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优化方案数学必修1(北师大版)第四章§1.1.1应用案巩固提升


[A 基础达标] 1.下列函数不存在零点的是( ) 1 A.y=x- B.y= 2x2-x-1 x ? ? ?x+1,x≤0, ?x+1,x≥0, C.y=? D.y=? ?x-1,x>0 ?x-1,x<0 ? ? 解析:选 D.令 y=0,得选项 A 和 C 中的函数的零点均为 1 和-1;B 中函数的零点为 1 - 和 1;只有 D 中函数无零点. 2 2.方程 x3+3x-

1=0 在以下哪个区间内一定存在实根( ) A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 解析:选 B.令 f(x)=x3+3x-1,其图像在 R 上连续且是递增的,由于 f(0)=-1<0,f(1) =3>0,故选 B. ?2x-1,x≤1, ? 3.已知函数 f(x)=? 则函数 f(x)的零点为( ) ?1+log2x,x>1, ? 1 A . ,0 B.-2,0 2 1 C. D.0 2 解析:选 D.当 x≤1 时,令 2x-1=0,得 x=0. 1 当 x>1 时,令 1+log2x=0,得 x= ,此时无解. 2 综上所述,函数 f(x)的零点为 0. 4.函数 y=ax2-4x+2 只有一个零点,则实数 a 的值为( ) A.0 B .2 C.0 或 2 D.1 解析:选 C.当 a=0 时,y=-4x+2, 1 由-4x+2=0 得 x= , 2 故函数有唯一零点,a=0 成立; 当 a≠0 时,二次函数 y=ax2-4x+2 有唯一零点, 则有 Δ=16-8a=0,得 a=2. 综上,a=0 或 a=2. 5.函数 f(x)=ax2+bx+c,若 f(1)>0,f(2)<0,则 f(x)在(1,2)上零点的个数为( ) A.至多有一个 B.有一个或两个 C.有且仅有一个 D.一个也没有 解析: 选 C.若 a=0, 则 f(x)=bx+c 是一次函数, 由 f(1)· f(2)<0 得零点只有一个; 若 a≠0, 则 f(x)=ax2+bx+c 为二次函数,若 f(x)在(1,2)上有两个零点,则必有 f(1)·f(2)>0,与已 知矛盾.故 f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点. (x-1)ln x 6.函数 f(x)= 的零点是________. x-3 (x-1)ln x 解析:令 f(x)=0,即 =0,可得 x-1=0 或 ln x=0,解得 x=1,故 f(x)的零 x-3 点是 1. 答案:1 7.已知函数 f(x)=3mx-4,若在区间[-2,0]上存在 x0,使 f(x0)=0,则实数 m 的取值 范围是________. 解析: 因为函数 f(x)在[-2, 0]上存在零点 x0 使 f(x0)=0, 且 f(x)单调, 所以 f(-2)· f(0)≤0, 2 2 ? 所以(-6m-4)×(-4)≤0,解得 m≤- .所以,实数 m 的取值范围是? ?-∞,-3?. 3 2? 答案:? ?-∞,-3? 8.若方程 ax-x-a=0(a>0 且 a≠1)有两个实数解,则 a 的取值范围是________. 解析: 在同一直角坐标系中画出函数 y=ax 与函数 y=x+a 的图像,由图像可知当 a>1 时,它 们有 2 个交点,即方程 ax-x-a=0 有两个实数解.当 0<a<1 时,它们有一个交点,即方程 有一个实数根. 答案:(1,+∞) 9.(1)求函数 y=4x+3· 2x-4 的零点. 2 (2)已知函数 f(x)=x -|x|+3+a 有 4 个零点,求实数 a 的取值范围. 解:(1)令 y=

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