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江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编--圆锥曲线11


2013 届高三上学期期末数学试题分类汇编

圆锥曲线
一、填空题 1、 (常州市 2013 届高三期末) 已知双曲线 则该双曲线的离心率的值为 2、 (连云港市 2013 届高三期末)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2 = 4x 的准线交于 A、B 两点,AB = 3,则 C 的实轴长为
2

r />x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线经过点 (1, 2) , a 2 b2

.

3、 (南京市、盐城市 2013 届高三期末)已知 F1 、 F2 分别是椭圆 点 P 是椭圆上的任意一点, 则

| PF1 ? PF2 | 的取值范围是 PF1

x y2 ? ? 1 的左、右焦点, 8 4


2 y2 4、 (南通市 2013 届高三期末)已知双曲线 x 2 ? 2 ? 1 的一个焦点与圆 x2+y2-10x=0 的圆心 a b

重合,且双曲线的离心率等于 5 ,则该双曲线的标准方程为 5、 (徐州、淮安、宿迁市 2013 届高三期末)已知双曲线
x2 a2 ? y2 b2


? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点

为 F , 若以 F 为圆心的圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 与此双曲线的渐近线相切,则该双曲线的离心 率为 . 6 、( 苏 州 市 2013 届 高 三 期 末 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 双 曲 线

E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左顶点为 A ,过双曲线 E 的右焦点 F 作与实轴垂直的直线 a 2 b2


交双曲线 E 于 B , C 两点,若 ?ABC 为直角三角形,则双曲线 E 的离心率为 7、 (泰州市 2013 届高三期末)设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 为双 4 5

曲线上位于第一象限内一点,且 ? PF1 F2 的面积为 6,则点 P 的坐标为 8、 (无锡市 2013 届高三期末)如图,过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线 L 交抛物线 于点 A、B,交其准线于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则 此抛物线的方程为 。 9、 (扬州市 2013 届高三期末)已知圆 C 的圆心为抛物线

y 2 ? ?4 x 的焦点,又直线 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 与圆 C 相切,则圆 C
的标准方程为 . 10、 (镇江市 2013 届高三期末)圆心在抛物线 x 2 ? 2 y 上,并且 和抛物线的准线及 y 轴都相切的圆的标准方程为 .

第 1 页 共 4 页

二、解答题 1、 (常州市 2013 届高三期末)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,已知 F1 , F2 分别是椭圆 E:

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 左 、 右 焦 点 , A , B 分 别 是 椭 圆 E 的 左 、 右 顶 点 , 且 a 2 ???? ? b? ???? ? AF2 ? 5BF2 ? 0 .

(1)求椭圆 E 的离心率; (2) 已知点 D ?1, 0 ? 为线段 OF2 的中点, 为椭圆 E 上的动点 M (异于点 A 、B ) 连接 MF1 , 并延长交椭圆 E 于点 N ,连接 MD 、 ND 并分别延长交椭圆 E 于点 P 、 Q ,连接 PQ , 设直线 MN 、 PQ 的斜率存在且分别为 k1 、k2 ,试问是否存在常数 ? ,使得 k1 ? ? k2 ? 0 恒 成立?若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由.

2、 (连云港市 2013 届高三期末)已知椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的上顶点为 A,左,右 a2 b2

焦点分别为 F1, 2,且椭圆 C 过点 P ( , ) ,以 AP 为直径的圆恰好过右焦点 F2. F (1)求椭圆 C 的方程; (2)若动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,试问:在 x 轴上是否存在两定点,使其 到直线 l 的距离之积为 1?若存在,请求出两定点坐标;若不存在,请说明理由.

4 b 3 3

y A P F1 O
1

F2

x

(第 2 题图) 第 2 页 共 4 页

4、 (南通市 2013 届高三期末)已知左焦点为 F(-1,0)的椭圆过点 E(1, 2 3 ).过点 P(1, 3 1)分别作斜率为 k1,k2 的椭圆的动弦 AB,CD,设 M,N 分别为线段 AB,CD 的中点. (1)求椭圆的标准方程; (2)若 P 为线段 AB 的中点,求 k1; (3)若 k1+k2=1,求证直线 MN 恒过定点,并求出定点坐标.

5、 (徐州、淮安、宿迁市 2013 届高三期末)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆
E: x2 a
2

?

y2 b
2

? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2,且过点 ( 2 ,

6 ). 2

(1) 求椭圆 E 的方程; (2) 若点 A , B 分别是椭圆 E 的左、右顶点,直线 l 经过点 B 且垂直于 x 轴,点 P 是椭 圆上异于 A , B 的任意一点,直线 AP 交 l 于点 M . (ⅰ)设直线 OM 的斜率为 k 1 , 直线 BP 的斜率为 k 2 ,求证: k 1 k 2 为定值; (ⅱ)设过点 M 垂直于 PB 的直线为 m . 求证:直线 m 过定点,并求出定点的坐标.

y P A
O

M

B
x
l

m

第 3 页 共 4 页

6、 (苏州市 2013 届高三期末)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 F 是椭圆

x2 y 2 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点, A , B , C 分别为椭圆 E 的右、下、上顶点,满足 a b ??? ??? ? ? 1 FC ?BA ? 5 ,椭圆的离心率为 . 2
(1)求椭圆的方程; (2)若 P 为线段 FC (包括端点)上任意一点,当 PA?PB 取得最小值时,求点 P 的 坐标; (3)设点 M 为线段 BC (包括端点)上的一个动点,射线 MF 交椭圆于点 N ,若

??? ??? ? ?

???? ???? ? NF ? ? FM ,求实数 ? 的取值范围.

y

C M O N B A

x

9、 (镇江市 2013 届高三期末)已知椭圆 O 的中心在原点,长轴在 x 轴上,右顶点 A(2,0) 到 右焦点的距离与它到右准线的距离之比为

3 1 . 不过 A 点的动直线 y ? x ? m 交椭圆 2 2

O 于 P,Q 两点.
(1)求椭圆的标准方程; (2)证明 P,Q 两点的横坐标的平方和为定值; (3)过点 A,P,Q 的动圆记为圆 C,动圆 C 过不同于 A 的定点,请求出该定点坐标.

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