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数列三角文科


1 三角函数的图象与性质
1.已知函数 f ( x) ? 4 cos x sin( x ? ) ? 1 .

? 6

(1)求 f ( x ) 的最小正周期;

(2)求 f ( x ) 在区间 [ ?

? ? , ] 上的最大值和最小值. 6 4

2.已知函数 f

( x) ?

(sin x ? cos x) sin 2 x . sin x

(1)求 f ( x) 的定义域及最小正周期; (2)求 f ( x) 的单调递增区间. 3.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ) ? 1( A ? 0, ? ? 0) 的最大值为 3,其图象相邻两条对称轴之间的

? 6

距离为

? . 2

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)设 ? ? (0, ) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值.

? 2

?

2

4.设 f ( x) ? 4 cos(? x ? ) sin ? x ? cos(2? x ? ?) ,其中 ? ? 0 . (1)求函数 f ( x) 的值域; (2)若 f ( x) 在区间 [?

? 6

?? ? , ] 上为增函数,求 ? 的最大值. 2 2

? 5.已知函数 f ? x ? ? 3 sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0,
且图象上相邻两个最高点的距离为 ? . (1)求 ? 和 ? 的值;

? ?

? ? ?? ? ? ? ? 的图象关于直线 x ? 对称, 3 2 2?

(2)若 f ( ) ?

?

2

3? 3 ? 2? ( ? ? ? ) ,求 cos(? ? ) 的值. 2 4 6 3

6.某同学用“五点法”画函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( ? ? 0 , | ? |? 图象时,列表并填入了部分数据,如下表:

? )在某一个周期内的 2

?x ??

0

? 2
? 3

?

3? 2
5? 6

2?

x

A sin(? x ? ? )

0

5

?5

0

(1)请将上表数据补充完整,并求出函数 f ( x ) 的解析式; (2)将 y ? f ( x) 的图象向左平移

? 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象.若关于 x 的方 6

程 g ( x) ? (2m ? 1) ? 0 在 [0, ] 上有两个不同的解,求实数 m 的取值范围. 7.已知电流 I 与时间 t 的关系式为 I ? A sin(?t ? ? ) . (1)下图是 I ? A sin(?t ? ? ) (? ? 0, ? ?

? 2

? ) 在一个周期内的图象,根据图中数据求 2

I ? A sin(?t ? ? ) 的解析式;

(2)如果 t 在任意一段

1 秒的时间内,电流 I ? A sin(?t ? ? ) 都能取得最大值和最小 150

值,那么 ? 的最小正整数值是多少?

8.已知函数 f ? x ? ?

1 sin 2 x ? 3 cos 2 x . 2

(1)求 f ? x ? 的最小正周期和单调递增区间; (2)将函数 f ? x ? 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数

g ? x ? 的图象.当
?? ? x ? ? , ? ? 时,求 g ? x ? 的值域. ?2 ?

9.已知函数 f ? x ? ? sin x ? sin ? x ?
2 2

? ?

?? ?, x?R . 6?

(1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)求 f ( x ) 在区间 [ -

? ? , ] 上的最大值和最小值. 3 4

10.已知函数 f ( x) ? 4 cos ? x ? sin(? x ? )(? ? 0) 的最小正周期为 ? . (1)求 ? 的值; (2)讨论 f ( x ) 在区间 ?0, ? 上的单调性. 2 11.已知 sin ? tan ? ? (1)求 ? 的值; (2)求函数 f ? x ? ? 4cos x cos ? x ? ? ? 在 [0, ] 上的值域.

? 4

? ?? ? ?

3 ,且 0 ? ? ? ? . 2

? 4

12.已知函数 f ( x) ? 2sin(? x) ,其中常数 ? ? 0 . (1)若 y ? f ( x) 在 [?

? 2? , ] 上单调递增,求 ? 的取值范围; 4 3
? 个单位,再向上平移 1 个单位,得 6

(2)令 ? ? 2 ,将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移

到函数 y ? g ( x) 的图象. 区间 [a, b](a, b ? R, 且a < b) 满足: y ? g ( x) 在 [ a, b] 上至少 含有 30 个零点.在所有满足上述条件的 [ a, b] 中,求 b ? a 的最小值. 13.已知函数 f ( x ) =4tan xsin(

? ? ? x )cos( x ? ) ? 3 . 2 3

(Ⅰ)求 f(x)的定义域与最小正周期; (Ⅱ)讨论 f(x)在区间[ ?

? ? , ]上的单调性. 4 4

π 14. 某同学用“五点法”画函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (? ? 0, | ? |? ) 在某一个周期内的图象时, 2

列表并填入了部分数据,如下表:

?x ? ?
x

0

π 2 π 3

π

3π 2 5π 6



A sin(? x ? ? )

0

5

?5

0

(1)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置 ,并直接写出函数 f ( x) 的解析 ........... 式; (2)将 y ? f ( x) 图象上所有点向左平行移动 ? (? ? 0) 个单位长度,得到 y ? g ( x) 的图 象. 若 y ? g ( x) 图象的一个对称中心为 (
5π , 0) ,求 ? 的最小值. 12

15.已知函数 f ? x ? ? sin(

? ? x) sin x ? 3 cos 2 x . 2

(1)求 f ? x ? 的最小正周期和最大值; (2)讨论 f ? x ? 在 [ ,

? 2? ] 上的单调性. 6 3

x x x 16.已知函数 f ( x) ? 2 sin cos ? 2 sin 2 . 2 2 2

(1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)求 f ( x) 在区间 [? π ,0] 上的最小值.

17. 已知函数 f ( x ) 的图象是由函数 g ( x) = cos x 的图象经如下变换得到: 先将 g ( x) 图象上

所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变) ,再将所得到的图象向右平移 位长度. (1)求函数 f ( x ) 的解析式,并求其图象的对称轴方程; (2)已知关于 x 的方程 f ( x) + g ( x) = m 在 [0, 2p) 内有两个不同的解 a , b . ①求实数 m 的取值范围; ②证明: cos(a - b ) =

p 个单 2

2m 2 - 1. 5

解三角形
1.在 △ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 S△ABC =

3 ac cos B . 2

(1)求角 B 的大小; (2)若 c = 8 ,点 D 在 BC 边上,且 CD ? 2 , cos ?ADB ? ?

1 ,求 b 的值. 7

2 .已知顶点在单位圆上的 △ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,且

b2 ? c2 ? a2 ? bc .
(1)求角 A 的大小;
2 2 (2)若 b ? c ? 4 ,求 △ABC 的面积.

3 . 已 知 △ABC 的 三 个 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 且

5 a sin A sin B ? b cos 2 A ? a . 3
(1)求

b ; a 8 2 b ,求角 C 的大小. 5

2 2 (2)若 c ? a ?

4 . 如 图 , 在 四 边 形 ABCD 中 , ?ACB 与 ? D 互 补 , cos ?ACB ?

1 , 3

AC ? BC ? 2 3, AB ? 4 AD .

(1)求 AB 的长; (2)求 sin ?ACD .
2 2 5.在 △ABC 中,内角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c ,且满足 c (b cos A ? ) ? b ? a .

a 2

(1)求角 B 的大小; (2)若 BD 为 AC 边上的中线, cos A ?

1 129 , BD ? ,求 △ABC 的面积. 7 2

6.在 △ABC 中, a , b, c 分别为内角 A, B, C 所对的边,且满足 2a cos C ? 2b ? 3c .

(1)求 A 的大小;
? (2)现给出三个条件:① a ? 2 ; ② B ? 45 ;③ c ? 3b .试从中选出两个可以确定

△ABC 的条件, 写出你的选择并以此为依据求 △ABC 的面积 (只需写出一个方案即可,
写多种方案以第一种方案记分).

7. △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2cos C (a cos B+b cos A) ? c. (I)求 C; (II)若 c ? 7, △ABC 的面积为 8.在 △ABC 中, ?A= 长. 9.△ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分 ?BAC ,△ABD 面积是 △ADC 面积的 2 倍. (I)求

3 3 ,求 △ABC 的周长. 2

3π ,AB ? 6,AC =3 2 ,点 D 在 BC 边上, AD ? BD ,求 AD 的 4

sin ?B ; sin ?C

(II)若 AD ? 1 , DC ?

2 ,求 BD 和 AC 的长. 2

10 . △ΑΒC 的 内 角 Α, Β,C 所 对 的 边 分 别 为 a , b , c . 向 量 m ? a, 3b 与

?

?

n ? ? cos Α,sin Β? 平行.
(I)求 Α ; (II)若 a ?

7 , b ? 2 ,求 △ΑΒC 的面积.

三角函数与解三角形的综合问题
1 . 在 △ΑΒC 中 , 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 分 别 为

a 、 b 、 c .已知

3cos( B ? C) ?1 ? 6cos B cos C .
(1)求 cos A ;

(2)若 a ? 3 , △ΑΒC 的面积为 2 2 ,求 b 、 c . 2.设 △ΑΒC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,且 (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 1 ,求 △ΑΒC 的周长 l 的取值范围.

a c cos C ? ?1 . b 2b

3 . 已 知 a, b, c 分 别 是 △ΑΒC 的 三 个 内 角 A, B, C 所 对 的 边 , 且 满 足

(2b ? a) ? cosC ? c ? cos A .
(1)求角 C 的大小;
2 ( 2 )设 y ? ?4 3 sin

A ? 2 sin(C ? B) ,求 y 的最大值并判断当 y 取得最大值时 2

△ΑΒC 的形状.
4. 已知函数 f ? x ? ? sin ? x ? sin (? x ? ) ( x ? R, ? 为常数且
2 2

? 6

1 ? ? ?1 ) , 函数 f ? x ? 的 2

图象关于直线 x ? ? 对称. (1)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (2)在 △ΑΒC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a ? 1, f ? 面积的最大值.

?3 ? 1 A ? ? ,求 △ΑΒC ?5 ? 4

5.在 △ΑΒC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 a2+b2+ 2 ab=c2. (1)求 C; (2)设 cos Acos B=

3 2 cos(? ? A)cos(? ? B) 2 ? , ,求 tan ? 的值. 2 5 cos ? 5

6.在 △ΑΒC 中,角 A 、 B 、 C 的 对边分别为 a 、 b 、 c ,已知 c ? b ?1 ? 2cos A? . (1)求证: A ? 2 B ; (2)若 a ?

2? 6 ? , B ? ,求 △ΑΒC 的面积. 2 12

7 . 在 △ΑΒC

中 , 内 角 A,B,C

的 对 边 分 别 为 a,b,c, 已 知

?

3 sin B ? cos B

??

3 sin C ? cos C ? 4cos B cos C .

?

(1)求角 A 的大小; (2)若 sin B ? p sin C ,且 △ΑΒC 是锐角三角形,求实数 p 的取值范围.

8.在 △ΑΒC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 a cos B ? b cos A . (1)判断 △ΑΒC 的形状; (2)求 sin B ? cos( A ? ) 的取值范围.

? 6

9. 在 △ΑΒC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 2(tan A ? tan B) ? (I)证明:a+b=2c; (II)求 cos C 的最小值. 10.在 △ΑΒC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 (I)证明: sin A sin B ? sin C ; (II)若 b ? c ? a ?
2 2 2

tan A tan B ? . cos B cos A

cos A cos B sin C ? ? . a b c

6 bc ,求 tan B . 5

11.在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 b+c=2a cos B. (I)证明:A=2B; (II)若 △ABC 的面积 S =

a2 ,求角 A 的大小. 4
2

12.设 f ? x ? ? sin x cos x ? cos ( x ?

? ). 4

(Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)在锐角 △ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 f ( ) ? 0, a ? 1 ,求 △ABC 面积的最大值.

A 2

三角函数与其他知识的综合
1.已知函数 f ( x) ? cos2 x ? 2t sin x cos x ? sin 2 x ,若函数 f ( x) 在区间 ( 数,求实数 t 的取值范围.

? ? , ] 上是增函 12 6

2.已知向量 a= (cosx, ? ) ,b=( 3 sin x,cos 2x),x∈R,设函数 f(x)=a· b. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在 [0, ] 上的最大值和最小值.

1 2

π 2

3.在 △ABC 中,角 A 的对边长等于 2,向量 m = (2, 2cos (1)求 m ? n 取得最大值时的角 A 的大小; (2)在(1)的条件下,求 △ABC 的面积的最大值.

2

B?C A ? 1) , n = (sin , ?1) . 2 2

4.已知 △ABC 的三个内角分别为 A, B, C ,求当 A 为何值时,cos A ? 2 cos 大值,并求出这个最大值.

B?C 取得最 2

b ? ? 2sin ? ,5sin ? ? 4cos ? ? , ? ?( 5. 已知向量 a ? ?3sin ? ,cos ? ? ,
(1)求 tan ? 的值; (2)求 cos(

3? , 2?) , 且a ? b . 2

?

? ? ) 的值. 2 3

6.已知函数 f ? x ? ? Asin ??x ? ? ? ? b( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ??

b为常数) 的一段图象如图所示:

(1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)函数 f ? x ? 在 y 轴右侧的极小值点的横坐标组成数列 ?an ? ,设右侧的第一个极小 值点的横坐标为首项 a1 ,试求数列 {

1 } 的前 n 项和 Sn . an an ?1
2 2 ? ,? ) ,n ? ? sin x,cos x ? , x ? (0, ) . 2 2 2

7.在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 m ? ( (1)若 m ? n ,求 tan x 的值; (2)若 m 与 n 的夹角为

? ,求 x 的值. 3

8.已知向量 a ? (m,cos 2 x) , b ? (sin 2 x, n) ,函数 f ( x) ? a ? b ,且 y ? f ( x) 的图象过 点(

2? ? , 3) 和点 ( , ?2) . 3 12

(Ⅰ)求 m, n 的值; (Ⅱ)将 y ? f ( x) 的图象向左平移 ? ( 0 ? ? ? ? )个单位后得到函数 y ? g ( x) 的图象. 若 y ? g ( x) 图象上各最高点到点 (0,3) 的距离的最小值为 1,求 y ? g ( x) 的单调递增区 间.

等差数列与等比数列
* 1. 已知在等比数列 {an } 中, 首项 a1 ? 3 , 公比 q ? 1 , 且 3(an? 2 ? an ) ?10an?1 ? 0(n ? N ) .

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 {bn ? 和 Sn .

1 an } 是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列 {bn } 的通项公式及前 n 项 3

2 2.已知等差数列 {an } 的公差不为零,其前 n 项和为 Sn , a2 ? S3 ,且 S1 , S2 , S4 成等比

数列. (1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)记 Tn ? a1 ? a5 ? a9 ? ? ? a4 n?3 ,求 Tn .

3.已知正项等比数列 {an } 的首项 a1 ? 3 ,且 a3 是 a1 ? 3 和 a2 的等差中项. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记 bn ? log 2 6 ? log 2 an ,求数列 {an ? bn } 的前 n 项和 Tn . 4.已知 {an } 为等差数列,且满足 a1 ? a3 ? 8 , a2 ? a4 ? 12 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a3 , ak ?1 , Sk 成等比数列,求正整数 k 的值.

5.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? n2 ? n . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求数列 {

Sn } 的前 n 项和 Tn . (n ? 1) ? 2n

a4 ? b4 ? 27 , {bn } 是等比数列, 6. 已知 {an } 是等差数列, 其前 n 项和为 Sn , 且 a1 ? b1 ? 2 , S4 ? b4 ? 10 .
(1)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式;
* (2)记 Tn ? anb1 ? an ?1b2 ? ? ? a1bn ,n ? N* ,证明:Tn ? 12 ? ?2an ? 10bn (n ? N ) .

7.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,等比数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,满足 a1 ? b1 ,

2a2 ? b2 , S2 ? T2 ? 13 , 2S3 ? b3 .
(1)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (2)设 cn ?

2 an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Cn . bn

8.已知 {an } 是等差数列,a1 ? 4 ,a4 ? 16 ,数列 {bn } 满足 b1 ? 5 ,b4 ? 24 ,且 {bn 是等比数列. (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)求数列 {bn } 的前 n 项和. 9.已知数列 {an } 满足: Sn ? 2an ? 2(n ? N* ) . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)令 bn ? (n ?1)an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 10.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 2 , an?1 ? 1 ? 2Sn . (1)求数列 {an } 的通项公式;

? an }

b1 ? a1 , bn 是 (2) 已知在数列 {bn } 中, 当 n ? 2 时,
的前 n 项和 Tn .

n n ?1 与 的等差中项, 求数列 {bn } an an ?1

11.已知 {an } 是等差数列, {bn } 是等比数列,且 b2 ? 3 , b3 ? 9 , a1 ? b1 , a14 ? b4 . (1)求 {an } 的通项公式; (2)设 cn ? an ? bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和.

2 12.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 3n ? 8n , {bn } 是等差数列,且 an ? bn ? bn?1 .

(1)求数列 {bn } 的通项公式; (2)令 cn ?

(an ? 1)n?1 .求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . (bn ? 2)n

13.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .已知 S2 ? 4 , an?1 ? 2Sn ? 1 , n ? N* . (1)求通项公式 an ; (2)求数列 { an ? n ? 2 } 的前 n 项和. 14.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 1 ? ? an ,其中 ? ? 0 . (1)证明 {an } 是等比数列,并求其通项公式; (2)若 S5 ?

31 ,求 ? . 32

15. Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,且 a1 ? 1 , S7 ? 28 .记 bn =[ lg an ] ,其中 [ x ] 表示不 超过 x 的最大整数,如 [0.9]=0 , [lg99]=1 . (1)求 b1 , b11 , b101 ; (2)求数列 {bn } 的前 1 000 项和.


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