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2014年普通高等学校招生全国统一考试江西卷(数学理)


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)
数 学 (理工类)

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1. z 是 z 的共轭复数. 若 z ? z ? 2 , ( ( z ? z )i ? 2 ( i 为虚数单位) ,则 z ? ( )

/>第一节 1 ? i 【答案】D 【解析】

B. ? 1 ? i

C. ? 1 ? i

D. 1 ? i

Q Z ? Z ? 2, Z ? a ? bi (a, b ? R ) ?a ? 1 Q Z ?Z i ? Z ??2b ? 2 ? b ? ?1 ? Z ? 1? i
所以选 D。 2. 函数 f ( x) ? ln(x 2 ? x) 的定义域为( 第二节 (0,1) 【答案】C 【解析】 B. [0,1] ) D. (??,0] ? [1,??)

?

?

C. (??,0) ? (1,??)

Q x2 ? x ? 0 ? x ? 1或x ? 0
所以选 C.
| x| 2 3. 已知函数 f ( x) ? 5 , g ( x) ? ax ? x(a ? R) ,若 f [ g (1)] ? 1 ,则 a ? (



第三节 1 【答案】A 【解析】

B. 2

C. 3

D. -1

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Q f ? g ? x ? ? ? 1 ? 50 ? g ?1? ? 0 ? a ?1 ? 0 ?a ?1
所以选 A。

第四节 在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对应的边分别为 a, b, c, ,若 c ? (a ? b) ? 6, C ?
2 2

?
3

, 则 ?ABC 的面

积( A.3 【答案】C 【解析】

) B.

9 3 2

C.

3 3 2

D. 3 3

Q c2 ? ? a ? b ? ? b
2

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? b Q a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab cos C ? ab ? 2ab ? b ? ab ? ab ? 6 ?S ? 1 1 3 3 3 ab cos C ? gbg ? 2 2 2 2

所以选 C。

第五节 一几何体的直观图如右图,下列给出的四个俯视图中正确的是(



【答案】B 【解析】俯视图为在底面上的投影,易知选:B 第六节 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量之间的关系,随机抽查 52 名中学 生,得到统计数据如表 1 至表 4,泽宇性别有关联的可能性最大的变量是(
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A.成绩 【答案】D

B.视力

C.智商

D.阅读量

【解析】根据独立性检验相关分析知,阅读量与性别相关数据较大,选 D 第七节 阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为( )

A.7

B.9

C.10

D.11

【答案】B 【解析】

1 3 5 7 9 1 S ? 0 ? lg ? lg ? lg ? lg ? lg ? lg ? ?1 ,? i ? 9 ,选 B 3 5 7 9 11 11
2

8.若 f ( x ) ? x ? 2 A. ? 1 B. ?

?

1

0

f ( x)dx, 则 ? f ( x )dx ? (
0

1



1 3

C.

1 3

D.1

【答案】B 【 解
1




1



m??

1

0
1

? ?f

, x

则 d

xf (

2 ? x ) ?

x ,2

m

?

1

0

f ( x)dx ? ? x 2 ? 2 ? f ( x) dx dx ?
0 0

?

?

1 3 1 1 x ? 2mx ? ? 2m ? m ,所以 m ? ? . 3 3 3 0

9.在平面直角坐标系中,A, B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点, 若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2 x ? y ? 4 ? 0 相 切,则圆 C 面积的最小值为( A. ? 【答案】A 【解析】原点 O 到直线 2 x ? y ? 4 ? 0 的距离为 d ,则 d ? ) D. ?

4 5

B. ?

3 4

C. (6 ? 2 5)?

5 4

4 ,点 C 到直线 2 x ? y ? 4 ? 0 的距离是圆 5

的半径 r ,由题意知 C 是 AB 的中点,又以斜边为直径的圆过三个顶点,则在直角 ?AOB 中三角形中,圆

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C 过原点 O ,即 | OC |? r ,圆 C 的轨迹为抛物线, O 为焦点, l 为准线,所以 rm i n ? ? 2

d

2 , 5

S min ? ?r 2 ?

4? ,所以选 A。 5

第八节 如右图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB =11, AD =7, AA1 =12,一质点从顶点 A 射 向点 E ? 4, ,将 i ? 1 次到第 i 次反射点之间的 312 , ? ,遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理) 线段记为 Li ? i ? 2,3,4? , L1 ? AE ,将线段 L1 , L2 , L3 , L4 竖直放置在同一水平线上,则大致的图 形是( )

【答案】C 【 解 析 】 A(0,0,0),E(4,3,12), E1 (8,6,0), E2 (
2

28 25 ,7,4), E3 (11, ,9), AE ? 42 ? 32 ? 122 ? 13 , 3 4

13 ?4? EE1 ? 4 ? 3 ? 5 , E1E2 ? ? ? ? 12 ? 4 2 ? , 3 ? 3?
2 2

65 ? 5? ? 5? E2 E3 ? ? ? ? ? ? ? 52 ? ? E1E2 12 ? 3? ? 4 ?

2

2

…… 二.选做题:请考生在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按所做的第一题评阅计分,本题共 5 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
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11(1).(不等式选做题)对任意 x, y ? R , x ?1 ? x ? y ?1 ? y ? 1 的最小值为( ) A. 1 【答案】B 【解析】 | x ?1| ? | x | ? | y ?1| ? | y ? 1 ?| x ?1 ? x | ? | y ?1 ? ? y ? 1? |? 1 ? 2 ? 3 B. 2 C. 3 D. 4

11(2).(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 则线段 y ? 1 ? x ? 0 ? x ? 1? 的极坐标为( ) 第九节 ? ?

1 ? ,0 ?? ? cos ? ? sin ? 2

B. ? ?

C. ? ? cos ? ? sin ? , 0 ? ? ? 【答案】A 【解析】 Q y ? 1 ? x ? 0 ? x ? 1?

?

1 ? ,0 ?? ? cos ? ? sin ? 4

2

D. ? ? cos ? ? sin ? , 0 ? ? ?

?

4

? ? sin ? ? 1 ? ? cos ? ? 0 ? ? cos? ? 1?
?? ?
所以选 A。 第十节 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 12.10 件产品中有 7 件正品,3 件次品,从中任取 4 件,则恰好取到 1 件次品的概率是________. 【答案】 【解析】

1 ?? ? ?0 ?? ? ? sin ? ? cos ? ? 2?

1 2

QP?

1 3 C3 C7 1 ? 4 C10 2
?x

13.若曲线 y ? e 上点 P 处的切线平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0 ,则点 P 的坐标是________. 【答案】 ? ? ln 2, 2? 【解析】

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Q y ? e? x ? y ' ? ?e ? x 设P ? x0 , y0 ? ??e ? x0 ? ?2 ? e ? x0 ? 2 Q y0 ? e? x0 ? 2 ? P(? ln 2, 2)
第十一节 已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 ? , 且 cos ? ?

1 , 向量 a ? 3e1 ? 2e2 与 b ? 3e1 ? e2 的夹角为 3

? ,则 cos ? =
【答案】 【解析】

2 2 3

rr ab Q cos ? ? r r a b r2 1 a ? 9 ? 4 ? 2 ? 3? 2 ? ? 9 3 r 1 b ? 9 ? 1 ? 2 ? 3 ? 1? ? 8 3 rr 1 ab ? 9 ? 2 ? 9 ? 1? 1? ? 8 3 ? cos ? ? 8 2 2 ? 3 3? 2 2

1 x2 y 2 15.过点 M (1,1) 作斜率为 ? 的直线与椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A, B ,若 M 是线段 AB 的 2 a b
中点,则椭圆 C 的离心率为 【答案】 【解析】

2 2

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设A ? x1 , y1 ? B ? x2 , y2 ? x12 y12 则 2 ? 2 ?1 a b 2 2 x2 y ? 22 ? 1 2 a b ? x ? x ?? x ? x ? ? y ? y ?? y ? y ? ? 1 2 2 1 2 ? 1 2 2 1 2 ?0 a b 1 ? ?2 2 ? 2 ? 22 ? 0 a b 2 ? a ? 2b 2 ?e ? 2 2

三.简答题 16.已知函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? a cos( x ? 2? ) ,其中 a ? R, ? ? ( ? (1)当 a ?

? ?

2, ? ?

?
4

, ) 2 2

时,求 f ( x ) 在区间 [0, ? ] 上的最大值与最小值;

(2)若 f ( ) ? 0, f (? ) ? 1 ,求 a , ? 的值.

?

2

【解析】 (1)

a ? 2, ? ?

?
4

,

? f ( x) ? sin( x ? ? ) ? a cos( x ? 2? ) ? sin( x ? ) ? 2 cos( x ? ) 4 2

?

?

2 2 sin x ? cos x ? 2 sin x 2 2 2 2 ……………………………………………………………3 分 ? cos x ? sin x 2 2 ?? ? ? cos ? x ? ? 4? ? ? ? 5? 又 0 ? x ? ? ,? ? x ? ? …………………………………………………………4 分 4 4 4 ?
??1 ? f ? x ? ? 2 2 2 ;……………………………………………………………6 分 2

? f min ? x ? ? ?1, f max ? x ? ?
(2)

f ( ) ? sin( ? ? ) ? a cos( ? 2? ) ? cos ? ? a sin 2? ? cos ? ? a 2sin ? cos ? ? 0 2 2 2

?

?

?

又 ? ? (?

? ?

, ) ,? cos ? ? 0,? 2a sin ? ? 1 …………………………………………7 分 2 2
第 7 页 共 7 页

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f (? ) ? sin(? ? ? ) ? a cos(? ? 2? ) ? ? sin ? ? a cos 2? ? 1
?? sin ? ? a ?1 ? 2sin 2 ? ? ? 1

?? sin ? ? a ? 2a sin 2 ? ? 1 ,…………………………………………8 分
? a ? ?1 …………………………………………10 分

? sin ? ? ?

1 ? ? ? ,又 ? ? (? , ) ,所以 ? ? ? ………………12 分 2 2 2 6

17、 (本小题满分 12 分) 已知首项都是 1 的两个数列 第一节 令 第二节 若 ,求数列 ,求数列 ( 的通项公式; 的前 n 项和 . ) ,满足 .

【解析】(1) an bn ?1 ? an ?1bn ? 2bn ?1bn ? 0, bn ? 0 同时除以 bn ?1bn ,得到
? an an ?1 ? ? 2 ? 0 ……………………………………………………2 分 bn bn ?1

an ?1 an ? ? 2 即: cn ?1 ? cn ? 2 ……………………………………………………3 分 bn ?1 bn a1 ? 1 ,公差为 2 的等差数列…………………………………4 分 b1

所以, ?cn ? 是首项为

所以, cn ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 ……………………………………………………5 分 (2)
cn ? an ? 2n ? 1 , ? an ? ? 2n ? 1? 3n ?1 ………………………………………6 分 bn

? Sn ? 1? 32 ? 3 ? 33 ? 5 ? 34 ? ?3Sn ? 1? 33 ? 3 ? 34 ? 5 ? 35 ?

? ? 2n ? 3? ? 3n ? ? 2n ? 1? ? 3n ?1 ? ? 2n ? 3? ? 3n?1 ? ? 2n ? 1? ? 3n? 2 ………………………9 分

两式相减得:
?2Sn ? 32 ? 2 ? ?33 ? 34 ? ? 3n?1 ? ? ? 2n ?1? ? 3n?2 ? ?18 ? ? 2n ? 2? ? 3n?2 …………………11 分

? Sn ? 9 ? ? n ? 1? ? 3n ? 2 …………………12 分

18、 (本小题满分 12 分) 已知函数 第一节 当 第二节 若 时,求 在区间 的极值; 上单调递增,求 b 的取值范围. .

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第 8 页 共 8 页

【解析】1)当 b=2 时, f ? x ? = ? x+2 ?

2

1? ? 1-2x 的定义域为 ? -?, ? 2? ?

f ' ? x ? ? 2 ? x ? 2? 1 ? 2x ? ? x ? 2?
令 f ' ? x ? ? 0 ,解得 x1 ? ?2, x2 ? 0 当 x ? ?2和0<x<

2

?5x ? x ? 2 ? 1 1 ? ?2? ? 2 1 ? 2x 1 ? 2x

1 ? 1? 时, f ' ? x ? ? 0 ,所以 f ( x ) 在 ? ??, ?2 ? ,? 0, ? 上单调递减; 2 ? 2?

当 ?2<x<

1 1? ? 时, f ' ? x ? ? 0 ,所以 f ( x ) 在 ? ?2, ? 上单调递增; 2 2? ? 1 时, f ( x ) 取得极大值 f (0) ? 4 。 2 ? 1? ? 1? 第三节 f ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递增 ? f ' ? x ? ? 0, 且不恒等于 0 对 x ? ? 0, ? 恒成 ? 3? ? 3?

所以,当 x ? ?2 时, f ( x ) 取得极小值 f (?2) ? 0 ;当 x ?

立……………………7 分

f ' ? x ? ? ? 2 x ? b ? 1 ? 2 x ? ? x 2 ? bx ? b ?

1 1 ?5x 2 ? 2 x ? 3bx ? ?2 ? ? 2 1? 2x 1? 2x

??5 x 2 ? 3bx ? 2 x ? 0 ……………………………………8 分

? 2 ? 5x ? ?b ? ? ? ……………………………………10 分 ? 3 ?min

1 2 ? 5? 2 ? 5x 3 ? 1 ……………………………………11 分 ? 3 3 9 1 ? b ? ……………………………………12 分 9

19(本小题满分12分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, ABCD 为矩形,平面 PAD ? 平面 ABCD . 第四节 第五节 求证: AB ? PD; 若 ?BPC ? 90? , PB ? 2, PC ? 2, 问 AB 为何值时,四棱锥 P ? ABCD 的体积最大?并求

此时平面 PBC 与平面 DPC 夹角的余弦值.

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【解析】 解: (1) Q 面 PAD ? 面 ABCD ,面 PAD ? 面 ABCD = AD , AB ? AD

? AB ? 面 ABCD ……………………………………2 分
又 Q PD ? 面 ABCD ……………………………………3 分

? AB ? PD ……………………………………4 分
第六节 过 P 作 PO ? AD ,由(1)有 PO ? 面 ABCD, 作 OM ? BC ,连接 PM,作 PM ? BC ……………………………………5 分 设 AB=x.

1 1 1 4 2 1 VP? ABCD ? ? OP ? S ABCD ? ? OP ? AB ? BC ? ? x gxg 6 ? 8x 2 ? 6 x 4 …7 分 3 3 3 3 3

?当 x 2 ?

2 6 2 6 即x? 时, Vmax ? ……………………………………9 分 3 3 9

如图建立空间直角坐标系, P ? 0, 0,

? ? ?

? 6? 6 ? , M ? 0, ? ? 3 ,0? ?, 3 ? ? ? ?

? 6 6 ? C? ? ? 3 , 3 ,0? ? ? ?

? ? 6 D? ? , 0, 0 ? ? 3 ?, ? ?

uuur ? r ? r ? ? 6 6 ? uuu 6 6 6 ? uuu 6 0, , ? , , ? , 0, 0 ? , PC ? ? ? , MC ? ? ? ? PM ? ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? ? ? 3 3 ? 3 ? uuu r ? r ? 6 6 ? uuu 6 ? PD ? ? ? , 0, ? , DC ? ? 0, ? ? 3 ? 3 ,0? ? ……………………………………10 分 3 ? ? ? ? ? u r r 设面 PMC 、面 PDC 的法向量分别为 m ? ? x1 , y1 , z1 ? , n ? ? x2 , y2 , z 2 ?
2014 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 第 10 页 共 10 页

u r uuur ? mgPM ? 0 ? r uuu r ?u ? ? mgPC ? 0 r uuu r ?u mgMC ? 0 ? ?
u r

? 6 6 y1 ? z1 ? 0 ? 3 3 ? ? 6 6 ? 6 x1 ? y1 ? z1 ? 0 ?? 3 3 ? 3 ? 6 x1 ? 0 ?? ? ? 3

设 y1 ? 1 ,则 z1 ? 1,? m ? ? 0,1,1? 同理可得 m ? ?1,1,1? ……………………………………11 分

u r

u r r u r r mgn 6 cos m, n ? u r r ? 3 m n
平面 PBC 与平面 DPC 夹角的余弦值为

6 。…………………………………12 分 3

第七节 (本小题满分 13 分)

x2 2 如图,已知双曲线 Cn 2 ? y ? 1(a ? 0) 的右焦点 F , 点 A, B 分别在 C 的两条渐近线上, AF ? x 轴, a
AB ? OB, BF ∥ OA ( O 为坐标原点).
第八节 求双曲线 C 的方程; 第九节 过 C 上一点 P( x0, y0 )( y0 ? 0) 的直线 l : 于点 N ,证明点 P 在 C 上移动时,

x0 x 3 ? y0 y ? 1 与直线 AF 相交于点 M ,与直线 x ? 相交 2 2 a

MF 恒为定值,并求此定值 NF

x2 ? y2 ? 1 【答案】 (1) 3
【解析】(1)A( c,

(2)

2 3 3

c t ),B( t , ? ) a a c?t t c ?1 1 ? a ? ? ?1 且 ? a ,即 t ? , a ? 3 …………………………… 4 分 2 c?t a a c?t

x2 ? y 2 ? 1 …………………………………………………………………… 6分 即 3

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第 11 页 共 11 页

第十节 A(2,

xx 2 3 ), l : 0 ? y0 y ? 1 ,F(2,0) , 3 3

M(2,

3 x ?2 2 x0 ? 3 ),N( , 0 )………………………………………………… 9 分 2 3 y0 2 y0

?

MF ? NF

1 ?x0 ? 2? ? 2 4 4 y0

| 2 x0 ? 3 | 3 y0

2

?

2 | 2 x0 ? 3 | 3 y ? ( x0 ? 2)
2 0 2

? 3

2 | 2 x0 ? 3 | x ? 1 ? ( x0 ? 2)2 3
2 0

?

2 | 2 x0 ? 3 | 2 3 ? ? 3 | 2 x0 ? 3 | 3 3

……………………………………………………………………… 13 分

第十一节

? (满分 14 分)随机将 1, 2, ???, 2n n ? N , n ? 2 这 2n 个连续正整数分成 A,B 两组,每组 n

?

?

个数,A 组最小数为 a1 ,最大数为 a2 ;B 组最小数为 b1 ,最大数为 b1 ,记 ? ? a2 ? a1 ,? ? b1 ? b2 第十二节 第十三节 当 n ? 3 时,求 ? 的分布列和数学期望; 令 C 表示事件 ? 与? 的取值恰好相等,求事件 C 发生的概率 p ? c ? ;

对(2)中的事件 C, c 表示 C 的对立事件,判断 p ? c ? 和 p ? c ? 的大小关系,并说明理由。 【解析】 (1)随机变量 ? 的取值所有可能是:2,3,4,5

P ?? ? 5 ? ? P ?? ? 2 ? ? P ? ? ? 3? ? P ?? ? 4 ? ?

4 1 ? ; 3 C6 5 4 1 ? 3 C6 5 6 3 ? 3 C6 10 6 3 ? 3 C6 10

? 的分布列为:

?
P
所以, ? 的数学期望为

2

3

4

5

1 5

3 10

3 10

1 5

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1 3 3 1 7 E? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 5 10 10 5 2
2)事件 ? 与 ? 的取值恰好相等的基本事件:



P ?c? ? 2?

1 2 3 1 ? 1 ? C2 ? C4 ? C6 ? n C2 n

n ?2 ? C2( n ?2)

? n ? 3?

n ? 2 时,

P ?c? ? 2?

2 2 ? 2 C4 3

??? 1 P ? c? ? P? c? ? 1 ??? P c P c ? ? ? ? 3 )因为 ,所以要比较 与 的大小,实际上要比较 与 P c ? ? 2 的大小, 由 ? ? ? ?

P ?c? ? 2?

1 2 3 1 ? 1 ? C2 ? C4 ? C6 ? n C2 n

n ?2 ? C2( n ?2)

? n ? 3?

可知,

??? P ?c? ? P ? c ? 当 n ? 2 时, ? ? ??? P ?c? ? P ? c ? 当 n ? 3 时, ? ?

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