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2015届高考数学总复习第五章 第五节数列的求和精讲课件 文


第五章 第五节 数列的求和 分组后,可用公式求和 【例1】 求和: (1)Sn=1+11+111+ ; (2)Sn= ; (3)求数列1,3+4,5+6+7,7+8+9+10,…的前n项和Sn. 思路点拨:通过分组,直接用公式求和. 自主解答: ∴Sn= [(10-1)+(102-1)+…+(10n-1)] = [(10+102+…+10n)-n] = = { 解析:(1)∵ak=11…1=1+10+102+…+10k-1=(10k-1), k个1 ①当x≠±1时, ②当x=±1时,Sn=4n. (3)∵ak=(2k-1)+2k+(2k+1)+…+[(2k-1)+(k-1)] ∴Sn=a1+a2+…+an= 点评:通过对原数列通项结构特点的分析研究,将数列分 解为若干个能求和的新数列的和或差,从而求得原数列的 和.使用这种方法的关键是对通项的合理分解变形. 变式探究 1.求和:Sn= 错位相减法求和 【例 2】 (2013· 惠州第三次调研 ) 已知向量 p = (an,2n) , q = (2n+1,-an+1),n∈N*,向量p与q垂直,且a1=1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足bn=log2an+1,求数列{anbn}的前n项和Sn. 思路点拨: (1) 由向量 p 与 q 垂直,得 2nan + 1 = 2n + 1an , ∴{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,利用等比数列的 通项公式可求an. (2) 由 an· bn = n· 2n - 1 ,则 Sn = 1 + 2×2 + 3×22 + … + (n - 1)×2n-2+n×2n-1,利用错位相减法可求其和. 自主解答: 解析:(1)因为向量p与q垂直,所以2nan+1-2n+1an=0, 即2nan+1=2n+1an, 所以 =2,所以{an}是以1为首项,2为公比的等比数列, 所以an=2n-1. (2)因为bn=log2an+1,所以bn=n, 所以an· bn=n· 2n-1, 所以Sn=1+2×2+3×22+…+(n-1)×2n-2+n×2n-1① 所以2Sn=1×2+2×22+…(n-1)×2n-1+n×2n② 由①-②得,-Sn=1+2+22+…+2n-1-n×2n=2· -n· 2n+1=(1-n)2n-1, 所以Sn=1+(n-1)· 2n. 点评: (1) 如果数列 {an} 是等差数列, {bn} 是等比数列,就使 用错位相减法求数列{an· bn}的前n项和. (2)“错位相减”的本质是“指数相同的两式相减”,因此在写 出“ Sn” 和“ qSn” 的表达式后,将两式“指数相同的两项对 齐”,以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式. 变式探究 2.(2012· 武汉武昌区调研改编)已知数列{an}满足a1=2,an+1 =3an+3n+1-2n(n∈N*). (1)设bn= ,证明:数列{bn}为等差数列,并求数列 {an}的通项公式; (2)求数列{an}的前n项和Sn. (1)证明:∵bn+1-bn= ∴{bn}为等差数列.又b1=0,∴bn=n-1. ∴an=(n-1)· 3n+2n. (2)解析:设Tn=0· 31+1· 32+…+(n-1)· 3n,则 3Tn=0· 32+1· 33+…+(n-1)· 3n+1. ∴-2Tn=32+…+3n-(n-1)· 3n+1 裂项相消法求和 【例 3】 数列. (2013· 四川内江


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