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【南方新课堂】2015年高考数学(文)总复习课时检测:第2章 第2讲 函数的表示法]


第 2 讲 函数的表示法

1.设 f(x+2)=2x+3,则 f(x)=( ) A.2x+1 B.2x-1 C.2x-3 D.2x+7 ? ?1-x,x≤0, 2.(2012 年广东广州调研)已知函数 f(x)=? x ?a ,x>0. ? 若 f(1)=f(-1),则实数 a 的值等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 1 ?x>0?, ?

? 3 . (2012 年福建 ) 设 f(x)= ?0 ?x=0?, ? ?-1?x<0?, (
? ?1 g(x) = ? ?0 ?

?x为有理数?, ?x为无理数?,

则 f[g(π)] 的值为

) A.1 B.0 C.-1 D.π 4.如图 K221(1),在直角梯形 ABCD 中,动点 P 从点 B 出发,由 B→C→D→A 沿边 运动,设点 P 运动的路程为 x,△ABP 的面积为 f(x).若函数 y=f(x)的图象如图 K221(2), 则△ABC 的面积为( )

(1)

(2) 图 K221 A.10 B.32 C.18 D.16 x+1 5.已知 f(x)= (x≠± 1),则( x-1 A.f(x)· f(-x)=1 B.f(-x)+f(x)=0 C.f(x)· f(-x)=-1 D.f(-x)+f(x)=1 )

1 ? ?x+2,x∈A, 1? 1 ? ? ? 6.设集合 A=?0,2?,B=?2,1?,函数 f(x)=? 若 x0∈A,且 f[f(x0)] ? ?2?1-x?,x∈B. ∈A,则 x0 的取值范围是( ) 1? 1 1? 1 1? 3? ? ? ? A.?0,4? B.?4,2? C.?4,2? D.? ?0,8? 2 ? ?-x +2x,x≤0, 7.(2013 年新课标Ⅰ)已知函数 f(x)=? 若|f(x)|≥ax,则 a 的取值范围 ?ln?x+1?,x>0, ? 是( ) A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0]

8.(2013 年安徽)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x).若当 0≤x≤1 时.f(x)=x(1 -x),则当-1≤x≤0 时,f(x)=________________. 9.二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x+3,且 f(0)=2. (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)在[-3,4]上的值域; (3)若函数 f(x+m)为偶函数,求 f[f(m)]的值; (4)求 f(x)在[m,m+2]上的最小值.

10.定义:如果函数 y=f(x)在定义域内给定区间[a,b]上存在 x0(a<x0<b),满足 f(x0)= f?b?-f?a? ,则称函数 y=f(x)是[a,b]上的“平均值函数”,x0 是它的一个均值点.如 y=x4 b-a 是[-1,1]上的平均值函数,0 就是它的均值点. (1)判断函数 f(x)=-x2+4x 在区间[0,9]上是否为平均值函数?若是,求出它的均值点; 若不是,请说明理由; (2)若函数 f(x)=-x2+mx+1 是区间[-1,1]上的平均值函数, 试确定实数 m 的取值范围.

第 2 讲 函数的表示法 1.B 2.B 解析:f(1)=a1=f(-1)=1-(-1)=2.故选 B. 3.B 解析:因为 g(π)=0,所以 f[g(π)]=f(0)=0. 4.D 解析:根据 y=f(x)的图象,可得|BC|=4,|CD|=5,|AD|=5,∴|AB|=8,∴S△ 1 ABD= ×8×4=16. 2 5.A 1? 1 ?1 ? 6 . C 解析: 观察选项,知: x0 ∈ A = ? ?0,2? , f(x0) = x0 + 2 ∈ ?2,1? ? B , f[f(x0)] = 1?? 1 1 ? ? 1? 2? ?1-?x0+2??=1-2x0∈A=?0,2?,有4<x0<2. 7.D 解析:由题意可作出函数 y=|f(x)|的图象,和函数 y=ax 的图象(如图 D44),

图 D44

由图象可知: 函数 y=ax 的图象为过原点的直线, 当直线介于 l 和 x 轴之间时符合题意, 直线 l 为曲线的切线,且此时函数 y=|f(x)|在第二象限的部分解析式为 y=x2-2x, 求其导数可得 y′=2x-2,因为 x≤0,故 y′≤-2,故直线 l 的斜率为-2, 故只需直线 y=ax 的斜率 a 介于-2 与 0 之间即可,即 a∈[-2,0].故选 D. x?x+1? 8.- 解析:当-1≤x≤0 时,0≤x+1≤1, 2 x?x+1? 1 1 由题意 f(x)= f(x+1)= (x+1)[1-(x+1)]=- . 2 2 2 2 9.解:(1)设 f(x)=ax +bx+c(a≠0), 则 f(x+1)-f(x) =[a(x+1)2+b(x+1)+c]-(ax2+bx+c) =2ax+a+b=2x+3. ? ? ?2a=2, ?a=1, 与已知条件比较,得? 解得? ?a+b=3, ?b=2. ? ? 2 又 f(0)=c=2,∴f(x)=x +2x+2. (2)f(x)=(x+1)2+1, 则 f(x)min=f(-1)=1,f(x)max=f(4)=26. ∴f(x)在[-3,4]上的值域为[1,26]. (3)若函数 f(x+m)为偶函数, 则 f(x+m)=(x+m+1)2+1 为偶函数, ∴m=-1.f[f(m)]=f[f(-1)]=f(1)=5. (4)f(x)=(x+1)2+1, ①当 m+2<-1,即 m<-3 时,f(x)在[m,m+2]上单调递减.f(x)min=f(m+2)=m2+6m +10. ②当 m>-1 时,f(x)在[m,m+2]上单调递增, f(x)min=f(m)=m2+2m+2.

③当 m≤-1≤m+2,即-3≤m≤-1 时,f(x)min=f(-1)=1. f?9?-f?0? 10.解:(1)由定义可知,关于 x 的方程-x2+4x= 在(0,9)内有实数根时, 9-0 函数 f(x)=-x2+4x 是[0,9]上的平均值函数. f?9?-f?0? 而-x2+4x= ,即 x2-4x-5=0. 9-0 解得 x1=5 或 x2=-1. 又 x1=5∈(0,9)[x2=-1?(0,9),故舍去], ∴f(x)=-x2+4x 是[0,9]上的平均值函数,5 是它的均值点. (2)∵f(x)=-x2+mx+1 是[-1,1]上的平均值函数, f?1?-f?-1? ∴关于 x 的方程-x2+mx+1= 在(-1,1)内有实数根. 1-?-1? f?1?-f?-1? 由-x2+mx+1= ,得 x2-mx+m-1=0. 1-?-1? 解得 x1=m-1 或 x2=1. 又 x2=1?(-1,1), ∴x1=m-1 必为均值点,即-1<m-1<1. ∴所求实数 m 的取值范围是 0<m<2.


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