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2014-2015学年贵州省遵义市余庆中学高二(下)期中数学试卷(理科) Word版含解析


2014-2015 学年贵州省遵义市余庆中学高二(下)期中数学试卷 (理科)
一.选择题: (每小题 5 分,60) 1.复数 z=1﹣i,则 A. =( B. ) C. D.

2. 已知 p: x≥k, q: A. [2,+∞)

<1, 如果 p 是 q 的充分不必要条件, 则实数 k 的取值范围是 ( B. (2,+∞)

C. [1,+∞)



D.(﹣∞, ﹣1)

3. A. ﹣160

的展开式中常数项是( B. ﹣20

) C. 20 D. 160 ,那么曲

4.如果 f′(x)是二次函数,且 f′(x)的图象开口向上,顶点坐标为 线 y=f(x)上任一点的切线的倾斜角 α 的取值范围是( ) A. D. B. C.

5.设随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,9) ,若 P(ξ>c)=P(ξ<c﹣2) ,则 c 的值是( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4



6.已知椭圆 的周长为( A. 10 )

=1(a>5)的两个焦点为 F1、F2,且|F1F2|=8,弦 AB 过点 F1,则△ABF2

B. 20

C.

D.

7.小明有 4 枚完全相同的硬币,每个硬币都分正反两面.他想把 4 个硬币摆成一摞,且满 足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有( ) A. 4 种 B. 5 种 C. 6 种 D. 9 种 8.给出如下四个命题: ①若“p∨q”为真命题,则 p、q 均为真命题; a b a b ②“若 a>b,则 2 >2 ﹣1”的否命题为“若 a≤b,则 2 ≤2 ﹣1”;

③“?x∈R,x +x≥1”的否定是“?x0∈R,x0 +x0≤1”; ④“x>0”是“x+ ≥2”的充要条件. 其中不正确的命题是( ) A. ①② B. ②③

2

2

C. ①③

D. ③④

9.对于 R 上可导的任意函数 f(x) ,若满足(x﹣2)f′(x)≤0,则必有( ) A. f(﹣3)+f(3)<2f(2) B. f(﹣3)+f(7)>2f(2) C.(﹣ f 3)+f(3)≤2f(2) D. f(﹣3)+f(7)≥2f(2) 10.如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面为正方形,PD⊥底面 ABCD,PD=AD=1,设点 CG 到 平面 PAB 的距离为 d1,点 B 到平面 PAC 的距离为 d2,则有( )

A. 1<d1<d2

B. d1<d2<1

C. d1<1<d2

D. d2<d1<1

11.已知双曲线

(a>0,b>0)的焦点 F1(﹣c,0) 、F2(c,0) (c>0) ,过 F2 + = , + = ,

的直线 l 交双曲线于 A,D 两点,交渐近线于 B,C 两点.设 则下列各式成立的是( A. | |>| | ) B. | |<| |
n+1 *

C. | ﹣ |=0

D. | ﹣ |>0

12.已知函数 f(x)=x (n∈N )的图象与直线 x=1 交于点 P,若图象在点 P 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 xn,则 log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012 的值为( ) A. 1﹣log20132012 B. ﹣1 C. ﹣log20132012 D. 1

二.填空题: (每小题 5 分,20) 13.由曲线 y=sinx,y=cosx 与直线 x=0,x= 面积是 . 所围成的平面图形(下图中的阴影部分)的

14.设 F 为抛物线 C:y =4x 的焦点,过点 P(﹣1,0)的直线 l 交抛物线 C 于两点 A,B, 点 Q 为线段 AB 的中点,若|FQ|=2,则直线 l 的斜率等于 . 15.将全体正奇数排成一个三角形数阵如图:按照以上排列的规律,第 n 行(n≥3)从左向 右的第 3 个数为 .

2

16.已知 O 是△ABC 的外心,AB=2a,AC= ,∠BAC=120°,若 最小值是 .

=x

+y

,则 x+y 的

三.解答题: 17.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,D 是 BC 的中点. (1)求证:A1B∥平面 ADC1; (2)求二面角 C1﹣AD﹣C 的余弦值.

18.已知 a,b,c∈R,a +b +c =1. (Ⅰ)求证:|a+b+c|≤ ; 2 (Ⅱ)若不等式|x﹣1|+|x+1|≥(a﹣b+c) 对一切实数 a,b,c 恒成立,求实数 x 的取值范围. 19.某商场在店庆日进行抽奖促销活动,当日在该店消费的顾客可参加抽奖.抽奖箱中有大 小完全相同的 4 个小球,分别标有字“生”“意”“兴”“隆”.顾客从中任意取出 1 个球,记下上 面的字后放回箱中,再从中任取 1 个球,重复以上操作,最多取 4 次,并规定若取出“隆” 字球,则停止取球.获奖规则如下:依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖;不分 顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球,为二等奖;取到的 4 个球中有标有“生”“意”“兴”三个 字的球为三等奖. (Ⅰ)求分别获得一、二、三等奖的概率; (Ⅱ)设摸球次数为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望. 20.已知曲线 C:y=e . (Ⅰ)若曲线 C 在点(0,1)处的切线为 y=2x+m,求实数 a 和 m 的值; (Ⅱ)对任意实数 a,曲线 C 总在直线 l:y=ax+b 的上方,求实数 b 的取值范围.
ax

2

2

2

21.已知椭圆 W:

=1,直线 l 与 W 相交于 M,N 两点,l 与 x 轴、y 轴分别相交于 C、

D 两点,O 为坐标原点. (Ⅰ)若直线 l 的方程为 x+2y﹣1=0,求△OCD 外接圆的方程; (Ⅱ)判断是否存在直线 l,使得 C,D 是线段 MN 的两个三等分点,若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

22.已知函数



(I)当 a=1 时,求 f(x)在 x∈[1,+∞)最小值; (Ⅱ)若 f(x)存在单调递减区间,求 a 的取值范围; (Ⅲ)求证: (n∈N ) .
*

2014-2015 学年贵州省遵义市余庆中学高二(下)期中数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一.选择题: (每小题 5 分,60) 1.复数 z=1﹣i,则 A. =( B. ) C. D.

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:计算题. 分析:把复数 z 代入后前一部分采用复数的除法运算, 然后在把实部和实部相加, 虚部和虚 部相加. 解答: 解:因为 z=1﹣i,所以 = .

故选 D. 点评:本题考查了复数代数形式的乘除运算, 复数的除法采用的是分子分母同时乘以分母的 共轭复数,是基础题.

2. 已知 p: x≥k, q: A. [2,+∞)

<1, 如果 p 是 q 的充分不必要条件, 则实数 k 的取值范围是 ( B. (2,+∞) C. [1,+∞)



D.(﹣∞, ﹣1)

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析:求出不等式 q 的等价条件,根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 解答: 解:∵ ∴ ﹣1= <1, <0,即(x﹣2) (x+1)>0,

∴x>2 或 x<﹣1, ∵p 是 q 的充分不必要条件, ∴k>2, 故选:B. 点评:本题主要考查充分条件和必要条件的应用,利用不等式之间的关系是解决本题的关 键,比较基础.

3. A. ﹣160

的展开式中常数项是( B. ﹣20

) C. 20 D. 160

考点:二项式系数的性质. 专题:计算题. 分析:利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,令 x 的指数为 0,求出 r,进而求出 展开式的常数项. 解答: 解:展开式的通项为 Tr+1=(﹣2) C6 x 令 3﹣r=0 得 r=3
3 3 r r 3﹣r

所以展开式的常数项为(﹣2) C6 =﹣160 故选 A 点评:本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题. 4.如果 f′(x)是二次函数,且 f′(x)的图象开口向上,顶点坐标为 线 y=f(x)上任一点的切线的倾斜角 α 的取值范围是( ) A. D. B. C. ,那么曲

考点:导数的几何意义;直线的倾斜角. 专题:计算题. 分析:由二次函数的图象可知最小值为 ,再根据导数的几何意义可知 k=tanα≥ 正切函数的图象求出角 α 的范围. 解答: 解:根据题意得 f′(x)≥ 则曲线 y=f(x)上任一点的切线的斜率 k=tanα≥ 结合正切函数的图象 由图可得 α∈ 故选 B.

,结合

点评:本题考查了导数的几何意义, 以及利用正切函数的图象求倾斜角, 同时考查了数形结 合法的应用,本题属于中档题.

5.设随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,9) ,若 P(ξ>c)=P(ξ<c﹣2) ,则 c 的值是( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4



考点:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题:计算题;概率与统计. 分析:随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,9) ,得到曲线关于 x=2 对称,根据 P(ξ>c)=P(ξ <c﹣2) ,结合曲线的对称性得到点 c 与点 c﹣2 关于点 2 对称的,从而做出常数 c 的值得到 结果. 解答: 解:随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,9) , ∴曲线关于 x=2 对称, ∵P(ξ>c)=P(ξ<c﹣2) , ∴ ,

∴c=3 故选:C. 点评:本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义, 考查概率的性质, 是一个基础题.

6.已知椭圆 的周长为( A. 10 )

=1(a>5)的两个焦点为 F1、F2,且|F1F2|=8,弦 AB 过点 F1,则△ABF2

B. 20

C.

D.

考点:椭圆的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:根据椭圆 =1,得出 b=5,再由|F1F2|=8,可得 c=4,求得 a= ,运用定义整

体求解△ABF2 的周长为 4a,即可求解. 解答: 解:由|F1F2|=8,可得 2c=8,即 c=4, 由椭圆的方程 =1(a>5)得:b=5,

则 a=

=



由椭圆的定义可得, △ABF2 的周长为 c=|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|BF1|+|BF2|+|AF2| =(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a=4 . 故选:D. 点评:本题考查了椭圆的方程,定义,整体求解的思想方法,属于中档题. 7.小明有 4 枚完全相同的硬币,每个硬币都分正反两面.他想把 4 个硬币摆成一摞,且满 足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有( ) A. 4 种 B. 5 种 C. 6 种 D. 9 种

考点:分类加法计数原理. 专题:分类讨论. 分析:4 枚硬币摆成一摞,应该有 3 类: (1)正反依次相对, (2)有两枚反面相对, (3)有 两枚正面相对;本题(1) (2)满足题意. 解答: 解:记反面为 1,正面为 2;则正反依次相对有 12121212,21212121 两种;有两枚 反面相对有 21121212,21211212,21212112;共 5 种摆法, 故选 B 点评:本题考查的是排列组合中的分类计数原理, 对于元素较少的可以利用列举法求解; 属 于基本知识和基本方法的考查. 8.给出如下四个命题: ①若“p∨q”为真命题,则 p、q 均为真命题; a b a b ②“若 a>b,则 2 >2 ﹣1”的否命题为“若 a≤b,则 2 ≤2 ﹣1”; 2 2 ③“?x∈R,x +x≥1”的否定是“?x0∈R,x0 +x0≤1”; ④“x>0”是“x+ ≥2”的充要条件. 其中不正确的命题是( ) A. ①② B. ②③

C. ①③

D. ③④

考点:命题的真假判断与应用. 专题:综合题;简易逻辑. 分析: ①“p∨q”为真命题,p、q 二者中只要有一真即可; ②写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论; ③直接写出全称命题的否定判断; ④利用基本不等式,可得结论. 解答: 解:①“p∨q”为真命题,p、q 二者中只要有一真即可,故不正确; ②“若 a>b,则 2 >2 ﹣1”的否命题为“若 a≤b,则 2 ≤2 ﹣1”,正确; 2 2 ③“?x∈R,x +x≥1”的否定是“?x0∈R,x0 +x0<1”,故不正确; ④“x>0”时,“x+ ≥2”,若“x+ ≥2”,则“x>0”,∴“x>0”是“x+ ≥2”的充要条件,故正确. 故选:C. 点评:本题考查命题的真假判断与应用,考查复合命题的真假判断,考查了命题的否命题、 全称命题的否定、充要条件,属于中档题. 9.对于 R 上可导的任意函数 f(x) ,若满足(x﹣2)f′(x)≤0,则必有( ) A. f(﹣3)+f(3)<2f(2) B. f(﹣3)+f(7)>2f(2) C.(﹣ f 3)+f(3)≤2f(2) D. f(﹣3)+f(7)≥2f(2) 考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析:借助导数知识,根据(x﹣2)f′(x)≥0,判断函数的单调性,再利用单调性,比较 函数值的大小即可. 解答: 解:∵对于 R 上可导的任意函数 f(x) , (x﹣2)f′(x)≥0
a b a b

∴有



即当 x∈[2,+∞)时,f(x)为增函数, 当 x∈(﹣∞,2]时,f(x)为减函数 ∴f(1)≥f(2) ,f(3)≥f(2) ∴f(1)+f(3)≥2f(2) 故选:C 点评:本题考查了利用导数判断抽象函数单调性,以及利用函数的单调性比较函数值的大 小. 10.如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面为正方形,PD⊥底面 ABCD,PD=AD=1,设点 CG 到 平面 PAB 的距离为 d1,点 B 到平面 PAC 的距离为 d2,则有( )

A. 1<d1<d2

B. d1<d2<1

C. d1<1<d2

D. d2<d1<1

考点:点、线、面间的距离计算. 专题:综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析:过 C 做平面 PAB 的垂线,垂足为 E,连接 BE,则三角形 CEB 为直角三角形,根据 斜边大于直角边,再根据面 PAC 和面 PAB 与底面所成的二面角,能够推导出 d2<d1<1. 解答: 解:过 C 做平面 PAB 的垂线, 垂足为 E,连接 BE, 则三角形 CEB 为直角三角形,其中∠CEB=90°, 根据斜边大于直角边,得 CE<CB,即 d2<1. 同理,d1<1. 再根据面 PAC 和面 PAB 与底面所成的二面角可知,前者大于后者, 所以 d2<d1. 所以 d2<d1<1. 故选 D. 点评:本题考查空间距离的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意空间角的灵活运用.

11.已知双曲线

(a>0,b>0)的焦点 F1(﹣c,0) 、F2(c,0) (c>0) ,过 F2 + = , + = ,

的直线 l 交双曲线于 A,D 两点,交渐近线于 B,C 两点.设 则下列各式成立的是( A. | |>| | ) B. | |<| | C. | ﹣ |=0

D. | ﹣ |>0

考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:特殊化, 取过 F2 垂直于 x 轴的直线 l 交双曲线于 A, D 两点, 交渐近线于 B, C 两点, 可得 + = =2 , + = =2 ,即可得出结论.

解答: 解:取过 F2 垂直于 x 轴的直线 l 交双曲线于 A,D 两点,交渐近线于 B,C 两点, 则 + = =2 , + = =2 ,

∴| ﹣ |=0. . 故选:C 点评:特殊化是我们解决选择、填空题的常用方法. 12.已知函数 f(x)=x (n∈N )的图象与直线 x=1 交于点 P,若图象在点 P 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 xn,则 log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012 的值为( ) A. 1﹣log20132012 B. ﹣1 C. ﹣log20132012 D. 1 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;数列的函数特性. 专题:计算题;导数的概念及应用. 分析:先求点 P(1,1) ,再求曲线在点 P(1,1)处的切线方程,从而得出切线与 x 轴的 交点的横坐标为 xn,再求相应的函数值. n+1 * 解答: 解:∵函数 f(x)=x (n∈N )的图象与直线 x=1 交于点 P, ∴P(1,1) , ∵y=x ,∴y′=(n+1)x ,当 x=1 时,y′=n+1,即切线的斜率为:n+1, n+1 故 y=x 在(1,1)处的切线方程为 y﹣1=(n+1) (x﹣1) , 令 y=0 可得 x= , , = =﹣1,
n+1 n n+1 *

即该切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn=

所以 log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012=log2013 × × ×…×

故选 B. 点评:本题考查导数的几何意义的应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意利用对数运算 的性质求出函数,属中档题. 二.填空题: (每小题 5 分,20) 13.由曲线 y=sinx,y=cosx 与直线 x=0,x= 面积是 2 ﹣2 . 所围成的平面图形(下图中的阴影部分)的

考点:余弦函数的图象. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:三角函数的对称性可得 S=2 ,求定积分可得.

解答: 解:由三角函数的对称性和题意可得 S=2

=2(sinx+cosx)

=2(

+

)﹣2(0+1)=2

﹣2

故答案为:2 ﹣2 点评:本题考查三角函数的对称性和定积分求面积,属基础题. 14.设 F 为抛物线 C:y =4x 的焦点,过点 P(﹣1,0)的直线 l 交抛物线 C 于两点 A,B, 点 Q 为线段 AB 的中点,若|FQ|=2,则直线 l 的斜率等于 不存在 . 考点:直线与圆锥曲线的关系;直线的斜率. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:由题意设直线 l 的方程为 my=x+1, 联立
2 2

得到 y ﹣4my+4=0, △=16m ﹣16=16

2

2

(m ﹣1) >0. 设A (x1, y1) , B (x2, y2) , Q (x0, y0) . 利用根与系数的关系可得 y1+y2=4m, 利用中点坐标公式可得
2

=2m,x0=my0﹣1=2m ﹣1.Q(2m ﹣1,2m) ,由抛物

2

2

线 C:y =4x 得焦点 F(1,0) .再利用两点间的距离公式即可得出 m 及 k,再代入△判断是 否成立即可. 解答: 解: 由题意设直线 l 的方程为 my=x+1, 联立 ﹣16=16(m ﹣1)>0. 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,Q(x0,y0) . ∴y1+y2=4m,∴ =2m,∴x0=my0﹣1=2m ﹣1.
2 2

得到 y ﹣4my+4=0, △=16m

2

2

∴Q(2m ﹣1,2m) , 2 由抛物线 C:y =4x 得焦点 F(1,0) . ∵|QF|=2,∴ ,化为 m =1,解得 m=±1,不满足△>0.
2

2

故满足条件的直线 l 不存在. 故答案为不存在. 点评:本题综合考查了直线与抛物线的位置关系与△的关系、根与系数的关系、中点坐标关 系、两点间的距离公式等基础知识,考查了推理能力和计算能力. 15.将全体正奇数排成一个三角形数阵如图:按照以上排列的规律,第 n 行(n≥3)从左向 2 右的第 3 个数为 n ﹣n+5 .

考点:归纳推理. 专题:探究型. 分析:根据数阵的排列规律确定第 n 行(n≥3)从左向右的第 3 个数为多少个奇数即可. 解答: 解:根据三角形数阵可知,第 n 行奇数的个数为 n 个,则前 n﹣1 行奇数的总个数 为 1+2+3+…+(n﹣1)= 个, 个奇数, =n ﹣n+5.
2

则第 n 行(n≥3)从左向右的第 3 个数为为第 所以此时第 3 个数为:1
2

故答案为:n ﹣n+5. 点评:本题主要考查归纳推理的应用,利用等差数列的通项公式是解决本题的关键. 16.已知 O 是△ABC 的外心,AB=2a,AC= ,∠BAC=120°,若 最小值是 2 . 考点:向量在几何中的应用. 专题:平面向量及应用. 分析:建立直角坐标系,求出三角形各顶点的坐标,因为 O 为△ABC 的外心,把 AB 的中 垂线 m 方程和 AC 的中垂线 n 的方程,联立方程组,求出 O 的坐标,利用已知向量间的关 系,待定系数法求 x 和 y 的值,最后利用基本不等式求最小值即可. 解答: 解:如图:以 A 为原点,以 AB 所在的直线为 x 轴,建立直角系: 则 A(0,0) ,B (2a,0) ,C(﹣ , ) ,

=x

+y

,则 x+y 的

∵O 为△ABC 的外心, ∴O 在 AB 的中垂线 m:x=a 上,又在 AC 的中垂线 n 上,

AC 的中点(﹣



) ,AC 的斜率为 tan120°=﹣ = (x+ ) .



∴中垂线 n 的方程为 y﹣

把直线 m 和 n 的方程联立方程组 解得△ABC 的外心 O(a, 由条件 =x +y



+

) , + ) ) ,

,得(a,

=x(2a,0)+y(﹣ ,

)=(2ax﹣ ,



,解得 x= +

,y=



∴x+y= +

+

= + (



=2.

当且仅当 a=1 时取等号. 故答案为:2.

点评:本题考查求两条直线的交点坐标的方法, 三角形外心的性质, 向量的坐标表示及向量 相等的条件,待定系数法求参数值.属中档题. 三.解答题: 17.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,D 是 BC 的中点. (1)求证:A1B∥平面 ADC1; (2)求二面角 C1﹣AD﹣C 的余弦值.

考点:用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定;二面角的平面角及求法. 专题:综合题. 分析: (1)连接 A1C,交 AC1 于点 O,连接 OD.由 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱,得四 边形 ACC1A1 为矩形,由此利用三角形中位线能够证明 A1B∥平面 ADC1. (2)由 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱,且∠ABC=90°,知 BA,BC,BB1 两两垂直.由此能求 出二面角 C1﹣AD﹣C 的余弦值. 解答: (1)证明:连接 A1C,交 AC1 于点 O,连接 OD. 由 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱, 得四边形 ACC1A1 为矩形, O 为 A1C 的中点,又 D 为 BC 中点, 所以 OD 为△A1BC 中位线, 所以 A1B∥OD, 因为 OD?平面 ADC1,A1B?平面 ADC1,所以 A1B∥平面 ADC1.…(6 分) (2)解:由 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱, 且∠ABC=90°, 故 BA,BC,BB1 两两垂直. 以 BA 为 x 轴,以 BC 为 y 轴,以 BB1 为 z 轴,建立空间直角坐标系, ∵AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,D 是 BC 的中点, ∴可设 AA1=1,AB=BC=2,BD=DC=1, ∴A(2,0,0) ,D(0,1,0) ,C(0,2,0) ,C1(0,2,1) , ∴ =(﹣2,2,1) , , ,

设平面 ADC1 的法向量为 则 , ,



,∴ =(1,2,﹣2) , , >|=| |= .

∵平面 ADC 的法向量

所以二面角 C1﹣AD﹣C 的余弦值为|cos<

点评:本题考查直线与平面平行的证明,考查二面角的求法.解题时要认真审题,注意合理 地化空间问题为平面问题,注意向量法的合理运用. 18.已知 a,b,c∈R,a +b +c =1. (Ⅰ)求证:|a+b+c|≤ ; 2 (Ⅱ)若不等式|x﹣1|+|x+1|≥(a﹣b+c) 对一切实数 a,b,c 恒成立,求实数 x 的取值范围. 考点:二维形式的柯西不等式;函数恒成立问题. 专题:选作题;不等式. 2 2 2 2 2 2 2 分析: (Ⅰ)利用柯西不等式得, (a+b+c) ≤(1 +1 +1 ) (a +b +c )=3; 2 2 2 2 2 2 2 (Ⅱ)同理, (a﹣b+c) ≤[1 +(﹣1) +1 ](a +b +c )=3,问题等价于|x﹣1|+|x+1|≥3. 2 2 2 2 2 2 2 解答: 解: (Ⅰ)由柯西不等式得, (a+b+c) ≤(1 +1 +1 ) (a +b +c )=3 所以﹣ ≤a+b+c≤ 所以:|a+b+c|≤ ; …(5 分) 2 2 2 2 2 2 2 (Ⅱ)同理, (a﹣b+c) ≤[1 +(﹣1) +1 ](a +b +c )=3 …(7 分) 2 若不等式|x﹣1|+|x+1|≥(a﹣b+c) 对一切实数 a,b,c 恒成立, 则|x﹣1|+|x+1|≥3,解集为(﹣∞,﹣ ]∪[ ,+∞) …(10 分)
2 2 2

点评:本题考查柯西不等式,考查恒成立问题,正确运用柯西不等式是关键. 19.某商场在店庆日进行抽奖促销活动,当日在该店消费的顾客可参加抽奖.抽奖箱中有大 小完全相同的 4 个小球,分别标有字“生”“意”“兴”“隆”.顾客从中任意取出 1 个球,记下上 面的字后放回箱中,再从中任取 1 个球,重复以上操作,最多取 4 次,并规定若取出“隆” 字球,则停止取球.获奖规则如下:依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖;不分 顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球,为二等奖;取到的 4 个球中有标有“生”“意”“兴”三个 字的球为三等奖. (Ⅰ)求分别获得一、二、三等奖的概率; (Ⅱ)设摸球次数为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望. 考点:离散型随机变量的期望与方差;相互独立事件的概率乘法公式. 专题:计算题. 分析: (Ⅰ)由题意设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件 A,B,C,利用独立 事件同时发生的概率公式及互斥事件的概率公式即可求得; (Ⅱ)由于摸球次数为 ξ,按题意则 ξ=1,2,3,4,利用随机变变量的定义及随机变量的分 布列及期望定义即可求得.

解答: 解: (Ⅰ)设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件 A,B,C. 则 P(A)= ,

P(B)=

=



三等奖的情况有:“生,生,意,兴”;“生,意,意,兴”;“生,意,兴,兴”三种情况. P(C) = (Ⅱ)设摸球的次数为 ξ,则 ξ=1,2,3,4. , , . 故取球次数 ξ 的分布列为 ξ 1 P = . , = ;

2

3

4

点评:此题考查了学生的理解及计算能力, 考查了独立事件同时发生及互斥事件一个发生的 概率公式,还考查了离散型随机变量的定义及分布列,随机变量的期望. 20.已知曲线 C:y=e . (Ⅰ)若曲线 C 在点(0,1)处的切线为 y=2x+m,求实数 a 和 m 的值; (Ⅱ)对任意实数 a,曲线 C 总在直线 l:y=ax+b 的上方,求实数 b 的取值范围. 考点:导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)根据导数的几何意义,y=e 在 x=0 处的切线方程为 y﹣1=y′(0)x,再比较 已知条件,可得; ax ax (Ⅱ)原题意可转化为对于?x,a∈R,e >ax+b 恒成立,法 1:进一步转化为?x,a∈R,e ax ﹣ax﹣b>0 恒成立,令 g(x)=e ﹣ax﹣b,分别从 a=0 和 a≠0 两种情况通过求导的方式进 ax 一步分析;法 2:进一步转化为?x,a∈R,b<e ﹣ax 恒成立,再令 t=ax,则等价于?t∈R, t t b<e ﹣t 恒成立,再通过研究函数 g(t)=e ﹣t 的性质求解. ax 解答: 解: (Ⅰ)y'=ae , 因为曲线 C 在点(0,1)处的切线为 L:y=2x+m, 所以 1=2×0+m 且 y'|x=0=2. 解得 m=1,a=2 (Ⅱ)法 1:对于任意实数 a,曲线 C 总在直线的 y=ax+b 的上方,等价于 ax ?x,a∈R,都有 e >ax+b, ax 即?x,a∈R,e ﹣ax﹣b>0 恒成立, ax 令 g(x)=e ﹣ax﹣b,
ax ax

①若 a=0,则 g(x)=1﹣b, 所以实数 b 的取值范围是 b<1; ②若 a≠0,g'(x)=a(e ﹣1) , 由 g'(x)=0 得 x=0,g'(x) ,g(x)的情况如下: x (﹣∞,0) 0 (0,+∞) g'(x) ﹣ 0 + g(x) ↘ 极小值 ↗ 所以 g(x)的最小值为 g(0)=1﹣b, 所以实数 b 的取值范围是 b<1; 综上,实数 b 的取值范围是 b<1. 法 2:对于任意实数 a,曲线 C 总在直线的 y=ax+b 的上方,等价于 ?x,a∈R,都有 e >ax+b,即 ax ?x,a∈R,b<e ﹣ax 恒成立, t 令 t=ax,则等价于?t∈R,b<e ﹣t 恒成立, t t 令 g(t)=e ﹣t,则 g'(t)=e ﹣1, 由 g'(t)=0 得 t=0,g'(t) ,g(t)的情况如下: t (﹣∞,0) 0 (0,+∞) g'(t) ﹣ 0 + g(t) ↘ 极小值 ↗ t 所以 g(t)=e ﹣t 的最小值为 g(0)=1, 实数 b 的取值范围是 b<1. 点评:本题中的导数的几何意义和利用导数研究函数的性质, 是高考中经常考查的知识点和 方法,特别是第二小问,通过数形转化后,对于“?x,a∈R,e ﹣ax﹣b>0 恒成立,”的处理 介绍了两种方法,对于拓宽学生的思维,拓展学生的思路有一定的指导作用,不过不管是哪 种方法,最终都需要用导数的知识来进一步分析.
ax ax ax

21.已知椭圆 W:

=1,直线 l 与 W 相交于 M,N 两点,l 与 x 轴、y 轴分别相交于 C、

D 两点,O 为坐标原点. (Ⅰ)若直线 l 的方程为 x+2y﹣1=0,求△OCD 外接圆的方程; (Ⅱ)判断是否存在直线 l,使得 C,D 是线段 MN 的两个三等分点,若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:综合题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)由直线 l 的方程为 x+2y﹣1=0,求出 C,D 的坐标,进而可求△OCD 外接圆 的圆心与半径,即可求△OCD 外接圆的方程; (Ⅱ) 存在直线 l, 使得 C, D 是线段 MN 的两个三等分点. 设直线 l 的方程为 y=kx+m (km≠0) , 与椭圆方程联立,由 C,D 是线段 MN 的两个三等分点,得线段 MN 的中点与线段 CD 的中 点重合,利用韦达定理,求出 k,由 C,D 是线段 MN 的两个三等分点,得|MN|=3|CD|,求 出 m,即可得出结论. 解答: 解: (Ⅰ)因为直线 l 的方程为 x+2y﹣1=0, 所以与 x 轴的交点 C(1,0) ,与 y 轴的交点 .…(1 分)

则线段 CD 的中点 即△OCD 外接圆的圆心为 所以△OCD 外接圆的方程为



,…(3 分)

,半径为

, .…(5 分)

(Ⅱ)存在直线 l,使得 C,D 是线段 MN 的两个三等分点. 理由如下: 由题意,设直线 l 的方程为 y=kx+m(km≠0) ,M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 则 ,D(0,m) ,…(6 分)

由方程组
2 2

得(1+2k )x +4kmx+2m ﹣2=0,…(7 分)

2

2

2

所以△=16k ﹣8m +8>0, (*) 由韦达定理,得 ,

…(8 分) .…(9 分)

由 C,D 是线段 MN 的两个三等分点,得线段 MN 的中点与线段 CD 的中点重合. 所以 ,…(10 分)

解得

.…(11 分)

由 C,D 是线段 MN 的两个三等分点,得|MN|=3|CD|. 所以 ,…(12 分)





解得

.…(13 分)

验证知(*)成立. 所以存在直线 l, 使得 C, D 是线段 MN 的两个三等分点, 此时直线 l 的方程为 或 .…(14 分) ,

点评:本题考查圆的方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理的运用,考查学生分 析解决问题的能力,综合性强.

22.已知函数



(I)当 a=1 时,求 f(x)在 x∈[1,+∞)最小值; (Ⅱ)若 f(x)存在单调递减区间,求 a 的取值范围; (Ⅲ)求证: (n∈N ) .
*

考点:数学归纳法;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:计算题;证明题. 分析: (I)可先求 f′(x) ,从而判断 f(x)在 x∈[1,+∞)上的单调性,利用其单调性求 f(x)在 x∈[1,+∞)最小值; (Ⅱ)求 h′(x) ,可得
2

,若 f(x)存在

单调递减区间, 需 h′ (x) <0 有正数解. 从而转化为: ax +2 (a﹣1) x+a<0 有 x>0 的解. 通 过对 a 分 a=0,a<0 与当 a>0 三种情况讨论解得 a 的取值范围; (Ⅲ) (法一)根据(Ⅰ)的结论,当 x>1 时, ? ,再构造函数,



,有

,从而

,问题可解决;

(法二)可用数学归纳法予以证明.当 n=1 时,ln(n+1)=ln2,3ln2=ln8>1? 立;设当 n=k 时, ,再去证明 n=k+1 时, 即可(需用好归纳假设) . 解答: 解: (I) ,定义域为(0,+∞) .

,成

∵ ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. 当 x≥1 时,f(x)≥f(1)=1; (3 分) (Ⅱ)∵





∵若 f(x)存在单调递减区间, 2 ∴f′(x)<0 有正数解.即 ax +2(a﹣1)x+a<0 有 x>0 的解. (5 分) ①当 a=0 时,明显成立. 2 2 ②当 a<0 时,y=ax +2(a﹣1)x+a 为开口向下的抛物线,ax +2(a﹣1)x+a<0 总有 x>0 的解; 2 ③当 a>0 时,y=ax +2(a﹣1)x+a 开口向上的抛物线,

即方程 ax +2(a﹣1)x+a=0 有正根. 因为 x1x2=1>0, 2 所以方程 ax +2(a﹣1)x+a=0 有两正根. ,解得 .

2

综合①②③知: (Ⅲ)

. (9 分)

(法一)根据(Ⅰ)的结论,当 x>1 时, 令 ,则有 ,

,即















(12 分)

(法二)当 n=1 时,ln(n+1)=ln2. ∵3ln2=ln8>1,∴ ,即 n=1 时命题成立. . . ,即 .

设当 n=k 时,命题成立,即 ∴n=k+1 时, 根据(Ⅰ)的结论,当 x>1 时, 令 则有 ,则有 ,

,即 n=k+1 时命题也成立.

因此,由数学归纳法可知不等式成立. (12 分) 点评:本题考查利用导数研究函数的单调性及数学归纳法,难点之一在于(Ⅱ)中通过求 h′ 2 (x)后,转化为:ax +2(a﹣1)x+a<0 有 x>0 的解的问题,再用分类讨论思想来解决; 难点之二在于(Ⅲ)中法一通过构造函数 法,其中也有构造函数的思想,属于难题. ,用放缩法证得结论,法二通过数学归纳


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