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电磁学综合题题(有答案)


电学与磁学综合题
2、如图所示,在 a、b 两端有直流恒压电源,输出电压恒为 Uab,R2=40Ω,右端 连接间距 d=0.04m、板长 l=10cm 的两水平放置的平行金属板,板间电场视为匀 强电场。闭合开关 ,将质量为 m=1.6× 10-6kg、带电量 q=3.2× 10-8C 的微粒以初 速度 v0=0.5m/s 沿两板中线水平射入板间。当滑动变阻器接入电路的阻

值为 15Ω 时,微粒恰好沿中线匀速运动,通过电动机的电流为 0.5A 。已知电动机内阻 R1=2Ω,取 g=10m/s2。试问: (1)输出电压为 Uab 是多大? (2)在上述条件下,电动机的输出功率和电源的输出功率? (3)为使微粒不打在金属板上,R2 两端的电压应满足什么条件?

2、(1)有 qU1/d=mg----- ① U1=20V 滑动变阻器两端电压 U2=I 总 R 滑---- ---- ② I 总=I1+I2=1A-----③ 电源电压: U=U1+U2=35V (2)P=P 总-I12R1 =U1I1-I12R1=9.5W ----④ P 电=I 总 U=35W----⑤ (3)因上极板带正电,故粒子带负电粒子穿过板的时间 t= =0.2s ---⑥

当粒子刚从下极板穿出时:

---- ----⑦

而:E=

联立解得:U =18V

-----⑧

同理有:

而:E=

联立解得:U =22V -----⑨ ⑩

故 R2 两端的电压应满足的条件是:18V<U2<22V

3、如图所示,带电平行金属板 PQ 和 MN 之间的距离为 d;两金属板之间有垂直纸面向里 的匀强磁场,磁感应强度大小为 B。如图建立坐标系,x 轴平行于金属板,与金属板中心线 重合,y 轴垂直于金属板。区域 I 的左边界在 y 轴,右边界与区域 II 的左边界重合,且与 y 轴平行;区域 II 的左、右边界平行。在区域 I 和区域 II 内分别存在匀强磁场,磁感应强度 大小均为 B,区域 I 内的磁场垂直于 Oxy 平面向外,区域 II 内的磁场垂直于 Oxy 平面向里。 一电子沿着 x 轴正向以速度 v0 射入平行板之间, 在平行板间恰好沿着 x 轴正向做直线运动, 并先后通过区域 I 和 II。已知电子电量为 e,质量为 m,区域 I 和区域 II 沿 x 轴方向宽度均



。不计电子重力。

(1)求两金属板之间电势差 U; (2)求电子从区域 II 右边界射出时,射出点的纵坐标 y; (3) 撤除区域 I 中的磁场而在其中加上沿 x 轴正向的匀强电场, 使得该电子刚好不能从区域 II 的右边界飞出。 求电子两次经过 y 轴的时间间隔 t。

3、解: (1)电子在平行板间做直线运动,电场力与洛伦兹力平衡

即 所以,

…………………………………………2 分 …………………………………………2 分

(2)如右图所示,电子进入区域 I 做匀速圆周运动,向上偏转,洛伦兹力提供向心力

所以,

…………………2 分

设电子在区域 I 中沿着 y 轴偏转距离为

y0 , 区 域 I 的 宽 度 为 b ( b=

) ,则

………………2 分

代入数据,解得

………………2 分

电子在两个磁场中有相同的偏转量。

电子从区域 II 射出点的纵坐标

………………2 分

(3)电子刚好不能从区域 II 的右边界飞出,说明电子在区域 II 中做匀速圆周运动的轨迹恰好与区域 II 的 右边界相切, 圆半径恰好与区域 II 宽度相同。 电子运动轨迹如下图所示。 设电子进入区域 II 时的速度为 ,



,所以

………2 分

电子通过区域 I 的过程中,向右做匀加速直线运动, 此过程中

平均速度

电子通过区域 I 的时间

(b 为区域 I 的宽度



解得:

………………2 分

电子在区域 II 中运动了半个圆周,设电子做

圆周运动的周期为 T,则 电子在区域 II 中运动的时间

………………2 电子反向通过区域 I 的时间仍为 。

所以, 电子两次经过 y 轴的时间间隔

4、如图所示,两足够长的光滑金属导轨竖直放置,相距为 L, 一理想电流表与 两导轨相连,匀强磁场与导轨平面垂直。一质量为 m、有效电阻为 R 的导体棒 在距磁场上边界 h 处静止释放。 导体棒进入磁场后, 流经电流表的电流逐渐减小, 最终稳定为 I。整个运动过程中,导体棒与导轨接触良好,且始终保持水平,不 计导轨的电阻。求: (1)磁感应强度的大小 B; (2)电流稳定后,导体棒运动速度的大小 v; (3)流经电流表电流的最大值

4 、( 1 ) 电 流 稳 定 后 , 道 题 棒 做 匀 速 运 动 ①

解得 (2)感应电动势 电影电流 E=BLv

② ③

由②③④式解得 (3)由题意知,导体棒刚进入磁场时的速度最大,设为

机械能守恒 感应电动势的最大值

感应电流的最大值

解得

5、上海卷如图(a)所示,光滑的平行长直金属导轨置于水平面内,间距为 L、导轨左端接 有阻值为 R 的电阻,质量为 m 的导体棒垂直跨接在导轨上。导轨和导体棒的电阻均不计, 且接触良好。 在导轨平面上有一矩形区域内存在着竖直向下的匀强磁场, 磁感应强度大小为 B。开始时,导体棒静止于磁场区域的右端,当磁场以速度 v1 匀速向右移动时,导体棒随之 开始运动,同时受到水平向左、大小为 f 的恒定阻力,并很快达到恒定速度,此时导体棒仍 处于磁场区域内。 (1)求导体棒所达到的恒定速度 v2; (2)为使导体棒能随磁场运动,阻力最大不能超过多少? (3)导体棒以恒定速度运动时,单位时间内克服阻力所做的功和电路中消耗的电功率各为 多大? (4)若 t=0 时磁场由静止开始水平向右做匀加速直线运动,经过较短时间后,导体棒也做 匀加速直线运动,其 v-t 关系如图(b)所示,已知在时刻 t 导体棋睥瞬时速度大小为 vt,求 导体棒做匀加速直线运动时的加速度大小。 (1)E=BL(v1-v2) ,I=E/R,F=BIL= 度恒定时有: B2L2(v1-v2) fR =f,可得:v2=v1- 2 2 , R BL B2L2v1 (2)fm= , R B2L2(v1-v2)2 fR (3)P 导体棒=Fv2=f?v1- 2 2 ? ,P 电路=E2/R= BL ? R ? f2R , B2L2 B2L2(v1-v2) (4)因为 -f=ma,导体棒要做匀加速运动,必有 v1-v2 为常数,设为?v, R vt+?v B2L2(at-vt) B2L2 vt+fR a= ,则 -f=ma,可解得:a= 2 2 。 t R B L t-mR
vt

B2L2(v1-v2) ,速 R

? R

? m ?B ? L ? ? (a) v

? ? ?

? ? ? v1

O

t

t



6、全国卷Ⅰ两屏幕荧光屏互相垂直放置,在两屏内分别去垂直于两屏交线的直线为 x 和 y 轴,交点 O 为原点,如图所示。在 y>0,0<x<a 的区域 有垂直于纸面向内的匀强磁场,在 y>0,x>a 的区域有 垂直于纸面向外的匀强磁场,两区域内的磁感应强度大 小均为 B。在 O 点出有一小孔,一束质量为 m、带电量 为 q(q>0)的粒子沿 x 周经小孔射入磁场,最后打在竖 直和水平荧光屏上,使荧光屏发亮。入射粒子的速度可 取从零到某一最大值之间的各种数值。已知速度最大的 粒子在 0<x<a 的区域中运动的时间与在 x>a 的区域中运 动的时间之比为 2︰5, 在磁场中运动的总时间为 7T/12, 其中 T 为该粒子在磁感应强度为 B 的匀强磁场中做圆周 运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围(不计重力 的影响) 。 解: 对于 y 轴上的光屏亮线范围的临界条件如图 1 所示: 带电粒子的轨迹和 x=a 相切, 此时 r=a, y 轴上的最高点 为 y=2r=2a ; 对于 x 轴上光屏亮线范围的临界条件如图 2 所示: 左边 界的极限情况还是和 x=a 相切,此刻,带电粒子在右边 的轨迹是个圆, 由几何知识得到在 x 轴上的坐标为 x=2a; 速度最大的粒子是如图 2 中的实线,又两段圆弧组成, 圆心分别是 c 和 c’ 由对称性得到 c’在 x 轴上,设 在左右两部分磁场中运动时间分别为 t1 和 t2,满足

t1 2 ? t2 5

7 T 12 1 解得 t1 ? T 6 OP=2a+R t1 ? t2 ?

t2 ?

5 T 12

由数学关系得到: 3R ? 2a

代入数据得到: OP=2(1+

3 )a 3

所以在 x 轴上的范围是 2a ? x ? 2(1+

3 )a 3

7、天津卷两根光滑的长直金属导轨导轨 MN、M'N'平行置于同一水平面内,导轨间距为 l, 电阻不计,M、M'处接有如图所示的电路,电路中各电阻的阻值均为 R,电容器的电容为 C。 长度也为 l、阻值同为 R 的金属棒 ab 垂直于导轨放置,导轨处于磁感应强度为 B、方向竖 直向下的匀强磁场中。ab 在外力作用下向右匀速运动且与导轨保持良好接触,在 ab 运动距 离为 s 的过程中,整个回路中产生的焦耳热为 Q。求: (1)ab 运动速度 v 的大小; (2)电容器所带的电荷量 q. 制作

(1) 设 ab 上产生的感应电动势为 E, 回路中电流为 I, ab 运动距离 s 所用的时间为 t, 则有: E=BLv E I= 4R s t= t 4QR Q=I2(4R)t 由上述方程得:v= 2 2 Bls

(2)设电容器两极板间的电势差为 U,则有:U=IR CQR 电容器所带电荷量 q=CU 解得 q= Bls

8、 (14 分)用一根长 L=0.8m 的轻绳,吊一质量为 m=1.0g 的带电小球,放在磁感应强度 B=0.1T,方向如图 8 所示的匀强磁场中,将小球拉到与悬点等高处由静止释放,小球便 在垂直于磁场的竖直面内摆动,当球第一次摆到低点时,悬线的张力恰好为零(重力加 速度 g=10m/s2) (1)小球带何种电荷?电量为多少? (2)小球第二次经过最低点时,悬线对小球的拉力多大?

解:(1)设小球第一次到达最低点速度为 v,则由动能定律可得:

图8 (3 分)

mgL ?

1 2 mv 2

(3 分)

Bqv ? mg ? m
(3 分)

v2 L

解得 q=7.5×10-2C, 带负电.

(2)根据向心力公式得: F ? Bqv ? mg ? 2mg

(3 分)

解得 F=0.06N

(3 分)

9. (16 分)如图 9 所示,两个宽度为 d 的有界磁场区域,磁感应强度都为 B,方向如图 18 所示,不考虑左右磁场相互影响且有理想边界。一带电质点质量为 m,电量为 q,以一 定的初速度从边界外侧垂直磁场方向射入磁场,入射方向与 CD 成θ 角。若带电质点经 过两磁场区域后又与初速度方向相同的速度出射。 求初 速度的最小值以及经过磁场区域的最长时间。 (重力不 计) 。 v0 θ B d D F 图9 B d H C E G

解:带电质点只要能进入第二磁场,就可满足要求。即带电质点至少能进入的第二个磁场的 速度为最小值。 d=R(1+cosθ ) (4 分)

Bq0 v?m

2 v0 R

(4 分)

所以 v0 ?

BqR Bqd ? m m(1 ? cos? )

(4 分)

因为 t1 ? t 2 ?

? ?? (? ? ? )m 2(? ? ? )m ,所以 t ? 2t 2 ? T? 2? qB qB

(4 分)

10. (16 分)如图 10 甲所示,在两平行金属板的中线 OO′某处放置一个粒子源,粒子沿 OO′方向连续不断地放出速度 ? 0 ? 1.0 ? 10 m / s 的带正电的粒子。在直线 MN 的右
5

侧分布有范围足够大的匀强磁场,磁感应强度 B=0.01 ? T,方向垂直纸面向里, MN 与中线 OO′垂直。 两平行金属板间的电压 U 随时间变化的 U—t 图线如图 19 乙所示。 已知带电粒子的荷质比

q ? 1.0 ? 10 8 C / kg ,粒子的重力和粒子之间的作用力均可忽 m

略不计,若 t ? 0.1s 时刻粒子源放出的粒子恰能从平行金属板边缘离开电场(设在每 个粒子通过电场区域的时间内,可以把板间的电场看作是恒定的) 。求: (1) t ? 0.1s 时刻粒子源放出的粒子离开电场时的速度大小和方向。 (2)从粒子源放出的粒子在磁场中运动的最短时间和最长时间。

M + O 图 10 甲 O/ 0 N 100

U/V

t/s 0.1 0.2 图 10 乙 0.3 0.4

解: (1)设板间距为 d,t=0.1s 时刻释放的粒子在板间做类平抛运动 在沿电场方向上

d qU 2 ? t …………① 2 2dm

(2 分)

粒子离开电场时,沿电场方向的分速度 v y ?

qU t …………② dm

(2 分) (2 分) (2 分)

2 2 粒子离开电场时的速度 v ? v 0 …………③ ? vy

粒子在电场中的偏角为?

tan? ?

?y ?0

…………④

qU 2 由①②③④得 v ? v 0 ? ? 1.4 ?10 5 m / s m

(1 分) (1 分)

tan ? ?

qU ?1 2 mv 0

? ? 45 ?

(2)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期 2?m T? ? 2 ? 10 ?6 s qB

(2 分)

不同时刻释放的粒子在电场中的偏角 ? 不同,进入磁场后在磁场中运动的时间不同,? 大的磁场中的偏角大,运动时间长。 t ? 0 时刻释放的粒子,在电场中的偏角为 0,在磁场中运动的时间最短

t1 ?

T ? 1?10 ?6 s 2
3 T ? 1.5 ?10 ?6 s 4
(2 分)

(2 分)

t ? 0.1s 时刻释放的粒子,在电场中的偏角最大为 45°,在磁场中的运动时间
t2 ?

11.【2012?山东模拟】如图 11 所示,一个质量为 m、带电量为+q 的小球,以初速度 v0 自 h 高度处水平抛出。不计空气阻力。重力加速度为 g. (1)若在空间竖直方向加一个匀强电场,发现小球水平抛出后做匀速直线运动,求该匀 强电场的场强 E 的大小; (2)若在空间再加一个垂直纸面向外的匀强磁场,小球水平抛出后恰 沿圆弧轨迹运动,落地点 P 到抛出点的距离为 3h ,求该磁场磁感应强度 B 的大小. 【答案】(1) E =

mg (2) q

B?

2mv 0 3qh

【解析】 (1)小球做匀速直线运动,说明重力和电场力平衡,根据平衡条件,有 mg=qE 解得: E =

mg 。 q

(2)再加匀强磁场后,小球做圆周运动,洛伦兹力充当向心力,设轨道半径为 R,根据几 何关系得 P 点到抛出点的水平距离 x= 2 h

R 2 ? ( R ? h) 2 ? x 2
由 qv0 B = m
2 v0 , R

解得: R ? 得B ?

3h 2

2mv 0 3qh

12. 【2012?天津期末】如图,平行金属板倾斜放置,AB 长度为 L,金属板与水平方向的夹角 为 θ ,一电荷量为-q、质量为 m 的带电小球以水平速度 v0 进入电场,且做直线运动,到达 B 点。离开电场后,进入如下图所示的电磁场(图中电场没有画出)区域做匀速圆周运动, 并竖直向下穿出电磁场,磁感应强度为 B。试求: (1)带电小球进入电磁场区域时的速度 v。 (2)带电小球在电磁场区域做匀速圆周运动的时间。 (3)重力在电磁场区域对小球所做的功。

2 2 2 【答案】 (1) 2 gL tan? ? v0 (2) ?m (3) m g 2 gL tan? ? v0 2qB qB

【解析】 (1) 对带电小球进行受力分析, 带电小球受重力 mg 和电场力 F, F 合=Fsinθ , mg=Fcosθ 解得 F 合=mgtanθ
2, 根据动能定理 F合 L ? 1 mv 2 ? 1 mv 0 2 2

2 解得 v ? 2gL tan? ? v0

(1)带电小球进入电磁场区域后做匀速圆周运动,说明 场力和重力平衡,带电小球只在洛伦兹力作用下运动。通过几何知识可 以得出,带电粒子在磁场中运动了
t? T 1 2?m ?m ? ? ? 4 4 qB 2qB
qB
1 4



圆周,运动时间为

(3)带电小球在竖直方向运动的高度差等于一个半径,h=R= mv (2 分)
2 m 2 gL tan? ? v0 2 m 2 g 2 gL tan? ? v0

重力做的功为 W ? mgh ? mg ?

qB

?

qB

13. 【2012?湖南模拟】如下图,竖直平面坐标系 xOy 的第一象限,有垂直 xOy 面向外的水平 匀强磁场和竖直向上的匀强电场,大小分别为 B 和 E;第四象限有垂直 xOy 面向里的水平匀 强电场,大小也为 E;第三象限内有一绝缘光滑竖直放置的半径为 R 的半圆轨道,轨道最高 点与坐标原点 O 相切,最低点与绝缘光滑水平面相切于 N。一质量为 m 的带电小球从 y 轴上

(y>0)的 P 点沿 x 轴正方向进入第一象限后做圆周运动,恰好通过坐标原点 O,且水平切 入半圆轨道并沿轨道内侧运动,过 N 点水平进入第四象限,并在电场中运动(已知重力加速 度为 g) 。 (1)判断小球的带电性质并求出其所带电荷量; (2)P 点距坐标原点 O 至少多高; (3)若该小球以满足(2)中 OP 最小值的位置和对应速度进入第一象限,通过 N 点开始计

时,经时间

t?2

R g 小球距坐标原点 O 的距离 s 为多远?

【答案】 (1) q ?

2m Rg mg y ? 2r ? ,小球带正电; (2)PO 的最小距离为: (3) qB ; E

s ? x 2 ? z 2 ? ?2 R ?2 ? 2 7 R 。
【解析】 (1)小球进入第一象限正交的电场和磁场后,在垂直磁场 的平面内做圆周运动,说明重力与电场力平衡,qE=mg① 得q?

mg E ②

小球带正电。

(2)小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,设匀速圆周运动的速 度为 v、轨道半径为 r。

v2 qvB ? m 有: r ③
小球恰能通过半圆轨道的最高点并沿轨道运动,有: mg ? m
v2 ④ R

r? 由③④得:

m Rg qB

2m Rg qB

PO 的最小距离为: y ? 2r ?



1 2 1 2 (3)小球由 O 运动到 N 的过程中机械能守恒:mg·2R+ mv = mvN⑦ 2 2
2 由④⑦得: vN ? 4 Rg ? v ? 5Rg ⑧

根据运动的独立性可知,小球从 N 点进入电场区域后,在 x 轴方向以速度 vN 做匀速直线运 动,沿电场方向做初速度为零的匀加速直线运动,则沿 x 轴方向有:x=vNt⑨

1 2 沿电场方向有:z= at ⑩ 2
a? qE ?g ? m

t 时刻小球距 O 点: s ?

x 2 ? z 2 ? ?2 R ?2 ? 2 7 R

14. 【2012?北京市海淀区期末】 (10分)1879年美国物理学家霍尔在研究载流导体在磁场中 受力情况时,发现了一种新的电磁效应:将导体置于磁场中,并沿垂直磁场方向通入电流, 则在导体中垂直于电流和磁场的方向会产生一个横向电势差,这种现象后来被称为霍尔效 应,这个横向的电势差称为霍尔电势差。 (1)如图14甲所示,某长方体导体abcda′b′c′d′的高度为h、宽度为l,其中的载 流子为自由电子,其电荷量为e,处在与ab b′a′面垂直的匀强磁场中,磁感应强度为B0。 在导体中通有垂直于bcc′b′面的电流,若测得通过导体的恒定电流为I,横向霍尔电势差 为UH,求此导体中单位体积内自由电子的个数。

(2)对于某种确定的导体材料,其单位体积内的载流子数目n和载流子所带电荷量q均为定

1 值,人们将H= nq 定义为该导体材料的霍尔系数。利用霍尔系数H已知的材料可以制成测量
磁感应强度的探头,有些探头的体积很小,其正对横截面(相当于图14甲中的ab b′a′面) 的面积可以在0.1cm 以下,因此可以用来较精确的测量空间某一位置的磁感应强度。如图14 乙所示为一种利用霍尔效应测磁感应强度的仪器, 其中的探头装在探杆的前端, 且使探头的 正对横截面与探杆垂直。这种仪器既可以控制通过探头的恒定电流的大小I,又可以监测出 探头所产生的霍尔电势差UH,并自动计算出探头所测位置磁场的磁感应强度的大小,且显示 在仪器的显示窗内。 ①在利用上述仪器测量磁感应强度的过程中,对探杆的放置方位有何要求; ②要计算出所测位置磁场的磁感应强度,除了要知道H、I、UH外,还需要知道哪个物
2

理量,并用字母表示。推导出用上述这些物理量表示所测位置磁感应强度大小的表达式。

【答案】(1)

B0 I eU H l

U Hl (2) HI

【解析】 (1)设单位体积内的自由电子数为n,自由电子定向移动的速率为v, 则有 I=nehlv……………………………………………………………………(1分)

当形成恒定电流时,自由电子所受电场力与洛仑兹力相等,因此有 evB0=eUH/h………………………………………………………………………(2分)

B0 I 解得n= eU H l …………………………………………………………………(1分)
(2)①应调整探杆的放置方位(或调整探头的方位) ,使霍尔电势差达到最大(或使探 杆与磁场方向平行;探头的正对横截面与磁场方向垂直; ab b ′ a ′面与磁场方向垂 直)…………………………………………………………………………………………(3分) ②设探头中的载流子所带电荷量为q, 根据上述分析可知, 探头处于磁感应强度为B的磁 场中,当通有恒定电流I,产生最大稳定霍尔电压UH时,有 qvB=qUH/h…………(1分)

1 又因 I=nqhlv和H= nq

U Hl 联立可解得 B= HI ……………………………………………………………(1分)
所以,还需要知道探头沿磁场方向的宽度l……………… 15. 【2012?北京市海淀区期末】10分)如图15甲所示,水平加速电场的加速电压为U0, 在它的右侧有由水平正对放置的平行金属板 a 、 b 构成的偏转电场,已知偏转电场的板长 L=0.10 m,板间距离d=5.0×10
-2

m,两板间接有如图15乙所示的随时间变化的电压U,且a

板电势高于b板电势。在金属板右侧存在有界的匀强磁场,磁场的左边界为与金属板右侧重 合的竖直平面MN,MN右侧的磁场范围足够大,磁感应强度B=5.0×10 T,方向与偏转电场正 交向里(垂直纸面向里) 。质量和电荷量都相同的带正电的粒子从静止开始经过电压U0=50V 的加速电场后, 连续沿两金属板间的中线OO′方向射入偏转电场中, 中线OO′与磁场边界MN 垂直。已知带电粒子的比荷
-3

q 8 =1.0×10 C/kg,不计粒子所受的重力和粒子间的相互作用 m

力,忽略偏转电场两板间电场的边缘效应,在每个粒子通过偏转电场区域的极短时间内,偏 转电场可视作恒定不变。

(1)求t=0时刻射入偏转电场的粒子在磁场边界上的入射点和出射点间的距离; (2)求粒子进入磁场时的最大速度; (3)对于所有进入磁场中的粒子,如果要增大粒子在磁场边界上的入射点和出射点间 的距离,应该采取哪些措施?试从理论上推理说明。 【答案】 (1) 1.0×10 m/s (2) 1.1×10 m/s(3)要增大粒子在磁场边界上的入射点和
5 5

出射点间的距离x,应该减小匀强磁场的磁感应强度B,或增大加速电压U0 【解析】 (1)设经过加速电场加速后,粒子的速度为v0,根据动能定理有

2qU 0 1 2 qU0 ? mv0 m =1.0×105m/s……… 2 ,解得v0=
由于t=0时刻偏转电场的场强为零,所以此时射入偏转电场的粒子将匀速穿过电场而以 v0的速度垂直磁场边界进入磁场中,在磁场中的运动轨迹为半圆。 设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r,由洛仑兹力公式和牛顿第二定律得
2 v0 mv 0 qv0B=m …解得 r= 所以粒子在磁场边界上的入射点和出射点间的距离 r qB

d=2r =0.40m…… (2) 设粒子以最大偏转量离开偏转电场, 即轨迹经过金属板右侧边缘处, 进入磁场时a、

qUm b板的电压为Um,则粒子进入偏转电场后,加速度a= md
水平方向 L=v0t

1 2 d at 竖直方向 y= 2 =2

2U 0d 2 2 解得 Um= L =25 V<50V
所以,电压Um=25V时对应粒子进入磁场的速度最大,设最大速度大小为vm,方向与OO′ 的夹角为?,则对于粒子通过加速电场和偏转电场的过程,根据动能定理有

Um 1 2 qU0+q 2 = 2 mvm
2qU0 qU m 5 ? 5 5 m m 2 解得 vm= = ×10 m/s=1.1×10 m/s

vy 1 1 v tan?= 0 = 2 ,即?=arctan 2
v0 vm

(或cos?=

2 2 5 5 =5 ,即?=arccos 5 )

(说明:计算结果带有根号,结果正确的同样得分)

(3)设任意时刻进入磁场的粒子,其进入磁场时速度方向与OO′的夹角为α ,则其速 度大小
v? v0 cos ?

R?
粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径

mv mv0 ? qB qBcos?

由如图答-3所示的几何关系可知,粒子在磁场边界上的入射 点和出射点间的距离

x ? 2R cos? ?

2mv0 2 2mU0 ? qB B q

所以要增大粒子在磁场边界上的入射点和出射点间的距离x,应该减小匀强磁场的磁感应强 度B,或增大加速电压U0…………………………

16.【2012?广东期末】如图所示,在一底边长为 2L,θ =45°的等腰三角形区域内(O 为底 边中点)有垂直纸面向外的匀强磁场. 现有一质量为 m,电量为 q 的带正电粒子从静止开始经过电势差为 U 的电场加速后, 从O 点垂直于 AB 进入磁场,不计重力与空气阻力的影响. (1)粒子经电场加速射入磁场时的速度? (2)磁感应强度B为多少时,粒子能以最大的圆周半径偏转后打到OA板? C (3)增加磁感应强度的大小, 可以再延长粒子在磁场中的运动时间, 求粒子在磁场中运动的 A θ L O B U

极限时间.(不计粒子与 AB 板碰撞的作用时间, 设粒子与 AB 板碰撞前后, 电量保持不变并以 相同的速率反弹) 【 答 案 】 (1)

v?

2qU m

(2)

B?

(1 ? 2 ) 2Uqm qL

(3) t m ?

? ?L
2v

?

? ?L
2

m 2qU

【解析】?依题意,粒子经电场加速射入磁场时的速度为 v,由动能定理得: 由

qU ?

1 mv 2 2



得v ?

2qU m



?要使圆周半径最大,则粒子的圆周轨迹应与 AC 边相切,设圆周半径为 R 由图中几何关系:

R?

R ?L sin ?

③ A

L R

O

B

U

由洛仑兹力提供向心力:

qvB ? m

v R

2



联立②③④解得 B ?

(1 ? 2 ) 2Uqm qL



C

?设粒子运动圆周半径为 r, r ?

mv ,当 r 越小,最后一次打到 AB 板的点越靠近 A 端 qB

点,在磁场中圆周运动累积路程越大,时间越长. 当 r 为无穷小,经过 n 个半圆运动,如图 所示,最后一次打到 A 点. 有: n ?

2? ? r ⑦ v T 最长的极限时间 t m ? n ⑧ 2
圆周运动周期: T ? 由⑥⑦⑧式得: t m ?

L 2r

⑥ L θ

A

O

B

U

? ?L
2v

?

? ?L
2

m 2qU
C


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