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基于断裂力学与损伤力学的岩石强度理论研究进展


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第! "卷

第! #期 $ # # "年! #月

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基于断裂力学与损伤力学的岩石强度理论研究进展 !
" 彭瑞东 ! 周宏伟 ! 鞠 谢和平!,

杨!

; ! #中国矿业大学北京校区岩石力学与分形研究所,北京 ! $ $ $ % & 四川大学,成都 " # ’ ! $ $ ’ (

摘要

随着对岩石本质特征认识的不断深入,岩石强度理论的研究逐渐由经典强度理论向断裂

强度理论、损伤强度理论发展#文中对经典岩石强度理论的研究进行了简要回顾,总结了基于断 裂力学以及损伤力学分析的岩石强度理论研究进展# 关键词
岩石 强度理论 断裂 损伤 细观力学

岩石强度理论是一个复杂的科学问题,它的目 的在于给出岩石在复杂应力状态下失稳破坏时岩石 参数与外部荷载及环境因素所满足的条件# 建立一 种科学合理的岩石强度理论,对于工程设计、灾害 预防、资源开发等领域具有重要意义# 早期的岩石强度理论研究属于传统固体力学研 究范畴,沿用了经典连续统力学的研究手段# 由于 岩石是一种特殊的地质材料,受地质构造的影响, 岩石的组织结构极度不均匀,孔隙、裂隙、夹杂、 节理、断层等大量缺陷充斥其中,因而均匀连续假 设与岩石的实际情况并不相符,建立在连续统力学 基础上的岩石强度理论受到了严重挑战# 随着相关 学科,尤其是非线性科学的迅猛发展,岩石力学的 研究 融 合 了 经 典 弹 塑 性 力 学、断 裂 力 学、损 伤 力 学、热力学、物理学、化学、地质学、矿物学、信 息论、控制论、系统论等学科,使岩石力学的研究 逐渐超越了经典固体力学的框架,极大地丰富了岩 石力学的研究内涵# 岩石强度理论的研究也逐渐从 古典强度理论、广义强度理论等经典强度理论发展 到将断裂、损伤过程考虑进去的强度理论,从宏观 唯象研究发展到跨尺度多层次的理性研究#

! 经典岩石强度理论
在古典强度理论的发展过程中,唯象的试验研 究是主要手段,经验主义主导着研究思路,因此古 典强度理论仅适用于简单应力状态# 随着实验测试 手段和数学分析方法的发展,提出了各种广义强度 理论,其目的在于建立复杂应力状态下固体材料屈 服破坏的临界准则,即:

$ ( , , …, ) ! &, ’!, ’", ’ ! , )$ ,( ! " " " %, () #" #" #
式中! 为应力张量, 为应变张量, " " $ , " " " %为随时间 # # # 变 化 的 应 变 速 率 张 量, & 为 环 境 温 度, ’!,
!" 对各种强度 ’",…, ’ ( 为材料常数# 俞茂宏等 理论进行了归纳,将其分为三大系列:单剪强度理 [ ,]

论、三剪强度理论 (八面体切应力强度理论) 、双剪 强度理论#继五大古典强度理论之后蓬勃发展起来 的各种广义强度理论充分利用了现代数学、力学的 研究成果,克服了古典理论唯象性的缺陷,将理性 分析推导与实验经验相结合,较好地解决了强度理 论的计算问题,较之古典理论与实验数据的吻合性 更好# 从! &年提出的 + > 9 2 > / = 准则到后来的 ? > 5 @

" $ $ ) * $ ( * $ %收修改稿 " $ $ ) * $ ! * ! &收稿, (批准号: , ) 及国家自然科学基金“创新研究群体” (批准号: ) 资助项目 " 国家重点基础研究发展规划 " $ $ " + , ) ! " $ ( " $ $ " + , ) ! " $ ( $ " " ! ) $ " : ;3 . * / 0 1 2 3 1 4 5 ! 7 8 9 # 4 : 9 # 8 ; 1 4 5 ! 8 9 / < = # 4 : 9 # 8 ; 6 6

万方数据

第! "卷 准则,以及! " # $年提出的 % & ’ ( ) * & + , & * &准则和后 . 来修正的各种广义三剪准则,乃至 ! " / # 年提出的 广义双剪准则,这些准则基本都可以用 $ 0 世纪 " 0 年代初提出的统一强度理论来表示,它们具有一致 的力学模型和数学表述,基本都是在连续介质固体 力学框架内,通过一定的弹塑性分析,结合试验归 纳得到的经验准则1 这些准则是古典固体强度理论 和广义固体强度理论在岩石 材 料 方 面 的 应 用 和 推 广,可称之为经典强度理论1 许多学者对经典强度
[ ] 2 ! # 理论做了详细的总结 1 历经数百年的发展,经

第! #期 $ # # "年! #月

! 0 / 4

大许可拉应力 值," 和! 无 法 由 实 验 方 法 测 得, 0 * 但由于两者与抗拉强度! 之间存在关系 ; ! !" 8 0< $ * ,因此在实际应用中可通过抗拉强度! 来代替$ ! 8 8 [ ] 考虑裂纹闭合时的摩擦效应,= ( > ? 6 @ 8 A ( )等 / 对5 & 6 7 7 6 8 9准则进行了修正,提出 ! ! ! !! 2 ! ! * 0 #! " $ & $"! # ( !!! ) 2 ) #! , ! ! "! 2 ! #( $ & # "!





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( ) 2

典岩石强度理论已经基本能 够 反 映 岩 石 的 强 度 特 性,是相关工程设计中分析计算的重要依据,在计 算机仿真和非线性有限元分析中具有重要作用1 但 是,由于经典 岩 石 强 度 理 论 采 用 了 连 续 介 质 的 假 定,与岩石材料的实际不符,因此经典理论未能解 决岩石强度的离散性、随机性等问题,也没有回答 岩石强度特性与岩石组织结构之间的关系问题1 因 此迫切需要从岩石的组织结构出发,采用新的研究 手段,发展经典岩石强度理论1

代 式中 # 为裂纹面上的摩擦系数,以抗压强度 ! ( 替" 和! 则得到下式: 0 *
$ & # "!"# "! , ! ! #! 2 ( $ & # "!!#

( ) :

[ ] " 根据 5 将其推广 & 6 7 7 6 8 9 准则的特点,= ’ & & * ? ?

到三维情形:
$ ( $ ( $ ( ! ! ! ! !! $) " $ !! 2) " 2 !! !) # ( ( ) $ : ! # 8! ! "! $ "! 2),

! 基于断裂力学的岩石强度理论
由于岩石中存在节理、裂隙等缺陷,极大地影 响岩石的力学特性,因此断裂力学的概念被引入到
[ , ] 3 4 岩石强度理论研究中 1 围绕岩石中裂纹扩展规

从而将中间主应力的影响考虑在内1 不同于经典岩石强度理论,5 & 6 7 7 6 8 9理论及其修 正和推广是基于岩石内存在有微裂纹而建立的,这 就为岩石强度特性的研究开启了一个全新的领域, 即断裂强度理论的研究1 ! " ! 断裂韧性理论 在断裂力学发展早期建立的 5 & 6 7 7 6 8 9 理论及其 修正和推广从表达形式上 看 还 类 似 于 经 典 强 度 理 论,采用应力判据1 随着断裂力学的发展,尤其是 断裂韧性试验测试技术的发展,以断裂韧性为判据 的强度理论逐步发展起来1
[ ] ! 0 根据线弹性断裂力学 (B 理论 ,两种方 C D =)

律以及岩石断裂机理,在理论及实验方面都进行了 大量研究,取得了显著进展1 ! " # $ % & ’ ’ & ( )最大拉应力理论 早在! " $ !年 5 & 6 7 7 6 8 9就提出了裂纹及其在材料 中萌生和扩展的概念,解释了许多材料低应力脆断 的原因,为深入研究岩石的断裂破坏机理指出了一 条重要途径1 ! " $ :年 5 & 6 7 7 6 8 9给出了一个基于理想脆性假定 的二维准则:
$ ( ! ! ! !! 2) $ , 当! ! #! ! 0 #! 8 ! "2 2 !0时 " ( / ! $ * !"! 2) , # ! , 当! ! ! 2 #! ! 0 #! 8 ! "2 2 "0时 " % $ * ) ( $

法用于研究裂纹前端不发生大范围屈服时的裂纹扩 展规律1 第一种方法最早由 5 & 6 7 7 6 8 9 提出,即分析 裂纹的能量平衡1 借此可定义裂纹能量释放率或裂 纹扩展阻力 %,当 % 达到某一临界值%( 时,裂纹 处于临界平衡状态,一旦 % 大于%( 裂纹将发生失 稳扩展$于是可按裂纹能量释放率建立断裂判据:

万方数据 式中" ! 0 为裂纹形状的边界值, * 为裂纹边界的最

) 3 / /

第! "卷 (" , ! #) $ !!, ( ) "

第! #期 $ # # "年! #月 经常采用的形式是

第二种方法最早由 # $ % & ’ 提出,即求解裂纹尖端应 力场(借助复变函数、积分变换、保角映射等数学 方法,许多学者对裂纹尖端的应力场计算进行了深 入研究,结果通常可表示为 ( ,) ( , ,) + ( ( , , , ), ! ’, ") % $) * + % & ’" $ ( ) * ! ? ( ) , 式中 + 为坐标的函数,系数 ( 与坐标无关,它综 合反映了裂纹形状 ) 、裂纹尺寸 * 和远场应力! 这 些因素对裂纹尖端应力场强度的影响,具有驱动裂 纹开始扩 展 的 作 用,被 称 为 应 力 强 度 因 子 (# .) , 当 ( 达到某一临界值 (! 时,裂纹发生失稳扩展, 于是可按应力强度因子建立断裂判据: () , ( *, !) $ (!, ( ) /

( ( (( )0(( ) $) ,
! * " * ! ! " ! [ ] ) * 夏熙伦等 给出了如下形式:

( ) ) *

( " $(! 0 ("!, )

( ) ) +

这些经验方程的提出有助于判断复合裂纹的扩展, 给出相应的强度准则( 裂纹间的相互作用和联合将产生局部弱化并最 终导致岩石的整体断裂破坏( 有关的经验模型、统 计模型、数值模型也被加以探讨,但真正解决多裂 纹的耦合 作 用 还 很 困 难( 许 多 学 者 对 此 进 行 了 研
[ ] ) + $ ) 5 究 ,得到一些有意义的结论( 但目前的有效

解决途径还主要限于数值模拟,例如唐春安等通过
") , 6 . 7 8 软件系统所进行的大量研究 ) ( 在实际应用中,由于岩石中裂纹扩展方式的复 [ , ]

早期的断裂韧性强度理论是基于单一形式裂纹 (即!型、"型或 # 型) 建立的,而实际裂纹往往是 复合裂纹,因此有关复合裂纹的扩展判据被加以探 讨(这些复合判据一般是对各型裂纹的组合,可概 括表示为: (!, (!!, () (!), $. ( ) 0

杂性,岩石在外载作用下的应力强度因子 ( 或裂纹 能量释放率 ! 的计算比较困难,许多情况下需要借 助有限元、边界元等各种数值计算方法,而且岩石 断裂韧性 (! 或 !! 的测定也比较复杂,因此岩石断
[ ] ) / 裂韧性强度理论在工程应用中还面临一些困难 ,

这些困难的解决有赖于相关数值计算软件的发展以 及岩石断裂韧性测试技术的发展, ! " # 分形统计强度理论 统计断裂力学应用于岩石强度理论的研究,一 般是通过宏观实验确定相关参数,因此这是一种唯 象的和经验的方法,不能反映岩石微结构的特征, 无法建立岩石微结构断裂机制与宏观力学性能之间 的联系,为了刻画岩石强度的离散性与尺度效应,
[ ] ) 0 引进了分形的方法 ,

[) ] 提出了应用于复合裂纹的应变能 例如) 0 , 1年 & 2) 密度因子理论,其注意力集中在裂纹端部周围应变

能密度场的奇异性上,这个能量场具有 ) / ’ 阶的奇 异性,幅度大小可用应变能密度因子 / 来表示( 临 界值 / ! 可反映裂纹初始扩展的方向及材料的断裂 韧性(即:

/

(* * (!(" 0 $* ) ) ) * ) 0*
( ) ) 3

考虑到实际的裂纹扩展路径不可能是平直的, 因此实际的裂纹扩展所需的表面能要比按照平直裂 纹扩展计算得到的表面能大, 于是可用分形描述裂 纹扩展路 径 的 不 规 则 性,修 正 断 裂 韧 性 强 度 理 论 中 ! 准 则 采 用 的 裂 纹 临 界 扩 展 阻 力 !! 4* # 9
[ ] ) 0 为 : ) 6 5 ( / !! $* # 4 93 3) ,

* (* (* , * * + + ! " 0* # $/

为了考虑应变能密度梯度的影响,在此基础上又提 出了等 " 线上的最大拉应力理论 ( " 4/ / ’) (再 [ ] 如对于!,"型复合加载可建立 , :
1 ( 2 ((!/ ) (!!) ("!) ) ) 0 ("/ $) , ( 万方数据

( ) ) 1

第! "卷 式中 ! 为单位表面能,! 为裂纹表观长度," 为 ! " 岩石中的晶粒尺寸,# 为裂纹扩展路径的 分 形 维 数$引入分形模型还可解释裂纹分叉导致断裂韧性 的提高的内在机制,并给出定量公式修正断裂韧性
[ ] # " 的计算 :

第! #期 $ # # "年! #月

& " A F

! " # 岩石宏观损伤力学 迄今为止,许多学者围绕岩石的损伤进行了大 量研究,建立了各种能够适用于岩石的宏观损伤模
[: , ] # * ,; 型,例 如 4 5 / $ 7 8 % 9 7 $连 续 损 伤 模 型 # / 5 7 % 6 ( [ ] # , 脆性和疲劳损伤模型 ,< 和 的损伤模 = 7 > ? 5 ’ / $ ? @ 5 [ , ] [F ] # 2 # A 型 ,B , = / 5 D % 8 %和 B 7 E % 5 % -的理想损伤模型 # C [" ] ,4 , G 5 / 8 D H 7 ! I % 8 7 !和 J @ ! / 7的 损 伤 模 型 ) / K / 0 % D % [ ] &, + $ ? 7 I / K /和 4 % /的节理岩体损伤模型 ) M ? @ 8 L L ( [ ] ) # 和J 空隙压力耦合连续统模型 , = ! ! @ / = ’ D的损伤 3 [) ] ,M N = O @ 5 D 7 8等 的 B P Q + M 3 J 模型) ? @ 8和 < % E 8 @ 5 [ ] ) : 等的 ;J 模型 ,朱维申的裂隙岩体弹塑性损 M G [ ] ) * 伤断裂模型 ,周维垣的节理岩体弹脆性损伤模 [ ] [ ] ) , ) 2 ,谢和平的岩石损伤模型 等等1 这些连续 型

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式中 %" 为不考虑裂纹分叉的常规断裂韧性,! "表 $ 示裂纹分叉的夹角$ 通过这些对断裂韧性 %$,($ 修正,缩小了岩石断裂韧性强度理论预测值与实测 值之间的差距$在此基础上,进一步研究岩石中裂
[ ] # & : 纹群的作用,可得到分形统计强度理论

损伤模型的共同特点是:根据热力学理论和弹塑性 理论对其损伤过程进行唯象分析,通过定义特定的 损伤 变 量,建 立 损 伤 演 化 方 程,再 基 于 等 效 原 理 (应变等效、应力等效或能量等效) 建立损伤本构方 程1籍此建立的本构方程包含了损伤变量,可以反 映损伤对岩石变形特性的影响,至于损伤的变化特 性则可通过损伤演化方程加以描述1 因此,损伤变 量的定义是宏观损伤模型的关键问题1 就标量损伤变量 # 而言,从理论上看,当 #R "时对应于无损伤的状态,当 # R& 时对应于完全 损伤 (破坏) 的状态1 但大量试验表明,材料的损伤
[ ] ) A 断裂存在一个临界值,即

" " & $ %+ $ ’* # ’ ! # (( #& )# ! +) " &,

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& ,( ) & , # #



" 为常规的断裂韧性, 式中$ 为应力状态因子,%+ ) $ 为组成岩石的晶粒尺度," 为裂纹剖线的分形维 -

数,# 为裂纹分布的分形维数,( 为依赖于载荷系 统与裂纹方位分布的常数,! 为裂纹平均密度,+ 为岩石的体积," 即 . / 0 /函数$ 分形统计强度理 论综合反映了裂纹尺度分布、方位分布和裂纹表面 不规则程度对岩石强度的影响,使岩石强度得到了 更深入细致的表述$

! 基于损伤力学的岩石强度理论
断裂强度理论根据裂尖应力场的奇异性以及裂 纹扩展的能量平衡关系,采用断裂韧性作为判据去 解释岩石的强度特性1但由于应力强度因子 % 或裂 纹能量释放率 ( 计算上存在的困难,而且断裂力学 理论对于裂纹群的耦合作用并没有很好的解决,从 而导致了岩石强度评价计算上的不准确性1 # " 世纪
[# ] [ ] # ) 开始形成,细观力学 开 2 "年代后,损伤力学 # 始出现,强度理论的研究进入新的阶段1 损伤力学

# & #$ 或 - & -$,

( ) & 2

式中 # 为损伤变量,- 为损伤能量耗散率,#$ 和 -$ 分别为其临界值1 问题在于还须进一步通过大 量试验来确定该阈值或临界值是可测定的稳定的岩 石性能参数,方可由此建立类似于断裂韧性强度理 论的单参数准则1 ! " $ 岩石断裂损伤过程区 断裂力 学 主 要 研 究 的 是 裂 纹 尖 端 的 应 力 奇 异 性,进 而 给 出 裂 纹 扩 展 的 临 界 条 件,建 立 断 裂 判 据1而实际上,岩石中并不存在严格意义上的应力 奇异性,为此许多学者提出了断裂过程区的概念, 也称为断裂损伤过程区1 所谓断裂损伤过程区,是指由于损伤及不均匀

分析的目 的 在 于:通 过 引 入 多 层 次 的 缺 陷 几 何 结 构,追溯从变形、损伤直至断裂的全过程,进而采 用宏 细 微观相结合的描述,确立参变量具有明确 3 3 物理意义的数学力学模型,给出岩石强度的判定准 万方数据 则1

( 6 ’ 6

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第! #期 $ # # "年! #月 纹群的演化特征对宏观性质的影响;余寿文和冯西 桥等针对微裂纹的相互作用提出了微裂纹扩展区模 型,根据微裂纹取向分成不同集合,进而通过集合 运算来处理损伤过程中不同种类裂纹的增减;柯孚
[ ] = 5 ! = = 久、白以龙和夏蒙棼 以微裂纹密度函数描述

性,在宏观裂 缝 尖 端 存 在 一 个 卸 载 的 应 变 软 化 区 (! ;+ ,并不存 " # $ % ( ’ ) * $ , . / 0 1 2 3 ( ’ ) 7) 4 在线弹性断裂力学提出的应力奇异场8 目前有关断 裂过程区研究的模型主要有虚拟裂纹模型 (9 : 1 1 / 0 ; 、钝 化 带 模 型 (> 、 # / 0 ( ’ * =) " % " 3 . ( ’ ) ?) < [ ] 5 & 等效裂缝长度模型 (@ ) 等8这些模型的 " - , ( ’ ) 5 相同特点是假设在裂纹的尖端过程区内为一应变软 化区,存在损伤8断裂损伤过程区概念的提出被许 多学者接受,并应用于岩石损伤断裂的研究8 周维 垣等采用非均质体的统计断裂力学模型及数值模拟 方法进行了研究,研究了断裂微裂纹损伤过程区的
[ ] 5 5 扩展过程以及对岩石宏观断裂破坏的影响 8 [ ] 5 ( , [ ] 5 7 , [ ] & ’ , [ ] 5 6 ,

理想微裂纹系统并对其演化规律进行了考察,得出 了很多有益的结论8 综上所述,岩石强度理论可分为三大类,即经 典强度理论、断裂韧性强度理论和损伤强度理论, 各自特点见表( 8
表# 三大类岩石强度理论的特点比较
经典强度理论 岩石描述 不含缺陷的 均匀连续介质 断裂韧性强度理论损伤强度理论 包含有限裂纹 的均匀介质 断裂理论 裂纹模型 包含大量损伤 的非均匀介质 损伤理论

岩石断裂损伤过程区揭示了岩石损伤断裂的特 点,这实际上是将损伤力学应用于裂尖一个微区来 修正断裂理论8 在断裂损伤过程区内的损伤机制, 以及由此产生的屏蔽作用机理还须通过进一步的细 观损伤理论加以研究8 至于断裂理论没有很好解决 的裂纹间相互作用问题,也必须通过细观损伤模型
[? ] [= ] 加 以 探 讨8 A ,9 ,C 0 . : %5 $ . , : 3 B 2 35 2 D 和 [ , ] [ ] [ ] [ ] *5 ), ’, ? 6 ? ( ! $5 E " , " 3 2 F5 C $ G 3 2 F B H 2 3 4 ,I < , 7, ? &, 5 等采用损伤 > 0 / 3 , : , -? C " 0 : 3 . / 0 : > " B : B . "? J 的方法研究了裂纹间的相互作用,取得一些可喜的 [ ] [ ] [ ]

理论方法 弹塑性理论 研 研究单元 理想几何单元 究 特 破坏机理 宏观拉、 剪模式 点 ( ) 强度准则! !, " 6 # R

K L M 单元 裂纹扩展机理 损伤演化机理 $R$, 或 %R%, &R & ! ’!R ’ ,或 ,

$ 结束语
总之,岩石 可 视 为 一 种 非 均 质 的 多 相 复 合 结 构,而且天然存在各种大量的缺陷,且这些缺陷的 分布具有 一 定 的 随 机 性8 岩 石 在 受 到 外 界 作 用 以 后,弥散在岩石内部的微缺陷不断变化,在部分区 域出现贯 通,进 而 形 成 宏 观 裂 缝 导 致 岩 石 失 稳 破 坏8岩石的破坏过程是非常复杂的,如果只是单纯 用经典弹塑性力学或断裂力学的方法来描述,将难 以获得理想结果,因此在岩石强度理论研究中引入 了损伤力学的方法,以便最终建立宏 细 微观多层 ; ; 次耦合的岩石强度理论8 其中以下两点是值得关注 的研究方向:一是岩石细观模型的建立,如何构筑 一个包含必需信息的细观模型 (K 来反映岩石的 L M) 特征,二是细观模型与宏观整体的映射关系,如何 通过平均化的方法将细观模型 (K 推广到岩石整 L M) 体8 近 7 6 年来岩石力学研究人员在这一方面进行 了大量探索,也取得了一些成果8 这主要得益于非 线性 科 学 的 应 用,如 分 形、混 沌、分 叉 等8 实 际 上,岩石力学特性的复杂性正是由于其组织结构的 各向异性导致的非线性特点8 只有摆脱传统线性分 析的束缚,寻求非线性分析手段,才有可能使岩石 力学的研究向前迈进8 再就是将系统论、控制论、

成果8 ! " ! 岩石细观损伤力学 细观损伤力学作为宏观损伤力学的必要补充, 是当前损伤理论研究的热点8 不同于唯象的宏观损 伤力学模型,细观损伤模型从材料的具体细观结构 出发,考 察 具 体 的 损 伤 形 式 (如 微 裂 纹、微 孔 洞、 相界面等) ,定 义 具 有 真 实 物 理 背 景 的 损 伤 变 量, 并最终借助某种平均化的方法将细观 K L M 模型的 演化规律推广到整体宏观演化规律8 对岩石而言, K L M 的建立还存在较大困难,进一步的损伤变量定 义十分困难8尽管如此,不少学者对此进行了各种 探 讨, 取 得 一 些 初 步 的 成 果8 E 0 " , : 3 2 F : ,和 N [ , ] [ , ] ?? =, *? ) 等考虑了简单载荷条 @ $ O " 0 " ,? P $和 ! / /? 件下的细观损伤机制;9 2 0 : :和 Q / O " . ; Q " B B / 0 针对 微 裂 纹 可 以 发 生 闭 合、摩 擦 滑 移、沿 晶 界 扩
[ , ] ? ’ = 6

展、弯 折 扩 展 等 进 行 了 试 验 和 理 论 研 究; > " % " 3 . 万方数据 限元网格敏感性、应变局部化等问题,强调了微裂
[ ] = ( ! = & 系统论述了岩石中分布微裂纹造成的有

第! "卷 信息论等引入到岩石力学研究中,并发挥计算机技 术在数值计算、虚拟现实等方面的优势,促进岩石 强度理论分析及应用的新发展! 参 考 文 献

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! ! 周维垣,等"岩石、混凝土类材料断裂损伤过程区的细观力学 研究"水电站设计, , ( ) : # $ $ % # & # # . * / 0 "/ 1 + 2 / 02 3 4 . 5 ) / 5 6 7 * + 9 + . 0 4 : + ;2 3 ; 3 0 + * < + 5 5 . ) / 2 7 ! ’ ( ) * + ,-, 8 , , : + 5 : " = ; * >? 3 0 + 4 : ? * ) @ 5 * # $ $ A B C % A ’ ! C D @ * 5 < + ; : 3 ;> E"F ) / 5 6* + < + . 0 4 + ; + 5 ) 3 5 ) / 5 6 + ; ;H ) + * * 0 . 8: GH I2 G+ , , : $ K %& ’ # C A ’ : 3 0 + 4 : " J 5 * /. * / 0 0# , ! % F < 3 LFM . * / 0 " J5 3 ; * + ; @ @ 24 / 2 / .2 . 5 < / ; + 5 : / ) 3 / 5 < * 3 5 ) / 5 6 G 8 8 , , : # $ $ # ’ A % $ * + : < + . 0 4 + ; + ;H ) + * * 0 . : 3 0 + 4 : " = ; * >N ) / 5 * @ ) . 8 G ! K F < 3 LFM, . */ 0 " O ) . 4 + 5 * + 3 ;3 92 + 1 . 4 7 2 3 4 . 9 ) / 5 * @ ) . + ;8 / ) * + 5 @ 0 / * . , 5 3 2 3 : + * . @ : + ; / 2 / .5 ) + * . ) + 3 ; "P + ) .? 5 + . ; 5 ./ ; 4P . 5 < ; 3 0 3 8 G/4 G G I , ( ) : B A A # B $ B % $ ! $ Q / 5 < / ; 3 R -, . */ 0 ". 5 < / ; + 5 :3 95 ) / 5 6 7 2 + 5 ) 3 5 ) / 5 6+ ; * . ) / 5 * + 3 ; : " , , : $ $ A# A ’ $ . 5 </ * . )# ’ A F < @ 4 ; 3 R : 6 . * / 0 " S R / 0 @ / * + 3 ; 3 9 . ; . ) ) . 0 . / : . ) / * . + ; * < . 5 ) / 5 6 7 IJ, G I , , : # $ $ B B $ 2 + 5 ) 3 5 ) / 5 6+ ; * . ) / 5 * + 3 ;8 ) 3 H 0 . 2 : " = ; *>? 3 0 + 4 :? * ) @ 5 * # C $ $ . * / 0 " T . ; . ) / 0 : 3 0 @ * + 3 ; : * 3* < .8 ) 3 H 0 . 2 :3 92 + 5 ) 3 5 ) / 5 6 : ’ # T 3 ; G?U, , , : ; . / ) * < . * + 9 /2 / + ;5 ) / 5 6 " >. 5 <O < : ? 3 0 + 4 : # $ K $ & % B % 83 I ’ B V ) . ; 5 + 5 <J, . * / 0 " = ; * . ) / 5 * + 3 ; 3 9 /2 / + ; 5 ) / 5 6L + * < 3 ) 4 . ) . 44 + : * ) + H @ 7 : @ 2 . ) + 5 / 0 * . 5 < ; + @ . H + : 0 / 5 . 2 . ; * 4 + : 5 3 ; 7 * + 3 ; : 3 92 + 5 ) 3 5 ) / 5 6 : J; W I4 8 , , : * + ; @ + * 3 @ ; 4 / ) 0 . 2 . ; * : " = ; * >N ) / 5 * @ ) . # $ $ C % C & % & IH I. . */ 0 " F 3 < . : + R .5 ) / 5 62 3 4 . 04 . : 5 ) + * + 3 ;3 94 @ 5 * + 0 .* 3 ’ & F / ) + ; * . ) + J, 8 8 : H ) + * * 0 . : + , . 7 : 5 / 0 . * ) / ; : + * + 3 ; X + 2 . ; : + 3 ; / 0 / ; / 0 : + : R : " ) . ; 3 ) 2 / 0 + , / * + 3 ; I , , ( ) : ) 3 @ * < . 3 ) " S ; ) / 5 *. 5 < B A A & % A # ! # K A $ G 8 I GN . * / 0 " Y 3 * . 3 ; 5 ) / 5 6 + ; * . ) / 5 * + 3 ; : @ ; 4 . ) 5 3 2 ) . : : + 3 ; " = ; * ’ ! V / : + : * /-, 8 , , ( ) : >N ) / 5 * @ ) .B A A A# A B& M C %

万方数据

基于断裂力学与损伤力学的岩石强度理论研究进展
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 被引用次数: 谢和平, 彭瑞东, 周宏伟, 鞠杨 谢和平(中国矿业大学北京校区岩石力学与分形研究所,北京,100083;四川大学,成都,610065) , 彭瑞东,周宏伟,鞠杨(中国矿业大学北京校区岩石力学与分形研究所,北京,100083) 自然科学进展 PROGRESS IN NATURAL SCIENCE 2004,14(10) 19次

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