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2014年全国高中数学联赛加试(A卷)试题及参考答案


中学生数学 ? 2 0 1 5 年 1 月上 ? 第5 0 5 期( 高中)  

学 

2 0 1   4年 全 国 高 中 数 学 联 赛 加 试 ( A卷 )   试 题 及 参 考 答 案 


寸学

篱   赛  



( 奉越 涡

分 4 0分 ) 议 头 致 a、 b、 C’ 俩 足 a十 b  

下 面假 设 a 、 b 、 c > 0, 不妨设 n ≥6 ≥c , 则 & ≥ 

+  

. 求  

m <   + ÷ .  

÷ , o < c ≤   . 我 们 有  
口 6+  + f 口   2  

证明 1  若& b +b   +c a < - ' > / -   4, 则 命 题 已成 立 .   若n b +b f +c “ >  1 不妨设 n —ma x { n, 6 , f ) ,  


) +  (  一   )  

则 由 a + 6 + c 一 1 知 n ≥ ÷ . 我 们 有  


: f (   _ f ) +  (  一  ) .   4  
① 

÷ ≤  

由 于  
1   C

鲁  寺 >  , 且  ≤  

以 及n b + b c + c “÷  
) 一 





因此 

c ( 1 - c ) + 偷(  一  )  

1  一 ÷  
≤ ÷ 一 ÷ +   - - 一   -

一  

+  (  一  )  
②  
1  


3c 2  I  c   4 。 4

. f   。2   4 ’  

4  

其 中① 式 等 号 在 n 一了 1时成 立 ② 式 等 号 在 “  
1时 成 立 因此 ① 、 ② 中等 号不 能 同时 成 立 .  


c , Y 于是 只需 证 明  丁 3 c 2   T


4  号 2‘ +   4 … 。 ,  


3 f   一c 一2 √ f +1 >o  

① 
② 

由 于 。 b + b c + c c z 一 ÷ > o , 将 ① 、 ② 式 相 乘 得  

由于 o <  ≤  , 故  1- -C ≥o  
由平 均 不 等 式 

( 卅  一 ÷ ) 。 < 竿,   即卅 肘一 ÷ <   ,  
从 而   n 6 + 6 c + ㈨ <   + ÷ .  
证明 2   由于 a b c  ̄O , 故 a、 6 、 c中或 者 一 个 正  数, 两个负数 ; 或者三 个都是 正数. 对 于 前 一 种 情 
形, 不 妨设 a >O ,b 、 f < 0, 则 
a b+ b c +c n一 6 ( “+ c ) + c “< 6( ( z +f )一 6 ( 1  
6 ) < O,  

3 c   +   1 + ÷ ≥ 3 ( 3 c  ?   1 ? ÷ )   。 一  
> 2√ f   ③ 
将② 、 ③ 两 式 相 加 即得 ① 式 成 立 , 因此 原 不 等  式成立.  

二、 ( 本题 满 分 4 O分 ) 如图 1 , 在 锐 角 三 角 形 
ABC 中 ,   B AC≠ 6 O 。 , 过 点 B、 C 分 别 作  角 形  ABC 的外 接 圆 的 切 线 BD、 C E, 且 满 足 BD— C E 


BC. 直线 DE 与 AB、 AC 的 延 长 线 分 别 交 于 点 

F、 G. 设 C F 与 BD 交 于 点 M , C E 与 BG 交 于 点 
N. 证明 : AM — AN.  

结 诊 品 铁  寺 

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中学生数学 ? 2 0 1 5年 1月上 ? 第5 0 5期 ( 高中)  

设 三角 形 ABC 的 三 内角 分 别 为 A、 B、 C, 三  条边长分别 为 B C=n , C A—b , AB—C ,  
D 由 △DFB∽ △AB c 有  _ FD一 B 


U  、 _ , :  
绨   枷—  



詈,  

可得
图 1   图 2  

FD= _ a c
.  

由B C fF D, 可 得  B M  一而 B C一_ b

,  

篱   赛  
_ 

证明 1   如图 2 , 设 两 条 切 线 BD、 C E 交 于 点 

喇  舯  

K, 则B K=C K. 结合 B D=C E 可 知 DE/ / B C . 作 
BAC 的 平 分 线 AL 交 BC 于 点 L, 连 接 LM 、  
I   N.  

故 由 BD= a可 得

BM = 

① 

在 三 角 形 AB M 中,   AB M = B+A, 由余 弦 
定 理 得 

富 

由D E/ / B C知 ,   AB C一/DF B,   F D B一  
DBC一   B AC, 故 △ABC与 △ DFB相 似 .  
A  +  一  c o s( A+ B)  

由此并结合 DE / / B C , B D—B C及 内角平 分 
线 定 理 可 得 
M C  BC  BD  A C  LC 
一  

蒜 +   2 a b c ? 百 a z + b z - c z  
[ c   ( 6 +c )  + a 2 b 。 +c ( a 。 +6   一C 2 ) ( 6 +c ) ]  
1  


M F  FD  FD  AB  LB ’  

因此

L M/ / B F .  

同理 , L ~/ / C G . 由此 推 出  
Al L M 一 / ALB 4 -   BLM  
一  


1  
 

  6 2  + 2 b f 3 + C 4 +  b 。 +  
b c 3 一c 4 )  

ALB +  A  BL  


口 0   +口 0   c 2 +6 0   c +6 0 f  

一 1 8 O。 一 / BAL 

=1 8 O 。 一 / CAL 
一  

亡 ( 2 b   f 。 + b c 。 + b 。 c + &   b 。 +  
a   c 2 十a 2 b c )   ② 

A LC+   A CL 
A LC+   CLN 
Al , N.  

用同样方法计算 C N 和 AN  2时 , 只 需 在 上 述 
BM 与 AM 的 表 达 式 ① 、 ② 中将 b 、 C交 换 . 而 由  ② 可 见 AM2的 表 达式 关 于 b 、 c 对称, 因此 AN0 一  AM0 , 即 AM =AN, 结论获证 .  
三、 ( 本题 满分 5 0分 ) 设 S= { 1 , 2, 3 , …,  



 



 

再结合 B C/ /F G 以及 内 角平 分 线 定 理 得 到 
I , M   LM   BF  CG  cL  A B  BC  LN  BF   CG  l   N  BC  AC  BL 
CL  A B  .  

1 0 0 ) . 求 最 大 的 整数 k , 使 得 S有 k个 互 不 相 同 的  非 空子 集 , 具有性 质 : 对 这 k个 子 集 中任 意 两 个 不 



’ —C。 l A ’  

即  LM : LN .  

同 子集 , 若 它们 的 交 非 空 , 则 它 们 交 集 中 的最 小 元 
素 与 这 两 个 子 集 中的 最 大 元 素 均 不 相 同.  
解  对 有 限 非 空 实 数 集 A, 用 mi n   A 与 

故 由 AL— AL,   ALM =   AL~ , L M = LN 

得 到△ AL M 与 △AL ~ 全等 , 因 而 AM = A_ N, 证 
毕.  

寸 

ma x   A分 别 表 示 A 的 最 小 元 素 与 最 大 元 素 . 考 虑 
证明 2   由于 BD 和 EC都 是 三 角 形 ABC 的  S的所 有 包 含 1且 至 少 有 两 个 元 素 的 子 集 , 一 共 

外接圆 的切 线 , 故  DBC一  BAC一  EC B. 再 

2 9 9 —1个 , 它们 显 然 满 足 要 求 , 因 为 mi n ( Ai nAi )  


由B D—C E, 可 得 四边形 B C ED 是 等 腰 梯 形 , 从 

1 < ma x   A  . 故 k m  ≥ 2 0 0 —1 .   下面证 明 是 ≥2 ∞时 不 存 在 满 足 要 求 的 k个 子 

而 DE / / B C .  
由 于  BFD 一  ABC,   FDB 一  DBC 一 

集. 我们用数学归纳法证 明 : 对 整 数 ≥ 3 , 在 集 合  { 1 , 2 , …,  ) 的 任 意  ( ≥2 - 一1 ) 个 不 同 非 空 子 集 

B AC, 故 △ DF Bo o △ AB C.  

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中学生数学 ? 2 0 1 5年 1月上 ? 第5 0 5期 ( 高中)  

A】 、 A2 、 …、 A   中, 存 在 两个 子 集 A  、 Aj ,i = / = j , 满 
足 

若 不然 , 我们有 x i +y i —x i     I k+ . Y i 4   k( mo d  
4 k ) ,   +y i 十 k 三 三 三  f _  + 3   i ( mo d   4 k ) , 两 式 相 加 可 

寸学

A  nA   ≠  ,目 . mi n ( A  nAj ) 一 ma x   Ai ①  显 然 只 需 对 m一 2   1 的情形证明上述结论.  

得 2 x , ; 2 : c i + k( mo d   4 k ) ,于 是 3 2 "  

+  ( oo r d  

2 k ) , 但 . 2 7 1   2 , …, z 2 。 L 4 模 2 0 1 4 ( 一2 k ) 瓦 不 同余 ,   特别地 , x i ≠5 F i   ( mo d   2 k ) , 矛盾.   由上述 构造 方 法知 2 l , z 2 , …, Z 2 k 是 Yl ,  2 ,  


篱  
酣  

”   3时 , 将{ 1 , 2 , 3 } 的 全 部 7个 非 空 子 集  分 成 3组 , 第一 组 : { 3 } , { 1 , 3 } , { 2 , 3 } ; 第 二组 :  

2 } , { 1 , 2 } ; 第  组 : f   1 } , { 1 , 2 , 3 } . 由抽 屉 原 理 , 任  意 4个非 空 子 集 必 有 两 个 在 同 一 组 中 , 取 同 组 巾 
的两个子 集 分 别记 为 A   、 Ai ,排 在 前 面 的 记 为  A   , 则满足①.   假 设 结 论 在  ( ≥3 ) 时成立 , 考虑 ” + 1的情  彤. 若 A1 、 A2 、 …、 A2  巾至少有 2 一  个 子 集 不 含  +t , 对其 中的 2  
在两个子集满足①.  

,  2  的排 列 . 记 wi 一 ̄ c i +z i , i 一1 , 2, …, 2 走 . 下 

面验 证  l , w2 , …, W2 k 模 4 壶互不 同余 . 这 只需 证 

明, 对任 意 整数 i 、 J ,1 ≤  < ≤ k, 叫  、 wj 、 训  { k 、   训   }  模 4 是两 两 不 同余 
注意 , 前 面 的 构造 方式 已保 证 
叫  ≠ 硼  + k ( mo d   4 k ) ,wj ≠ 训  } k ( oo r d   4 k )  
(* * )  

r*)  

个 子集用 归纳假 设 , 可 知 存 

情形 一: z i —y i ,   z j —y J . 则 由 前 面 的 构 造 

若 至多 有 2  1 一1个 子 集 不 含  十1 , 则 至 少 
有 2   + 1个 子 集 含  + 1 , 将其 中 2 —1 + 1子 集  + 1个 子  都 去 掉 ”+1 , 得到{ 1 , 2 , …, , z } 的 2  
集.  

方 式 可 知 
Z L ' i i  Z U i @k ; 2 i( oo r d   2 k ) ,  
( mo d   2 k) .  

wj   三; 2 j  

由于 2   ≠2 j( mo d   2 k ) , 故 易 知 

与" c o   +   模 

由于 { 1 , 2 , …, n } 的全体 子集可分 成 2 ”   组,  
每组两个子集 互 补 , 故 由抽 屉原 理 , 在上 述 2 ” 一  

2  不 同余 , 7 . L ' i @ k 与 Wj及 训  k 模 2 走不 同余 , 从 而  模4 是更 不 同余 , 再 结 合 (* *) 可 见 (*) 得  .   情形二 : Z i —y i + k , 且  一 Y j + k . 则 由 前 面 的 
构 造 方 式 可 知 
Z u i  ̄7 2 Y i +k   2   +是( oo r d   2 k ),wj  
+ k( mo d   2 是) .  

+1个 子 集 中 一 一 定有 两个 属于 同一组 , 即 互 为 补 
集.   此, 相应地有两个子集 A   、 A, , 满 足 A。 nAi  


{  +1 } , 这 两个 集 合 显 然 满 足 ① . 故  + 1时 结 

} k -2 = j  

论成立.  

综上所述 , 所求 k  。   一2   9  

.  

同样 有 叫 与 叫i及 
(*) 得证.  

女 模 2 是不 同余 , 叫 

四、 ( 本题满分 5 0分 ) 没 整 数  l ,  2 , ….  2 ( ) l   4  

与 议, ,及 Wj +k 模 2 走不 同余 . 与 情 彤 一 相 同 地 可 知 

模2 O 1 4互 不 同 余 , 整数 y l , y 2 , …, y 2 0 1   4 模 2 Q 1 4  
也 互 不 同余 。 证明 : 可将  1 , y z , …, y z o l   l 重 新 排 列 
为 2 1 , z 2 , …z 2 【 ) l 4 , 使 得 Xl + l , X 2 +z 2 , …, . 2 " 2 0 1   4  

情形 三: Z i —Y i , 且 z j —Y J 十 k ( Z i —y i + k , H  一Y J的 情 形 与 此 相 同 ) . 则 m 前 面 的 构 造 方 式 可 
知 

+Z 2 [ J 1 4 模4 0 2 8互 不 同余 .  
证 明  记 k一 1 0 0 7 .不 妨 设   Y  ; i  

训  _ _Z U i +k -- 2 i( mo d   2 k) ,  
( mod   2 k) .  

。 三 wj +  i 2  + 

( mo d   2 k ) , l ≤  ≤2 k . 对 每 个整 数 i , 1 ≤  ≤k , 若 

卜   ≠  +  + 

( mo d   4 k ) , 贝 0 令z i _ - y l , Z i  ̄k — 

由于 志是 奇 数 , 故 2   ≠2   +k ( oo r d   2 ) , 更有 2   z  

; 否则 , 令 z i —y i + k , z i + k —y i ,  

≠2  +志 ( mo d   2 k ) , 闪此 仍 然 有 7 . u i 与 

及 训i  

如果是前一种情形 , 则 
X i +Z i —X i +Y i ≠ . 1 7 i +^ +y i _ _  一 c r i  ̄ 女 +  1 ^  
( mo d   4 k );  

模2 走 不 同余 , 训   +   与 叫J 及  + k 模2 走 不 同余 . 从 
而( *) 得证.  

因此 本 题 得 证 .  

如果是后一种情形 , 则 也 有 
x i +z i 一. T i +y i 4  ≠ 2 C i + k +y i 一2 C i -   k +z i +  
( mo d   4 k ) .  

( 中国数 学会 普 及工作委 员会提 供)  

[ x  ̄ ] J i : k :z x s s . c b p t . c n k i . n e t

? ?

3 0 ? ? 电 子 m   箱 :   @ 。   i   。   - .   。 t .  


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