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3.2立体几何中的向量方法 习题课 课件


习题课 习题课 立体几何中的向量方法 通过利用向量方法解决综合性较强的问题,进一步 体会空间向量在解决立体几何问题中的广泛作用. 结合例题的解题过程,对立体几何中的三种方法(综 合法、向量法、坐标法)进行比较,进一步体会向量方法 与坐标方法相结合的优越性. 研一研· 问题探究、课堂更高效 习题课 题型一 立体几何中的综合性问题 例 1 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD⊥底面 ABCD, PD=DC, 点 E 是 PC 的中点, 作 EF⊥ PB 交 PB 于点 F. (1)求证:PA∥平面 EDB; (2)求证:PB⊥平面 EFD; (3)求二面角 C—PB—D 的大小. 研一研· 问题探究、课堂更高效 习题课 (1)证明 如图所示建立空间直角坐标系, 点 D 为坐标原点,设 DC=1. 连接 AC,AC 交 BD 于点 G,连接 EG. 因为底面 ABCD 是正方形,所以点 G 是此 ?1 1 ? 正方形的中心,故点 G 的坐标为?2,2,0?, ? ? 1 1? → → ? 且PA=(1,0,-1),EG=?2,0,-2?. ? ? → → 所以PA=2EG,即 PA∥EG. 而 EG?平面 EDB,且 PA?平面 EDB,因此 PA∥平面 EDB. → (2)证明 依题意得 B(1,1,0),PB=(1,1,-1). 1 1? 1 1 → ? → → 又DE=?0,2,2?,故PB· DE=0+2-2=0. 所以 PB⊥DE. ? ? 研一研· 问题探究、课堂更高效 习题课 由已知 EF⊥PB,且 EF∩DE=E,所以 PB⊥平面 EFD. (3)解 已知 PB⊥EF,由(2)可知 PB⊥DF, 故∠EFD 是二面角 C—PB—D 的平面角. → 设点 F 的坐标为(x,y,z),则PF=(x,y,z-1). → → 由PF=kPB得(x,y,z-1)=k(1,1,-1)=(k,k,-k) 即 x=k,y=k,z=1-k. → → 因为PB· DF=0, 所以(1,1,-1)· (k,k,1-k)=k+k-1+k=3k-1=0. ?1 1 2? 1 所以 k=3,点 F 的坐标为?3,3,3?. ? ? ? 1 1? 又点 E 的坐标为?0,2,2?, ? ? 研一研· 问题探究、课堂更高效 → → 1? → ? 1 1 FE· FD ? ? 所以FE= -3,6,-6 .因为 cos∠EFD= ? ? → → |FE||FD| ? 1 1 1? ? 1 1 2? 1 ?- , ,- ?· ?- ,- ,- ? 6? ? 3 3 3? 6 1 ? 3 6 = =1=2, 6 6 3 6 ·3 所以∠EFD=60°,即二面角 C—PB—D 的大小为 60°. 习题课 思考 (1)体会例 1 中的方法是怎样把坐标方法与向量方法 结合起来的,建立坐标系在解题中起了什么作用? (2)用综合法怎样解例 1,试比较综合法与例 1 中的方法. 小结 本例的第(1)(2)两小题分别证明直线与平面平行、垂 直,本题的证法是由向量表示转到有关判定定理.第(3)小 题求二面角在利用向量法时,首先回归定义,确定二面角 的平面角.因此本题是立体几何中三种方法(综合法、向量 法、坐标法)的有机结合,解法非常灵活,要用心体会. 研一研· 问题探究、课堂更高效 习题课 跟踪训练 1 如图所示,正方形 ABCD 所在 平面与四边形 ABEF 所在平面互相垂直, △ ABE 是等腰

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