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函数的极值与导数函数的最大(小)值与导数 Word版含答案


3.3.2 函数的极值与导数函数的最大(小)值与导数
一、选择题 1.设 x0 为 f(x)的极值点,则下列说法正确的是( ) A.必有 f′(x0)=0 B.f′(x0)不存在 C.f′(x0)=0 或 f′(x0)不存在 D.f′(x0)存在但可能不为 0 2.对于可导函数,有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充

要条件 D.既不充分也不必要条件 3.函数 y=2-x2-x3 的极值情况是( ) A.有极大值,没有极小值 B.有极小值,没有极大值 C.既无极大值也无极小值 D.既有极大值也有极小值 4.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f′(x)在(a, b)内的图象如图所示,则函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小 值点( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 5.下列命题:①一个函数的极大值总比极小值大;②可导 函数导数为 0 的点不一定是极值点;③一个函数的极大值可以比最大值大;④一个函数的极值 点可在其不可导点处达到,其中正确命题的序号是( ) A.①④ B.②④ C.①② D.③④ 6.函数 y=|x-1|,下列结论中正确的是( ) A.y 有极小值 0,且 0 也是最小值 B.y 有最小值 0,但 0 不是极小值 C.y 有极小值 0,但不是最小值 D.因为 y 在 x=1 处不可导,所以 0 既非最小值也非极值 7.函数 f(x)=x(1-x2)在[0,1]上的最大值为( ) 2 3 A. 9 2 2 B. 9 3 2 C. 9 3 D. 8 )

8.已知函数 f(x)=x3-px2-qx 的图像与 x 轴切于(1,0)点,则函数 f(x)的极值是( 4 4 A.极大值为 ,极小值为 0 B.极大值为 0,极小值为 27 27 4 C.极大值为 0,极小值为- 27 4 D.极大值为- ,极小值为 0 27

9.已知函数 y=|x2-3x+2|,则( ) A.y 有极小值,但无极大值 B.y 有极小值 0,但无极大值 1 1 C.y 有极小值 0,极大值 D.y 有极大值 ,但无极大值 4 4 10.设 f(x)=x(ax2+bx+c)(a≠0)在 x=1 和 x=-1 处均有极值,则下列点中一定在 x 轴上 的是( ) A.(a,b) B.(a,c) C.(b,c) D.(a+b,c) 二、填空题

1

11.函数 y=

2x 的极大值为____________,极小值为____________. x +1
2

12.函数 y=x3-6x+a 的极大值为____________,极小值为____________. 13.函数 y=x-x3(x∈[0,2])的最小值是________. 14.已知函数 f(x)=x(x-c)2 在 x=2 处取极大值,则常数 c 的值为________. 三、解答题 15.已知函数 f(x)=x3-3x2-9x+11. (1)写出函数的递减区间; (2)讨论函数的极大值或极小值,如有试写出极值.

16.求下列函数的最值 (1)f(x)=3x-x3(- 3≤x≤3); π? ? π (2)f(x)=sin2x-x?- ≤x≤ ?. 2? ? 2

17.已知 a∈R,讨论函数 f(x)=ex(x2+ax+a+1)的极值点的个数.

1 18. (2010·江西理, 19)设函数 f(x)=lnx+ln(2-x)-ax(a>0). (提示: [ln(2-x)]′=- ) 2-x (1)当 a=1 时,求 f(x)的单调区间; 1 (2)若 f(x)在(0,1]上 的最大值为 ,求 a 的值. 2

2

3.3.2 函数的极值与导数函数的最大(小)值与导数答案
1.C 2.C 3.D 4.A 5.B 6.A 7.A 8.A 9.C 10.A 11.-1,-3 12.a+4 2 a-4 2 13.-6 14.6 15.[解析] f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3), 令 f′(x)=0,得 x1=-1,x2=3. x 变化时,f′(x)的符号变化情况及 f(x)的增减性如下表所示:

x f′(x) f(x)

(-≦,-1) + 增

-1 0 极 大 值 f(-1)

(-1,3) - 减

1 0 极 小 值 f(3)

(3,+≦) + 增

(1)由表可得函数的递减区间为(-1,3) (2)由表可得,当 x=-1 时,函数有极大值为 f(-1)=16;当 x=3 时,函数有极小值为 f(3) =-16. 16.[解析] (1)f′(x)=3-3x2=3(1-x)(1+x). 令 f′(x)=0,得 x=1 或 x=-1, ∴x=1 和 x=-1 是函数 f(x)在[- 3,3]上的两个极值点,且 f(1)=2,f(-1)=-2. 又 f(x)在区间端点的取值为 f(- 3)=0,f(3)=-18. 比较以上函数值可得 f(x)max=2,f(x)min=-18. (2)f′(x)=2cos2x-1. 1 令 f′(x)=0,得 cos2x= , 2

? π π? 又 x∈?- , ?, ? 2 2?
π π ∴2x∈[-π,π],∴2x=± ,∴x=± . 3 6

? π π? ∴函数 f(x)在?- , ?上的两个极值分别为 ? 2 2?
f? ?=

? π? ?6?

3 π ? π? 3 π - ,f?- ?=- + . 6 2 6 ? 2 6 ?

又 f(x)在区间端点的取值为 π ? π? π ? π? f? ?=- ,f?- ?= . 2 ? 2? 2 ?2? π π 比较以上函数值可得 f(x)max= ,f(x)min=- . 2 2

3

17.[解析] f′(x)=ex(x2+ax+a+1)+ex(2x+a)=ex[x2+(a+2)x+(2a+1)]. 令 f′(x)=0,所以 x2+(a+2)x+2a+1=0 . 2 2 (1)当 Δ=(a+2) -4(2a+1)=a -4a>0,即 a<0 或 a>4 时,设 有两个不同的根 x1,x2, x 不妨设 x1<x2,所以 f′(x)=e (x-x1)(x-x2).

即 f(x)有两个极值点. (2)当 Δ=0,即 a=0 或 a=4 时,设 有两个相等实根 x1,所以 f′(x)=ex(x-x1)2≥0,所以 f(x)无极值. (3)当 Δ<0,即 0<a<4 时,x2+(a+2)x+2a+1>0,所以 f′(x)>0.故 f(x)也无极值. 综上所述,当 a<0 或 a>4 时,f(x)有两个极值, 当 0≤a≤4 时 f(x)无极值. 18.[解析] 函数 f(x)的定义域为(0,2), 1 1 f′(x)= - +a, x 2-x -x2+2 (1)当 a=1 时,f′(x)= ,所以 f(x)的单调递增区间为(0, 2),单调递减区间为( 2, x(2-x) 2); (2)当 x∈(0,1]时,f′(x)= 2-2x +a>0, x(2-x)

1 即 f(x)在(0,1]上单调递增,故 f(x)在(0,1]上的最大值为 f(1)=a,因此 a= . 2

4


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