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高中数学选修1-2《推理与证明》单元测试卷[1]


高二数学选修 1-2《推理与证明》测试题
班级 姓名 得分

一、选择题(10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1、与函数 y ? x 为相同函数的是 A. y ?

( D. y ? log2 2 x (



x

2

x2 B. y ?

x

C. y ? e ln x

2、下面使用类比推理正确的是 A.“若 a ? 3 ? b ? 3 ,则 a ? b ”类推出“若 a ? 0 ? b ? 0 ,则 a ? b ” B.“若 (a ? b)c ? ac ? bc ”类推出“ (a ? b)c ? ac ? bc ”



a?b a b ? ? (c≠0) ” c c c n n (ab) ? a nbn ” 类推出“ (a ? b) ? a n ? bn ” D.“
C.“若 (a ? b)c ? ac ? bc ” 类推出“ 3、 有一段演绎推理是这样的: “直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线 b ? ? 平面 ? , 直线 a ? 平面 ? , 直线 b ∥平面 ? , 则直线 b ∥直线 a ” 的结论显然是错误的, 这是因为 ( A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 ( ) )

4、用反证法证明命题: “三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时,反设正确的是 A.假设三内角都不大于 60 度; C.假设三内角至多有一个大于 60 度;
n

B.假设三内角都大于 60 度; D.假设三内角至多有两个大于 60 度。
2

5、当 n ? 1,2,3,4,5,6 时,比较 2 和 n 的大小并猜想
n 2 A. n ? 1 时, 2 ? n n 2 C. n ? 4 时, 2 ? n n 2 B. n ? 3 时, 2 ? n n 2 D. n ? 5 时, 2 ? n





6、 已知 x, y ? R, 则" xy ? 1"是" x 2 ? y 2 ? 1" 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

( D.既不充分也不必要条件 1 0.5 2 1 a b



7、在右面的表格中,每格填上一个数字后,使每一行成等差数 列,每一列成等比数列,则 a+b+c 的值是 A. 1 B. 2 C.3 D.4 ( )

8、 对“a,b,c 是不全相等的正数” ,给出两个判断: ① (a ? b) ? (b ? c) ? (c ? a) ? 0 ;
2 2 2

c

② a ? b, b ? c, c ? a 不能同时成立,
1

下列说法正确的是 A.①对②错 B.①错②对 C.①对②对 D.①错②错





9、设 a, b, c 三数成等比数列,而 x, y 分别为 a , b 和 b, c 的等差中项,则 A. 1 B. 2 C. 3 D.不确定

a c ? ? x y





?x 10、 定义运算 : x ? y ? ? ?y
A. x ? y ? y ? x C. ( x ? y)2 ? x2 ? y 2

( x ? y) 的是 例如3 ? 4 ? 4, 则下列等式不能成立 .... ( x ? y),
B. ( x ? y) ? z ? x ? ( y ? z ) D. c ? ( x ? y) ? (c ? x) ? (c ? y) (其中 c ? 0 )





二、填空题(4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11、 一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●?若将此若干 个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前 120 个圈中的●的个是 。

12、 类比平面几何中的勾股定理:若直角三角形 ABC 中的两边 AB、AC 互相垂直,则三角形三边长
2 2 2 之间满足关系: AB ? AC ? BC 。若三棱锥 A-BCD 的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两互相垂

直,则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为

.

13、从 1 ? 1 , 1 ? 4 ? ?(1 ? 2) , 1 ? 4 ? 9 ? 1 ? 2 ? 3 , 1 ? 4 ? 9 ? 16 ? ?(1 ? 2 ? 3 ? 4) ,?,推广到 第 n 个等式为_________________________. 14、已知 a1 ? 3 , an ?1 ?

3an ,试通过计算 a2 , a3 , a4 , a5 的值,推测出 an =___________. an ? 3
cos 2 A cos 2 B 1 1 ? ? 2 ? 2 。 2 2 a b a b

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、在△ABC 中,证明:

2

16、设 a, b, x, y ? R ,且 a ? b ? 1 , x 2 ? y 2 ? 1 ,试证: ax ? by ? 1 。
2 2

17、已知 x,y∈R ,且 x+y>2,求证:

+

1? x 1? y 中至少有一个小于 2。 与 y x

18、用反证法证明:如果 x ?

1 2 ,那么 x ? 2 x ? 1 ? 0 。 2

3

19、已知: sin 30 ? sin 90 ? sin 150 ?
2 ? 2 ? 2 ?

3 2 3 sin 2 5 ? ? sin 2 65 ? ? sin 2 125 ? ? 2 通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题: 3 2

_____________________________________________________= 并给出( * )式的证明。

( * )

20、已知数列 a1 , a 2 , ? , a30 ,其中 a1 , a 2 , ? , a10 是首项为 1,公差为 1 的等差数列; a10 , a11 , ? , a 20 是公差为 d 的等差数列; a 20 , a 21 , ? , a30 是公差为 d 2 的等差数列( d ? 0 ). (1)若 a 20 ? 40 ,求 d ; (2)试写出 a 30 关于 d 的关系式,并求 a 30 的取值范围; (3)续写已知数列,使得 a30 , a31 , ? , a 40 是公差为 d 3 的等差数列,??,依次类推,把已知数 列推广为无穷数列. 提出同(2)类似的问题( (2)应当作为特例) ,并进行研究,你能得 到什么样的结论?

4

高二数学选修 1-2《推理与证明》测试题答案提示
1——10、

DCABD

BAABC

11、____14__________ 12、 S ?BCD ? S ?ABC ? S ?ACD ? S ?ABD
2 2 2

2

2

2

2

13、 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? (?1) n?1 ? n 2 ? (?1) n?1 ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n) 14、________

3 ______ n

15、证明:

cos 2 A cos 2 B 1 ? 2 sin 2 A 1 ? 2 sin 2 B ? ? ? a2 b2 a2 b2

?

? sin 2 A sin 2 B ? 1 1 ? ? ? 2 ? a2 ? b2 ? ? a2 b2 ? ?

由正弦定理得:

sin 2 A sin 2 B ? a2 b2

?

cos 2 A cos 2 B 1 1 ? ? 2 ? 2 2 2 a b a b
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

16、证明: 1 ? (a ? b )(x ? y ) ? a x ? a y ? b x ? b y

? a 2 x 2 ? 2aybx? b 2 y 2 ? (ax ? by) 2
故 ax ? by ? 1 17、证明:(反证法):假设

1? y 1? x 1? y 1? x 与 均不小于 2,即 ≥2, ≥2, x y x y

∴1+x≥2y,1+y≥2x。将两式相加得:x+y≤2,与已知 x+y>2 矛盾, 故
1? x 1? y 与 中至少有一个小于 2。 y x
2

18、假设 x ? 2 x ? 1 ? 0 ,则 x ? ?1 ? 2 .容易看出 ? 1 ? 要证: ? 1 ? 2 ?

2?

1 1 ,下面证明 ? 1 ? 2 ? 。 2 2

1 3 9 , 只需证: 2 ? , 只需证: 2 ? 2 2 4 1 上式显然成立,故有 ? 1 ? 2 ? 。 2 1 1 综上, x ? ?1 ? 2 ? 。而这与已知条件 x ? 相矛盾, 2 2
因此假设不成立,也即原命题成立。

5

19、一般形式: sin ? ? sin (? ? 60 ) ? sin (? ? 120 ) ?
2 2 ? 2 ?

3 ???????? 5 分 2

证明 =

左边 =

1 ? cos 2? 1 ? cos(2? ? 120? ) 1 ? cos(2? ? 240? ) ? ? ?? 9 分 2 2 2

3 1 ? [cos 2? ? cos( 2? ? 120 ? ) ? cos( 2? ? 240 ? )] 2 2 3 1 ? [cos 2? ? cos 2? cos 120 ? ? sin 2? sin 120 ? ? cos 2 cos 240 ? ? = 2 2

sin 2? sin 240? ] ???????????????????????
= =
3 1 1 3 1 3 ? [cos2? ? cos 2? ? sin 2? ? cos 2? ? sin 2? ] ??? 18 分 2 2 2 2 2 2

15 分

3 ? 右边 2 ∴原式得证??????????????????????????? 20 分 3 (将一般形式写成 sin 2 (? ? 60 ) ? sin 2 ? ? sin 2 (? ? 60 ) ? , 2 3 sin 2 (? ? 240? ) ? sin 2 (? ? 120? ) ? sin 2 ? ? 等均正确,其证明过程可参照给分。 ) 2
20、解: (1) a10 ? 10. a 20 ? 10 ? 10d ? 40, ? d ? 3 . (2) a30 ? a20 ? 10d 2 ? 10 1 ? d ? d 2

?

?

(d ? 0) ,

a 30

2 ?? 1? 3? ? 10? ? d ? ? ? ? , 2? 4? ? ?? ?

当 d ? ( ? ?, 0 ) ? ( 0, ? ? ) 时, a30 ?? 7.5, ? ? ? . (3)所给数列可推广为无穷数列 ? a n ? ,其中 a1 , a 2 , ? , a10 是首项为 1,公差为 1 的 等差数列,当 n ? 1 时,数列 a10n , a10n?1 , ?, a10 ( n?1) 是公差为 d n 的等差数列. 研究的问题可以是: 试写出 a10 ( n?1) 关于 d 的关系式,并求 a10 ( n?1) 的取值范围. 研究的结论可以是:由 a40 ? a30 ? 10d 3 ? 10 1 ? d ? d 2 ? d 3 , 依次类推可得

?

?

a10( n?1) ? 10 1 ? d ? ? ? d

?

n

?

? 1 ? d n?1 ?10 ? , d ? 1, ?? 1? d ? d ? 1. ?10(n ? 1),

当 d ? 0 时, a10 ( n?1) 的取值范围为 ( 10, ? ? ) 等.
6


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