨,f,是’j' 岛』,瓯'j,毛』线性相关,3-RRS并联机构处于结构奇异。 实际上,当3-RRS并联机构处于此位形时,机构无法实现运动,因此这种情况不存
在。 3.4.3 3-RRS并联机构边界奇异

如图3-2所示,‰在不同高度z下的变化。‰为机构动平台位姿角9随高度z变 化的极限位置。当机构的位姿角口=‰时,机构位于边界奇异。

图3.2‰随高度Z的变化
3.5

3-RRS并联机构奇异位形仿真
本节主要对3-RRS并联机构的奇异位形进行仿真分析,编制奇异位形的仿真界面,

获得机构奇异位形的三维模型,分析并联机构不同结构参数对奇异位形的影响,分别得 到机构的结构奇异和边界奇异的三维仿真图。 机构的结构参数如表3-1所示

第三章3-RRS并联机构奇异位形分析

表3-1机构结构参数

结构参数 厶,f(ram)
400

乞,i(mm)
320

b(mm)
300

a(mm)
200

3.5.1

3-RRS并联机构工作空间仿真程序的编制

本节对3-RRS并联机构的奇异位形进行分析。首先,在Matlab软件中编制3-RRS

并联机构奇异位形的仿真程序,其程序流程图如图3.3所示。

//—虿丽{面s算丽—、\
、塑童母堡翌矍壁—//

广一———L~]
}设置。初值,初值为o

}…

…——一’

≤墓蔓三亟>一 ……!£二’一退出 一
』设置甲初值,初值为0

一一i…….—=二二j匦晒基三j!兰多
e步长加l卜一一至~一是 一L一
反解求解13Ip2133 及XYZ
I-I

户~————一1

判断p一13213,是否满足条件二:>
’ 求解奇异位形 -甲步长加I



j,{j:-XYZ描点绘图

图3-3

3-RRS并联机构奇异位形流程图

.32.

第三章3-RRS并联机构奇异位形分析 3.5.2 3-RRS并联机构结构奇异 由3.4.2分析可知:

(1)当机构处于Z最大时,3-RRS并联机构存在结构奇异。如图3.4所示 (2)当机构一条支链的墨'f,是,,和4共面(假设f=1),3-RRS并联机构存在结构奇 异,实际上,当3-RRS并联机构处于此位形时,如图3.5所示,机构无法实现运动,因
此这种情况不存在。

图3-4

3-RRS并联机构结构奇异位形图(1)

图3-5

3-RRS并联机构结构奇异位形图(2)

3.5.3 3-RRS并联机构边界奇异

3-RRS并联机构的奇异位形在Matlab软件中的仿真结果如下: (a)3-RRS并联机构的奇异位形在O—XYZ内的三维立体图,如图3-6所示。


700、1

6。。J
500—

400-J

≮ 一}。

j…j 卜 一Ⅳ
, ~

0.●

j厂 一.,i~。~


一0

≤≥,1。

图3-6

3-RRS并联机构边界奇异立体图

由图3-6可知,机构在z=440mm范围内均可达到0的最大值‰=75。。以

第三章3-RRS并联机构奇异位形分析

Z=440ram为分界线,机构在Z=440ram~700ram范围内边界奇异沿着Z的正方向收 缩:机构在Z=300ram~440ram范围内边界奇异沿着Z的负方向收缩。 (b)将Z固定在某一个高度,可以得到机构在不同高度下的Z截面的奇异位形立体
图,如图3.7所示。





(a)Z=300ram

(”Z=400ram

(c)Z=440rain

(d)Z=500ram

(e)Z=600ram 图3.7

(f)Z=700ram

3-RRS并联机构不同高度下的z截面的奇异位形立体图

由图3-7可知,3-RRS并联机构在各高度下的Z截面奇异位形立体图与图3-6和图
3.3相对应。

第三章3-RRS并联机构奇异位形分析

3.6小结
本章节对3-RRS并联机构的奇异位形进行分析,得到如下结论: (1)本章首先运用螺旋理论求解出3-RRS并联机构的约束雅可比矩阵、驱动雅可比 矩阵和全雅可比矩阵: (2)通过约束雅可比矩阵的变化,对3-RRS并联机构的动平台速度进行分析,求解 出动平台的速度雅可比矩阵; (3)通过对三个雅可比矩阵的分析,求解出3-RRS并联机构的奇异位形; (4)通过MaⅡab软件仿真出3-RRS并联机构奇异位形三维立体图,并对奇异位形进
行了分析。

第四章3-RRS并联机构传动性能分析

第四章3-RRS并联机构传动性能分析

4.1引言
传动性能评价是机构尺度优化设计中的一个十分重要的内容。目前,机构的运动传 动性能评价指标一般建立在对雅可比矩阵的数学特征(如行列式、条件数、奇异值等)分 析基础上。并联机构中广泛采用的两个主要性能指标是雅可比矩阵条件数倒数(10cal
conditioning index,LCI)和全局条件数指标(global conditioning

index,GCI)。虽然雅可

比矩阵同时包含力和力矩的信息,但力和力矩是两种不同量纲的量,因此,这两个指标 不适用于具有移动和转动耦合运动的并联机构的性能评价和优化设计。 如何提出一个简单的、精确的、可不受自由度类型影响的传动性能评价指标是非常 有理论价值的。本章考虑到该机构的雅可比矩阵存在量纲不一致的问题,在机构传动性 能的分析中,通过全雅可比矩阵获得机构各运动支链的末端速度,通过机构各运动支链 驱动力与支链末端速度的方向的关系,定义机构支链的力/力矩传动效率系数来评价机构 的输入和输出传动性能。这对并联机构的构型选型及运动优化设计提供了一种有效的性 能评价指标。并运用MaⅡab软件对力/力矩传动效率系数进行仿真分析。

4.2

3-RRS并联机构单支链输出传动效率系数

由第三章中式(3—8)q=嘞可知,当lJI≠o时,此时并联机构处于非奇异位姿状态,
式(3.8)可写为

如=jrl圣 式(4.1)反映机构驱动关节速度到运动平台线速度的映射关系。

(4.1)

由式如=[%%]可知,在机构的工作空间中,给定机构各驱动关节的速度,即
可由式(4幔1)求解出运动平台参考点的线速度以及运动平台的角速度。 通过式(4.1)并联机构各运动支链与固定平台铰接处即支链末端点的瞬时速度可通

过运动平台参考点的线速度PO'以及动平台的角速度%表示为 %=Vo,+%×0,4
(4—2)

式中,%表示各支链末端点4相对于静平台的瞬时速度;o'4为运动平台参考点D,到 各支链末端点4的位置矢量。 这样由式(4.2)可得到各支链末端点4瞬时速度的方向矢量

口刎:监
心f

(4—3)

第四章3-RRS并联机构传动性能分析

式中,1,。;为各支链末端点4瞬时速度的模。 3-RRS并联机构的每一条支链都有一个各自相互独立的驱动,因此各支链的从动杆 件在点4处与运动平台的作用力E;也是各自相互独立的,并且始终与从动杆件轴线的 方向一致。如图4.1所示,当机构处于任意位姿状态时,机构各支链的从动杆件所受到 的驱动力E;方向与各支链末端点4瞬时速度的方向矢量P。;必定存在一定的角度口∥ 将此角度p。,所对应的余弦定义为单支链输出传动效率系数 仇=cos<Ef

sAf>=芒业f-1,2,3
P彳.10

(4-4)

岛.j屹j

单支链的输出传动效率系数17;越接近于1,表明日;与l,刎的夹角吼;越小,E;在VⅢ 方向上所能做功的有效分力越大,传动越容易,该支链的输出传动效率就越高:反之, 输出传动效率系数越接近于0,表明E,与屹;的夹角钆越大,E,在%,方向上所能做功 的有效分力越小,传动越困难,该支链的输出传动效率就越低,此时并联机构处于奇异 位置。由式(4-4)可知,机构支链输出传动效率系数的范围为0 ̄l。

图4-l 3-RRS传动效率系数

4.3

3-RRS并联机构单支链输入传动效率系数
如图4.1所示,给定3-RRS并联机构的每一条支链一个各自相互独立的驱动,并联

机构主动杆件与从动杆件铰接处点霉相对于静平台的瞬时速度,方向应与杆厶..f垂直。 %可表示为



cos,pi—sin,pf sin,pf





%=l





cos仍0|【siIl屈0 cos肛】i=1,2,3(4-5) 0 1j

这样由式(4—5)可得到各支链末端点4瞬时速度的方向矢量

第四章3-RRS并联机构传动性能分析

%:监
% 式中,1,H为各支链末端点只瞬时速度的模。 与3-RRS并联机构的单支链输出传动效率系数相似,各支链的主动杆件在点4处

与从动杆件的作用力B也是各自相互独立的,并且始终与从动杆件轴线的方向一致。
由于从动杆件厶;是二力杆,所以晶与E;大小相等,方向相反,并且作用在从动杆件
的轴线方向上。如图禾1所示,当机构处于任意位姿状态时,机构各支链的从动杆件所

受到的驱动力R方向与各支链末端点层瞬时速度的方向矢量P辫必定存在一定的角度
以,将此角度靠所对应的余弦定义为单支链输入传动效率系数

五:cos(露%):华监Ⅲ,2,3 如』%

(4.7)

单支链的输入传动效率系数磊越接近于l,表明晶与%,的夹角%越小,%在%方
向上所能做功的有效分力越大,传动越容易,该支链的输入传动效率就越高;反之,输

出传动效率系数越接近于0,表明B与%的夹角%越大,靠在%方向上所能做功的
有效分力越小,传动越困难,该支链的输入传动效率就越低,此时并联机构处于奇异位 置。由式(4.7)可知,机构支链输入传动效率系数的范围为o ̄l。 3-RRS并联机构的单支链传动性能是指当机构处于任一瞬时位姿时,将其中两条支 链的驱动关节锁定,支链被锁定后的速度为零,此时机构仅有单条支链驱动机构运动,

通过式件2)和(4.5)可以求出机构分别在点4和点只处相对于固定平台的瞬时速度,再根
据式(4-4)和(4_7)分别求出3-RRS并联机构在单支链驱动下的输出传动效率系数和输入 传动效率系数。根据上述方法,依次操作即可得到机构各个支链的传动效率系数。 由以上分析可知,对于整个机构的传动性能而言,如果其中一条支链的传动效率低 于预期的设定,则可判断整个机构的传动效率低;而如果整个机构的传动效率高,则可 判断机构各个支链的传动效率高。以上仅是对机构在单条支链驱动下的传动效率进行分 析,若将机构的三条支链全部给定驱动速度,可以求出机构在三条支链共同作用下,机 构各个支链的输出传动效率系数和输入传动效率系数,此时的传动效率系数含有其他支 链的影响,可与单支链驱动作用下的传动效率系数进行对比分析来考察机构的传动性
能。

4.4

3-RRS并联机构传动性能仿真
根据上述对于3-RRS机构传动性能的分析,本部分通过matlab仿真得到机构的输

入传动效率系数和输出传动效率系数。机构的结构参数及基本工作空间如表4-l,表4-2
所示。

第四章3-RRS并联机构传动性能分析

4.4.1 3-RRS并联机构单支链输出传动性能系数仿真图

将机构三条支链中的两条支链的驱动关节锁定,支链被锁定后的速度为零,此时机 构仅有单条支链驱动机构运动,将通过式(4-2)和(4—5)n--I以求出机构分别在点4和点霉处
相对于固定平台的瞬时速度,再根据式(4.4)和(4.7)分别求出3-RRS并联机构在单支链驱 动下的输出传动效率系数和输入传动效率系数。最后通过matlab仿真得到各个支链在基 本工作空间中的分布规律,如图4.2、4.3、4.4所示。

图4-2第一支链输出传动效率系数在y。0(0=0---20。,y=0~360。)空间的分布规律
e x=0sin≯,,e P2—0cos≯'

第四章3-RRS并联机构传动性能分析

图4-3第二支链输出传动效率系数在y。0(p=O~20。,V=0~360。)空间的分布规律



c;

篱酴
Ox=tgsin|!f.,,g一0cosV

色20smw,◇一0cosV











图4-4第三支链输出传动效率系数在缈。0(p=0 ̄20。,lIv=0~360。)空间的分布规律

图4.2、图4.3、图4.4分别为Z取不同值时,3-RRS并联机构的第一支链、第二支 链、第三支链在lf,一0空间中的输出传动效率系数的分布规律图;通过观察可知,对于 机构的三条支链,当日趋近于00,V=0。~360。时,机构的单支链传动效率系数越接近于

1,E,与y。,的夹角吼,越趋近于0。,E,在l'。,方向上所能做功的有效分力越多,此时机 构的三条支链的的传动性能都很好。从图中的输出传动效率系数在z取不同值时的分布 规律上可知,机构在Z=400mm的的输出传动效率系数最小,机构在这个高度下的单支 链传动性能最差;随着高度的增加,机构的单支链输出传动效率逐渐增大;当高度达到
Z=600mm时,机构的输出传动效率系数最大,机构在这个高度下的单支链输出传动性 能应最好。

第四章3-RRS并联机构传动性能分析

图4-5各支链输出传动效率系数在lf,---0~360。空间的分布规律

p(。)

图4.6各支链输出传动效率系数在0:0~200空间的分布规律
V/=4.5。,Z=450n明n

图4.5为在Z=450mm处,将参数0固定为0=10。,使机构在lf,=0。~360。范围内进 行运动,并分别求解出三条支链在此范围内的输出传动效率系数的分布规律。由图4.5 可知,三条支链的输出传动效率系数的分布图形大体一致相同,只是三条支链的输出传 动效率系数的分布图形之间有一定角度的偏移量,第一支链与第三支链的输出传动效率 系数的分布图形的偏移量为120。,第二支链与第三支链的输出传动效率系数的分布图形 的偏移量也为120。,这个规律符合3-RRS并联机构的构型分布,三条支链之间旋转量为
】200。

4.4.2 3-RRS并联机构单支链输入传动性能系数仿真图

第四章3-RRS并联机构传动性能分析

图4-7第一支链输入传动效率系数在|;f,-0(O=0--.200,y=o~360。)空间的分布规律

吃20sin{Iu,◇一0cosp'

图4-8第二支链输入传动效率系数在少一0(p=肚20。,I;f,=0 ̄360。)空间的分布规律

粼 ::5确


巳20siris,,巳一0cosllu

一/

—阉阁
Ox=Osiny,巳一0cos妒,
.42.

图4-9第二支链输入传动效率系数在】;f,一0(9=0~20。,少=0~360。)空间的分布规律

第四章3-RRS并联机构传动性能分析

图4-7、图4-8、图4-9分别为Z取不同值时,3-RRS并联机构的第一支链、第二支 链、第三支链在y一0空间中的输入传动效率系数的分布规律图:通过观察可知,机构 的输入传动效率系数与输出传动效率系数相反,对于机构的三条支链,当0趋近于oo, q/=0。一360。时,机构的单支链传动效率系数越接近于0,E,与l,.,的夹角口。;越趋近于 90。,E;在l,小方向上所能做功的有效分力越少,此时机构的三条支链的的输入传动性 能都很差。随着0逐渐增大,机构的单支链输入传动性能会逐渐变好。从图中的输出传 动效率系数在随高度变化的分布规律上可知,机构在Z=400mm的的输入传动效率系数 最小,机构在这个高度下的单支链传动性能最差;随着高度的增加,机构的单支链输入 传动效率逐渐增大;当高度达到Z=600mm时,机构的输入传动效率系数最大,机构在 这个高度下的单支链输入传动性能应最好。

4.5小结
本章对3-RRS并联机构的传动性能进行分析,得到如下结论: (1)针对基于雅可比矩阵所建立的机构传动性能指标存在的局限,本文借助机构传 递的压力角这一概念,定义了机构支链的力/力矩传动效率系数来评价机构的输入和输出 传动性能;该系数克服了少自由度并联机构因量纲不一致而产生的基于雅可比矩阵构建 的性能评价指标存在的局限,适用于任何自由度形式的少自由度并联机构。 (2)运用MaⅡab软件,对机构的传动效率系数进行分析,通过仿真可知,对于整个 机构的传动性能而言,如果其中一条支链的传动效率低于预期的设定,则可判断整个机 构的传动效率低;而如果整个机构的传动效率高,则可判断机构各个支链的传动效率高。

第五章3-RRS并联机构动力学分析

第五章3-RRS并联机构动力学分析

5.1引言
并联机构的动力学主要研究机构的惯性力计算、受力分析、动力平衡、动力学模型 的建立、计算机动态仿真、动态参数识别和弹性动力分析等诸多方面。其中动力学模型 是并联机构实现设计和控制的基础,因而在动力学研究中占有重要的地位。同运动学分 析一样,并联机构的动力学分析包括动力学的正问题及逆问题。动力学的正问题是指已 知的初始值和变化函数,求解出并联机构动平台上某一点的位移、速度和加速度。动力 学的逆问题是指给定动平台上某一点的运动轨迹和改点的速度和加速度,求出各支链随 时间变化的驱动力。由于并联机构是多输入和多输出系统,因此并联机构的动力学模型 通常是一个有着复杂耦合的多变量的非线性的复杂系统。 目前常用的并联机构动力学模型建立的方法有:拉格朗日(Lagrange)方程法、牛顿. 欧拉法(Newton-Euler)、高斯(Gauss)方法、凯恩(Kane)方法、虚功原理等。 本文根据机构的支链结构特征,推导出3-RRS并联机构封闭形式的速度和加速度公 式,得到各个杆件的质心速度、加速度和各个杆件的角速度、角加速度,各个杆件和动 平台在重力作用下的外力螺旋,在此基础上应用虚功原理方法,推导出3-RRS并联机构 的动力学反解模型,将整个系统的动力学方程简化得到3-RRS并联机构各个支链的动力
学方程的表达式。

5.2

3-RRS并联机构速度分析

设动平台的速度为(1,w)1,由图5-l可知,各支链与动平台相链接的4点的速度%
可得

%j=',+w×(RaA,}
置为动坐标系D,一XYZ相对于固定坐标系O一册Z的旋转矩阵;

(5-1)

式中:l,为动平台∥点在固定平台中的线速度;w为动平台在固定平台中的角速度:

置=勘f(z'lf,)RDf(x’,O)Rot(z.,96) I掣印-sycOs¥ 叫印-swcOc# 掣胡l

--I掣印+clf,胡s≯-叫印+掣胡印-掣胡l=【口',渺】

胡印
胡印

胡l

瓦=【口cos仍asinq,j o卜仍=(“)孥f=1,2,3

第五章3-RRS并联机构动力学分析

由支链的运动约束可知,4点的速度%方向与垦点转动副的轴线相垂直,将式(5.1)
乘以垦点转动副的轴线可得

(V+w×(置瓦))?q=0
式中,q为i支链中转动副的轴线的方向矢量。

f=1,2,3(5-2)

图5-1

3-RRS并联机构简图

将(5-2)写成矩阵形式可得

吣件口
式中:

(5-3)

肚阱=

((置瓦)×q)7’ ((置瓦)×乞)r ((置瓦)×岛)r

式(5-3)为3-RRS并联机构动平台的速度约束方程。任意给定动平台6个分量中的 3个,其余3个分量可由约束方程确定。当机构不处于奇异位形时,给定动平台D,点的
线速度',,动平台的角速度w可由式(5.3)求得
w=-E。1Dv

(5.4)

第五章3-RRS并联机构动力学分析

由支链的运动可知,各支链与动平台相链接的4点的速度屹,还可表示为

%=‰×(厶j+上2J)+%×厶,,
式中:

(5-5)

WBi为各支链与固定平台相链接的局点的角速度; Wp/为各支链两杆件相链接的露点的角速度; 厶J为驱动杆厶』轴线的方向矢量; /.2,,为从动杆厶。;轴线的方向矢量;

将(5?1)带入(5-5)中,并在等式两边同乘以向量丽和厶。,分别可得

(,,+w×(置瓦))?丽=(‰×(厶』+厶,)+%×厶.;).丽 (,,+w×(欠瓦))?/.2广(‰×(厶』+厶,,+We/×k)./.2,,
由式(5-6)和(5-7)可以分别求得机构弓点和忍点处的角速度大小

(5-6) (5-7)

肾]i瓦志丽-

(y+w×(置瓦))?(厶,,+/--z,,)
",/J-",

(5-8)

驴丽j瓣
…fV+w×f皿面11./.2X

(5-9)

将式(5—8)写成矩阵形式可以得到机构在露点处的角速度向量形式

刊G刎嘲
式中:

(5—9)

肚I—


l((上I'l+厶,。)×厶,。)×q

(厶j+厶J)r

瓯±墨:!!

((且面)×(厶’l+厶计
((厶,。+厶,。)×厶,.)×cl
.H=

(坚至丛生:!:型[
((厶,:+厶,:)×厶,:)×乞

l((厶j+厶.,)×厶,,)×c3

((且瓦)×/'1,3-F厶硝
((厶,,+厶。,)×k)×巳

同理,将式(5-9)写成矩阵形式可以得到机构在E点处的角速度向量形式

‰=【膨



(5—10)

第五章3-RRS并联机构动力学分析

式中:

鹭,

((置砑)×厶,。)r
((‘。,+厶,。)×厶。。)×cl
,N


((厶,。+厶。。)×上2,.)×q


2I

/-乏,2瓦雨
墨.,

((置瓦)×厶,:)r
((厶,:+厶,:)×厶,:)×岛

((k+厶。,)×厶j)×岛
5.3

((厩)×厶。:)r
((上Ij+厶3)×厶j)×岛

3-RRS并联机构加速度分析

设动平台的加速度为(谚’i,)1,将式(5-1)求导可得各支链与动平台相链接的4f点的
加速度以,

V。AI--谚+’i,×(置瓦)+(w+(w×(置瓦)))(5-10)
式中:多为动平台∥点在固定平台中的线加速度;咖为动平台在固定平台中的角加速度; 由支链的运动约束可知,由于4点的加速度虬方向与忍点转动副的轴线垂直,将 式(5.10)乘以尽点转动副的轴线可得

(谚+谚×(置瓦)+(w+(叫置瓦))))?q=o
式中,q为f支链中转动副的轴线的方向矢量。
将式(5-11)写成矩阵形式

(5—11)

【。冒,[三]+F=。
式中:

(5-12)

(w×(w×(露面)))?q

F=№×(叫皿瓦)))?乞
(叫w×(置瓦)))气
式(5.12)为3-RRS并联机构动平台的加速度约束方程。任意给定动平台6个分量中 的3个,其余3个分量可由约束方程确定。 当机构处于非奇异位形时,给定动平台D,点的线加速度多,动平台的角加速度咖可 由式(5.12)求得

第五章3-RRS并联机构动力学分析

咖=一E叫【/N+F)
由支链的运动可知,各支链与动平台相链接的4点的加速度以;还可表示为

(5-13)

/'A,=虬×(厶,,+厶,,)+嵋×厶,,+‰×(%×厶,;)+(‰+h)×((‰+%)×厶,,)(5?14)
式中:

蛇为各支链与固定平台相链接的垦点的角加速度;

“为各支链两杆件相链接的只点的角加速度;
厶J为驱动杆厶J轴线的方向矢量; 厶』为从动杆厶,t轴线的方向矢量;
速度

将(5-10)带入(5—14),并在等式两边同乘以马4f和上2J,可以求得霉点和马点的角加



卜谚×(足瓦)+(w+(w×(足瓦)))).两
+%)×厶,,) =(籍麓然(W皇in%舄她碣'i)kJ.,Di2,1f

@。15’

一【+(‰+h)×

(多+谛×(厩)+(w+(w×(厩))))^,

二(爱晕£镍象畚蜀她屿*』 J’』
一【+(%+%)×((%+%)×厶,,)
由式(5—15)乘1(5-16)可以分别求得机构层点和垦点处的角加速度大小

@。1 6’

%2瓦币丽

肛叫足瓦)+(叫叫盖瓦)))).(”厶。,)

]@‘17’

肾瓦丽丽

【一(%×(‰×zI。,)+(%+%)×((%+%)×厶,,))?(上I,;+厶J)J

肛叫皿瓦)+(叫w×(且瓦))))^,



(5-ss)

I一(‰×(%×厶,;)+(‰+%)×((%+h)×上2,,))?厶,,J
将式(5一17)写成矩阵形式,可以得到机构在暑点处的角加速度向量形式

刊G刎嘲+K

(5—19)

第五章3-P,Rs并联机构动力学分析

×



.蕊




×



们一删
缈职




!粪


×



卜+,Ⅲ、+,叫%嘶%哪%,I叶哩,l咚 Ⅲ、+ 咋
如m---[n

感剩剩
n"‰n"‰n∥‰
×

一 +

们“Ⅲ“小“m

¨¨吣㈦吣㈦
(5-20)

将式(5-1 8)写成矩阵形式,可以得到机构在骂点处的角速度向量形式

喇+Q


式中:

,啪


×



‰¨




!麟
5.4


×



%% %%“m州小“扣

,㈨、¨,Ⅲ、+,Ⅲ、+

一朋础一础舯,I叶_一吃,I町


瓣捌愁





㈥㈥M㈦吣㈦ ㈣蝴㈣嬲㈧渊

肼Lf、剃、枷

3-RRS并联机构动力学分析

整个机器人系统所受外力有重力,动平台所受外力及转矩、三条支链上主动副的驱 动力矩。
5.4.1 3-RRS并联机构动平台的外力螺旋

设动平台所受外力及转矩分别为∥、《,将两者定义为螺旋形式

砭=圉
动平台的惯性力螺旋

(5-21)

瓦=(一易意易坳]
式中易毛为动平台在系统惯性坐标系下对质心的惯性矩阵。
动平台在重力作用下产生的重力螺旋

(5—22)

第五章3-RRS并联机构动力学分析

弦=旧]
动平台所受到的所有外力螺旋

(5-23)

Fo=F兰m+F乏.+F爱,
5.4.2 3-RRS并联机构杆件外力螺旋

(5—24)

设岛的质量为岛,角速度为吩,角加速度为吃,质心加速度为‰。那么在惯性
坐标系下其惯性力螺旋为

瓦=h‘葛毛%)
式中易为杆件在系统惯性坐标系下对质心的惯性矩阵
杆件在重力作用下产生的重力螺旋

(5-25)

西=(警)
杆件所受到的所有外力螺旋

(5-26)

F4=F:荫+F‰奠
5.4.3 3-RRS并联机构整个系统功率

(5—27)

整个系统在所有外力作用下的功率

一 形=∑∑F#oVF+∑TiO)U+F∥。V∥ 』一』_一』一
3 3 f.1

2—

(5?28)
、 7

j=l

i=1

式中∥、y∥分别为在惯性坐标系下各杆件及动平台的广义速度。 根据虚功原理,整个系统在外力作用下平衡的充要条件为作用于该系统的所有主动 力的虚功之和为零。


2—



∑∑∥。∥+∑_%+F∥。V∥=o
整理得




(5—29)

,∑H



‰= 一

,∑鲥 :∑同

万 m









(5—30)

将式(5-21)、(5-22)、(5-23)、(5.24)、(5-25)、(5.26)、(5.27)代入式(5.30),可以得到 3-RRS并联机构各个支链逆动力学的表达式。

第五章3-RRS并联机构动力学分析

5.5小结
本章对3-RRS并联机构的动力学进行分析,得到如下结论: (1)首先,通过机构的位置闭环方程,推导出了3-RRS并联机构封闭形式的速度和
加速度公式:

(2)得到各个杆件的质心速度、加速度和各个杆件的角速度、角加速度,各个杆件 和动平台在重力作用下的外力螺旋,应用虚功原理方法,推导出3-RRS并联机构的动力 学反解模型,将整个系统的动力学方程简化得到3-RRS并联机构各个支链的动力学方程
的表达式。


./


’、

,.

J’

此页

、,

缺内容

第六章结论与展望

第六章结论与展望
6.1结论
本文对3-RRS并联机构的运动学及动力学进行了分析,主要进行了机构的位置反 解,工作空间,奇异位形,传动性能和动力学反解等几个方面的研究分析。本课题的主
要成果如下:

(1)本文采用几何法得到3-RRS并联机构位置反解的解析表达式;利用Mauab软件 对机构的位置反解问题进行了数值验证,通过仿真可知,给定机构的相关参数,利用本 文提出的反解方法,可直接获得机构反解的唯一位形。 (2)本文在位置反解的基础上,利用网格法对机构的工作空间进行了分析。通过 Ma廿ab软件仿真可知:机构的运动平台参考点的位置工作空间与机构运动平台的姿态工 作空间具有一致性。 (3)本文运用螺旋理论求解出3-RRS并联机构的约束雅可比矩阵、驱动雅可比矩阵 和全雅可比矩阵;通过约束雅可比矩阵的变化,对3-RRS并联机构的动平台速度进行分 析,求解出动平台的速度雅可比矩阵:通过对三个雅可比矩阵的分析,求解出3-RRS 并联机构的奇异位形,并运用Matlab软件仿真出3-RRS并联机构奇异位形三维立体图。 (4)本文定义了机构支链的力/力矩传动效率系数来评价机构的输入和输出传动性 能:运用Mauab软件对机构的传动效率系数进行分析,通过仿真可知,对于整个机构 的传动性能而言,如果其中一条支链的传动效率低于预期的设定,则可判断整个机构的 传动效率低:而如果整个机构的传动效率高,则可判断机构各个支链的传动效率高。 (5)本文推导出了3-RRS并联机构封闭形式的速度和加速度公式;得到各个杆件的 质心速度、加速度和各个杆件的角速度、角加速度,各个杆件和动平台在重力作用下的 外力螺旋,应用虚功原理方法,推导出3-RRS并联机构的动力学反解模型,将整个系统 的动力学方程简化得到3-RRS并联机构各个支链的动力学方程的表达式。

6.2展望
本文对3-RRS并联机构的运动学及动力学做了一定程度的研究,为了加深对并联机 构性能的研究,还需要对3-RRS并联机构以及其他并联机构在以下方面做进一步的研
究:

(1)如何求解出一般并联机器人的位置反解的解析表达式,并且简化表达式形式得 到位置反解的唯一解,以便提高解析法求解位置反解的速度仍然是并联机构位置反解中 值得研究的难题。 (2)并联机构存在不同的奇异位形,对并联机构奇异位形具体的研究方法也有很多,

第六章结论与展望

并没有一种通用方法可以求解出机构的所有奇异位形,因此,对一般并联机构奇异位形 的通用方法的研究还有待于进一步的分析。 (3)本文基于3-RRS并联机构定义了机构支链的力/力矩传动效率系数来评价机构的 输入和输出传动性能,可进一步将该传动效率系数推广应用到对任何自由度形式的少自 由度并联机构的构型选型及运动优化设计分析中。 (4)本文仅推导出3-RRS并联机构的动力学反解模型,由于时间的关系,并未对其 进行仿真验证。

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59

发表论文和科研情况说明

发表论文和科研情况说明

发表的论文: 【1】郭玉,赵新华,李彬,一种过约束3自由度并联机构的位置正解研究,天津理工大 学学报,2012年2月(己发表). 参与的科研项目: 本人参与了国家自然科学基金青年科学基金项目:少自由度并联机构同性异构现 象产生机理及构型优化研究,项目编号:5 1205289.

致谢





本论文是在我的导师赵新华教授和李彬老师的悉心指导下完成的。赵新华教 授渊博的知识和严谨的治学态度令我受益匪浅,整个课题的研究过程,赵老师掌 控全局的能力使我衷心佩服,总是能够在我遇到困难时,给我的科研工作和论文 及时地提出许多独特的见解,在此表示衷心的感谢。 李彬老师将我领入了并联机构研究的大门,他科学的工作方法给了我极大的 帮助和影响。在学习上和生活上都给予了我很大的关心和帮助,在此衷心感谢三 年来李彬老师对我的关心和指导。 另外要感谢我的父母,是他们的关怀和支持使我能够在学校专心完成我的学
业。

最后在实验室工作及撰写论文期间,刘思宇、边智、吴志刚等同学以及刘凉 博士对我论文的研究工作给予了热情帮助,在此向他们表达我的感激之情。

3--RRS并联机构运动学及动力学分析
作者: 学位授予单位: 郭玉 天津理工大学

本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Thesis_Y2274359.aspx


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