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高中数学必修五数列知识点


一、知识纲要 (1)数列的概念,通项公式,数列的分类,从函数的观点看数列 . (2)等差、等比数列的定义. (3)等差、等比数列的通项公式. (4)等差中项、等比中项. (5)等差、等比数列的前 n 项和公式及其推导方法. 二、方法总结 1.数列是特殊的函数,有些题目可结合函数知识去解决,体现了函数思想、数形结合的思想. 2.等差、等比数列中, a1 、 an 、 n 、 d ( q ) 、 S n “知三求二” ,体现了方程(组)的思想、整体思想,有时用到换元法. 3.求等比数列的前 n 项和时要考虑公比是否等于 1,公比是字母时要进行讨论,体现了分类讨论的思想. 4.数列求和的基本方法有:公式法,倒序相加法,错位相减法,拆项法,裂项法,累加法,等价转化等. 三、知识内容: 1.数列 数列的通项公式: a n ? ?

?a1 ? S1 (n ? 1) ?S n ? S n?1 (n ? 2)

数列的前 n 项和: S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an

1、数列:按照一定顺序排列着的一列数. 2、数列的项:数列中的每一个数. 3、有穷数列:项数有限的数列. 4、无穷数列:项数无限的数列. 5、递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列. 6、递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列. 7、常数列:各项相等的数列. 8、摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 9、数列的通项公式:表示数列

?an ? 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式.

10、数列的递推公式:表示任一项 an 与它的前一项 an ?1 (或前几项)间的关系的公式.

例 1.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? 2n 2 ? n ,求数列 ?an ? 的通项公式. 当 n ? 1 时,a1 ? S1 ? 1,当 n ≥ 2 时,an ? 2n 2 ? n ? 2(n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 4n ? 3 ,经检验 n ? 1 时 a1 ? 1 也适 合 an ? 4n ? 3 ,∴ an ? 4n ? 3 (n ? N? )
2.等差数列 等差数列的定义:如 果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数 叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示。 等差数 列的判 定方法:[来源:学*科*网] (1)定义法:对于数列

?an ?,若 an?1 ? an ? d (常数),则数列 ?an ?是等 差数 列。 (2)等差中项:对于数列 ?an ? ,若 2an?1 ? an ? an?2 ,则数列 ?an ? 是等差数列。
等差数列的通项公式: 如果等差数列 说明:该公式整理后是关于 n 的一次函数。 等差数列的前 n 项和:① S n ?

?an ?的首项是 a1 ,公差是 d ,则等差数列的通项为 an ? a1 ? (n ? 1)d 。
n(a1 ? a n ) 2
② S n ? na1 ?

说明:对于公式②整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数。[来源:学#科#网 Z#X#X#K] 等差中项:[来源:Z_xx_k.Com] 如果 a ,

n(n ? 1) d 2

A , b 成等差数 列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项。即: A ?

a?b 或 2A ? a ? b 2

说明:在一个等差数列中,从第 2 项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上等差数 列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 等差数列的性质: ( 1 )等差数列任意两项间的关系:如果 an 是等差数列的第 n 项, a m 是等差数列的第 m 项,且 m

? n ,公差为 d

,则有

an ? am ? (n ? m)d [来源:Z*xx*k.Com]

(2) 对于等差数列

, 则 2an ? ap ? aq ?an ?,若 n ? m ? p ? q ,则 an ? am ? a p ? aq 。2n ? p ? q( n 、p 、q ? ?* )
a1 ? an ????? ????? ? a , a , a , ? , a , a , 2? 3 n?2 n ?1 a n ? ?? ,如图所示: 1 ? ? ? ?? ?? ? a2 ? an ?1
*

也就是: a1 ? a n ? a 2 ? a n?1 ? a3 ? a n?2 (3)若 数列

?an ?是等差数列, S n 是其前 n 项的和, k ? N

,那么 S k , S 2 k

? S k , S 3k ? S 2 k 成等差数列。如下图所示:

S 3k ??????????? ? ??????????? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2 k ? a2k ?1 ? ? ? a3k ???? ???? ? ?? ? ??? ? ??? ??? ? Sk S 2k ? S k S 3k ? S 2 k

例 7.等差数列{a n}中,已知 a1 ? (A)48 (B)49

1 11 , a6 ? ,a n =33,则 n 为( 3 3
(C)50 (D)51



例 12.已知等差数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? a3 ?

? a101 ? 0 ,则有(

)

( A)a1 ? a101 ? 0

( B )a 2 ? a 1 0? 0 0

(C )a ? 0 3? a 99

( D)a51 ? 51

例 13. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 3n 2 ? 2n , 求证:数列 ?an ? 成等差数列,并求其首项、公差、通项公式 .解: a1 ? S1 ? 3 ? 2 ? 1 , 当 n ≥ 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 3n 2 ? 2n ? [3(n ? 1) 2 ? 2(n ? 1)] ? 6n ? 5 , n ? 1 时亦满足 ∴ an ? 6n ? 5 , ∴首项 a1 ? 1 且 an ? an?1 ? 6n ? 5 ? [6(n ? 1) ? 5] ? 6(常数) ∴ ?an ? 成等差数列且公差为 6、首项 a1 ? 1 、通项公式为 an ? 6n ? 5
3.等比数列 等比数列的概念: 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比 数列的公 比,公比通常用字母 q 表示( q 等比中项: 如果在 a 与 b 之间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。 也就是,如果是的等比中项,那么 等比数列的判定方法: (1)定义法:对于数列

? 0) 。
G b 2 ? ,即 G ? ab 。 a G

?an ?,若 aan?1 ? q(q ? 0) ,则数列 ?an ?是等比数列。 [来源:学科网 ZXXK] ?an ?,若 an an?2 ? an2?1 ,则数列 ?an ?是等比数列。
n

(2) 等比中项:对于数列 等比数列的通项公式: 如果等比数列

?an ?的首项是 a1 ,公比是 q ,则等比数列的通项为 an ? a1q n?1 。
2 Sn ? ○

等比数列的前 n 项和: 1 Sn ? ○

a1 (1 ? q n ) (q ? 1) 1? q

a1 ? a n q (q ? 1) 1? q

3当q ○

? 1 时, S n ? na1
n ?m ? n, 公比为 q , 则有 an ? am q

等比数列的性质: ①等比数列任意两项间的关系: 如果 an 是等比数列的第 n 项,a m 是等差数列的第 m 项, 且m ②对于等比数列

?an ?,若 n ? m ? u ? v ,则 an ? am ? au ? av

也就是: a1 ? a n ? a 2 ? a n?1 ? a3 ? a n?2

a1?an ????? ?????? a , a 2 , a3 ,?, a n?2 , a n?1 , a n ? ?? 。如图所示: 1 ? ?? ? ???? ? a2 ?an ?1

③若数列 ?a n ?是等比数列, S n 是其前 n 项的和, k ? N ,那么 S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k 成等比数列。如下图所示:
*

S 3k ??????????? ? ??????????? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2 k ? a2k ?1 ? ? ? a3k ???? ???? ? ?? ? ??? ? ??? ??? ? Sk S 2k ? S k S 3k ? S 2 k

例 8.在等比数列 ?an ? 中, a7 ? 12, q ? 3 2 ,则 a19 ? _____.

例 9. 2 ? 3 和 2 ? 3 的等比中项为(

)

( A)1

( B) ? 1

(C ) ? 1

( D )2

例 10. 在等比数列 ?an ? 中, a2 ? ?2 , a5 ? 54 ,求 a8 , 解:∵ a5 是 a2 与 a8 的等比中项,∴ 542 ? a8 ? ?2 ∴ a8 ? ?1458 例 11.在等比数列 ?an ? 中, a1 和 a10 是方程 2 x ? 5x ? 1 ? 0 的两个根,
2

则 a4 ? a7 ? (
4.数列前 n 项和 (1)重要公式:

) ( A) ?

5 2

( B)

2 2

(C ) ?

1 2

( D)

1 2

1 ? 2 ? 3 ? ?n ?

n(n ? 1) ; 2
n(n ? 1)( 2n ? 1) ; 6

12 ? 2 2 ? 3 2 ? ? n 2 ?

1 13 ? 2 3 ? ? n 3 ? [ n(n ? 1)] 2 2
(2)等差数列中, S m? n (3)等比数 列中, S m?n

王新敞
奎屯

新疆

? S m ? S n ? mnd

? Sn ? q n Sm ? Sm ? q m Sn

(4)裂项求和:

1 1 1 ?n! ) ? ? ; ( n ? n!? (n ? 1)! n(n ? 1) n n ? 1

五、例析数列求和的常用方法 数列求和是数列教学内容的中心问题之一,也是近年高考命题的一个热点问题。掌握一些求和的方法和技巧可以提高解决此问 题的能力。本文例析了一些求和的方法,仅供参考。 (一)倒序相加法:将一个数列倒过来排序(倒序) ,当它与原数列相加时,若有因式可提,并且剩余的项的和易于求得,则 这样的数列可用倒序相加法求和。如等差数列的求和公式 S n

?

n(a1 ? an ) 的推导。 2
? bn } 的前 n 项和, 其中 {a n } 、

(二) 错位相减法: 这是推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法, 这种方法主要用于求数列 {a n

{bn } 分别是等差数列和等比数列。
(三)分组求和法 所谓分组求 和法,即将一个数列中的项拆成几项,转化成特殊数列求和。

例 3. 已知数列 {a n } 满足 a n

1 ? n ? ( ) n?1 ,求其前 n 项和 S n 。 2

(四)公式法(恒等式法) :利用已知的求和公式来求和,如等差数列与等比数列求和公式,再如 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n

?

n( n ? 1) 2

、1

2

1 ? 2 2 ? 32 ? ? ? n 2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 等公式。 6

(五)拆项(裂项)相消法:若数列 {a n } 能裂项成 an 使展开后 中间项能全部消去) 。 例 5.已知数列 {a n } 满 足 a n

? f (n ? 1) ? f (n) ,即所裂两项具有传递性(即关于 n 的相邻项,

?

1 ,求数列 {a n } 的前 n 项和 S n n( n ? 1)

(六)通项化归法:即把数列的通项公式先求出来,再利用数列的特点求和。 例.求数列 1,

1 1 1 的前 n 项和 S n , , ?, 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? ?? n

(七)并项法求和:在数列求和中,若出现相邻两项(或有一定规律的两项)和为常数时,可用并项法,但要注意 n 的奇偶性。 例 7.已知数列 an

? (?1) n (2n ? 1) ,求数列 {a n } 的前 n 项和 S100

(八)奇偶分析项:当数列中的项有符号限制时,应分 n 为奇数、偶数进行讨论。 例 8.若 an

? (?1) n?1 (4n ? 3) ,求数列 {a n } 的前 n 项和
,则称数列 {a n } 为 ? an (其中 n ? N 0 , N 0 为给定的自然数, T ? 0 )

(九)利用周期性求和:若数列 {a n } ,都有 an?T 周期数列,其中 T 为其周期。[来源:学科网] 例 9.已知数列 {a n } 中, a1

? 2, an?1 ? 1 ?

1 an

,求其前 3n 项的和 S 3n .

(十 )导数法:利用函数的求导来计算数列的和。 例 10.求数列 {a n } 前 n 项和 S n ,其中 a n

? n sin nx.

(十一)待定系数法:若数列的和是一个多项式,可以考虑用待定系数法。 例 11.求 1 ? 3 , 3 ? 5 , 5 ? 7 , 7 ? 9 , ?,(2n ? 1)(2n ? 1) 的和 S n


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