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山东省淄博市淄川般阳中学高中数学 数列学案 新人教A版必修5


山东省淄博市淄川般阳中学高中数学 数列学案 新人教 A 版必修 5
课题:数列求通项、求和( 1) 学习目标:总结数列求通项、求和问题 学习过程: 【学 情调查 情境导入】 一、数列通项 an 与前 n 项和 S n 的关系

? S1 an ? ? ?S n ? S n ?1
练习

n ?1 n?2

/>1.数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 3n 2 ? 28n ,则数列各项中最小项是( A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项

)

2.已知数列 ?an ? 是递增数列,其通项公式为 an ? n 2 ? ?n ,则实数 ? 的取值范围是_______ 3.数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? n 2 ? 4n ? 1,,则 an ? ____________ 【问题展示 合作探究】 二、求数列通项公式的常用方法 1、 归纳、猜想法求数列通项 【例 1】根据下列数列的前几项,分别写出它们的一个通项公式 ⑴7,77,777,7777,? ⑶1,3,3,5,5,7,7,9,9? 解析:⑴将数列变形为

7 7 7 7 ? (10 ? 1), (10 2 ? 1), (10 3 ? 1) ,?, (10 n ? 1) 9 9 9 9

⑶将已知数列变为 1+0, 2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,?。可得数列的

1 ? (?1) n 通项公式为 a n ? n ? 2
点拨:本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律,从而 求得通项。 2、 应用 a n ? ?

?

S1

(n ? 1) (n ? 2)

?S n ? S n?1

求数列通项

例 2.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 3 ? 2 ,求其通项公式.
n

解析:当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 ? 2 ? 1 ,
1

1

当 n ? 2时, an ? Sn ? Sn?1 ? (3n ? 2) ? (3n?1 ? 2)

? 2 ? 3n ?1
又 a1 ? 1 不适合上式,故 an ? ? 练习:数列 ?an ? ,

? 1 n ?1 ?2 ? 3

(n ? 1) (n ? 2)

1 1 1 a1 ? 2 a2 ? …… ? n an ? 2n ? 5 ,求 an 2 2 2

3、利用递推关系求数列的通项 【例 3】根据下列各个数列 ?an ? 的首项和递推关系,求其通项公式

4n ? 1 1 解析:因为 a n ?1 ? a n ? ,所以 2 4n ? 1 1 1 1 1 a n ?1 ? a n ? 2 ? ( ? ) 4n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 所以 a 2 ? a1 ? ( ? ) 2 1 3 1 1 1 a3 ? a 2 ? ( ? ) 2 3 5 1 1 1 a4 ? a3 ? ( ? ) 2 5 7
2

a1 ?

1 , 2

a n ?1 ? a n ?

1

?,?,

an ? an ?1 ?

1 1 1 ( ? ) 2 2n ? 3 2n ? 1

以上 (n ? 1) 个式相加得

1 1 (1 ? ) 2 2n ? 1 1 4n ? 3 ? 即: a n ? 1 ? 4n ? 2 4n ? 2 a n ? a1 ?
点拨:在递推关系中若 an?1 ? an ? f (n), 求 an 用逐差法(累加法) ,若

a n ?1 ? f (n), 求 an 用 an

2

逐商法(累乘法),若 an?1 ? pan ? q ,求 an 用待定系数法或迭代法。 a、已知关系式 an?1 ? an ? f (n) ,可利用逐差法; 例:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an ? an?1 ? 2n ? 1(n ? 2) ,求数列 ?an ? 的通项公式;

an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? (an?2 ? an?3 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1

b、已知关系式 an?1 ? an ? f (n) ,可利用逐商法.

an an ?1 an ?2 a a ? ? ? ? ? 3 ? 2 ? a1 an ?1 an ?2 an ?3 a2 a1 a n ?1 例、已知数列 ?an ? 满足: n ? (n ? 2), a1 ? 2 ,求数列 ?an ? 的通项公式; an?1 n ? 1 an ?

c、构造新数列 1°递推关系形如“ an?1 ? pan ? q ” ,利用待定系数法求解

例、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3 ,求数列 ?an ? 的通项公式.

an?1 ? 3an ? 4n ? 8 ? 0 ? an?1 ? 2(n ? 1) ? 5 ? 3(an ? 2n ? 5)
拓展:

?

an?1 ? 2(n ? 1) ? 5 ?3 an ? 2n ? 5
n ?1

2°递推关系形如“ an?1 ? pan ? qn ” ,两边同除 p 例、

用待定系数法求解

a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3n ,求数列 ?an ? 的通项公式.

3

3°转化为与之相关的数列 例、 (1) a1 ? 1 ,an?1 ?

2an ,求 an an ? 2

(2) a1 ? 2, an ?1 ?

2a n (n ? N ? ) ,求数列 ?an ?的通项公式. 4 ? an

例如: 列?

a n?1 ? 1 1 1 1 是公差为 2 的等差数 ? a n ? 1 ,两边取倒数? ?2? ?{ } 2a n?1 ? 1 an?1 ? 1 an ? 1 an ? 1

1 1 ? ? 2(n ? 1) ,从而求出an a n ? 1 a1 ? 1

又如:(n2 ?1)an ? n2an?1 ? n(n ?1) ?

n ?1 n ? n ?1 ? an ? an ?1 ? 1 ? ? an ? 是 公 差 n n ?1 ? n ? n ?1 1?1 2n ? an ? a1 ? an ? n 1 n ?1 4、给出关于 Sn 和 am 的关系,求 an 5 例:数列 ?an ? 满足 S n ? S n ?1 ? an ?1,a1 ? 4 ,求 an 3
注意到 an?1 ? Sn?1 ? Sn ,代入得



1











Sn ?1 ? 4 又 S1 ? 4 ,∴ ?Sn ? 是等比数列, Sn ? 4n Sn ;

n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? …… ? 3 · 4n?1
例:设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? a, an?1 ? Sn ? 3n (n ? N ? ) ,设 bn ? Sn ? 3n , 求数列 ?bn ?的通项公式.

4


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