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人教版高中数学必修一教案(讲义):集合


集合的运算

教 师:苗金利

第2讲
(一)交集(intersection set): 1、 定义: A ∩ B = x x ∈ A且x ∈ B

集合的运算

{

}

说明: (1) x ∈ A ∩ B ? x ∈ A且x ∈ B (2) x

? A ∩ B ? x ? A或x ? B (3)A ∩ B 实质上是 A、B 的公共部分 图示: 2、 性质

A ∩ A = A, A ∩ B ? A, A ∩ φ = φ , A ∩ U = A A∩ B = A ? A ? B
y = ?4 x + 6 , B =(x,y) y = 5 x ? 3 ,求 A ∩ B 例题 1、设 A =(x,y)

{

}

{

}

例题 2、已知集合 A = x x ? a ≤ 1 , B = x x ? 5 x + 4 ≥ 0 ,若 A ∩ B = φ ,则实数 a 的取值范
2

{

}

{

}

围是

.

(二)并集(union set): 1、定义: A ∪ B = x x ∈ A或x ∈ B

{

}

说明: (1) x ∈ A ∪ B ? x ∈ A或x ∈ B (2) x ? A ∪ B ? x ? A且x ? B (3)A ∪ B 实质上是 A、B 凑在一起 图示: 2、性质

A ∪ A = A, A ∪ B ? A, A ∪ φ = A, A ∪ U = U A∪ B = B ? A ? B
- 第 1页 -

例题 3、设 A = x x是锐角三角形 , B = x x是钝角三角形 , 求 A ∩ B,A ∪ B

{

}

{

}

(三)补集(complementary set): 全集(universe set):由(所考虑的)所有元素构成的集合。通常用 U 表示 补集: ? U A = x x ∈ U , 且x ? A

{

}

显然: x ∈ ? U A ? x ? A; x ?? U A ? x∈ A

?U (?U A) = A, ?U Φ = U , ?U U = Φ
当心:考虑补集时,一定要注意全集;但全集因题而异。 [问题 1] 1、已知: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},A = {1, 2, 3},B = {3, 5, 4, 6} 求: ?S A, ?S B 2、求: ?Z N , ?R (?R Q ) 性质:

?U (?U A) = A, ?U φ = U , ?U U = φ A ∪ ?U A = U , A ∩ ?U A = φ
[问题 2] 设 U= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ,A={3,4,5},B={4,7,8} 求: ?U A, ?U B, ?U A ∩ ?U B, ?U A ∪ ?U B, ?U ( A ∪ B)

注意:德 ? 摩根定律(图示证明,问逻辑证明步骤)

?U ( A ∪ B) = ?U A ∩ ?U B, ?U ( A ∩ B) = ?U A ∪ ?U B

- 第 2页 -

思 考 题 : 已 知 集 合 A = x x + 3 x + 2 = 0 , B = x ax ? 6 = 0 , 是 否 存 在 这 样 的 实 数 a , 使 得
2

{

}

{

}

A ∪ B = A 成立? 试说明你的理由。

课后作业:

1.设 A={a ,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a +1},且 A ∩ B ={-3},则 a =

2

2

.

2 2.已知全集 U = R ,则正确表示集合 M = {?1, 0,1} 和 N = x | x + x = 0 关系的韦恩(Venn)图是

{

}





3.设 U = R , A = { x | x > 0} , B = { x | x > 1} ,则 A ∩ ? UB =( A. { x | 0 ≤ x < 1} 4.设集合 A = {x | ? B. { x | 0 < x ≤ 1} C. { x | x < 0}



D. { x | x > 1}

1 < x < 2}, B = {x x 2 ≤ 1} ,则 A ∪ B = ( ) 2 1 A. {x ?1 ≤ x < 2} B. {x | ? < x ≤ 1} 2
C. { x | x < 2} D. { x |1 ≤ x < 2}

5.集合 A = {0, 2, a} , B = 1, a A.0

{

2

} ,若 A ∪ B = {0,1, 2, 4,16} ,则 a 的值为(
C .2




B.1

D.4

6.已知集合 A = 1,3,5, 7,9} , B = {0,3, 6,9,12} ,则 A ∩ C N B = ( A. 1,5, 7}

{

{

B. 3,5, 7}

{

C. 1,3,9}

{

D. 1, 2,3}

{

- 第 3页 -

参考答案
? ? y = ?4 x + 6 ? 例题 1、解: A ∩ B = ?( x, y ) ? ? = {(1, 2 )} ? y = 5x ? 3 ? ?
例题 2、 (2,3) 图见课堂

解: A = { x a ? 1 ≤ x ≤ a + 1} 若 A∩ B =φ

B = { x x ≤ 1或x ≥ 4}
∴ {a 2 < a < 3}

?a ? 1 > 1 ∴ ? ?a + 1 < 4

例题 3、 解: A ∩ B = { x | x 是锐角三角形且是钝角三角形} = φ A ∪ B = { x | x 是锐角三角形或钝角三角形}={ x | x 是斜三角形}

[问题 1] 1.解: SA = {4, 5, 6, 7, 8} 2.解: ZN = { x x ∈ Z 且 x < 0} [问题 2]
解: UA = {1, 2, 6, 7, 8}
UA ∪ UB = UB = SB =

{1,

2, 7, 8}

R( RQ)=Q

{1,

2, 3, 5, 6}
U (A ∪

UA ∩

UB =

{

}

{1,

2, 3, 5, 6, 7, 8}

B) = {1, 2, 6}

德 ? 摩根定律证明:

? x∈
∴ x∈

U (A ∩ UA

B)
UB

∴ x? A∩ B
∴ x∈
UB UA ∪

∴ x? A 或 x?B
UB UB

或 x∈



U (A ∩

B) ?

UA ∪ UB

又 ? x ∈ UA ∪

∴ x∈ ∴ x∈

UA

或 x∈

∴ x? A 或 x?B

∴ x? A∩ B

U (A ∩

B) B)
UB

则 UA ∪ 综上可知

UB ? U ( A ∩

U (A ∩

B) = UA ∪

- 第 4页 -

思考题 解: A = {?1, ? 2}
∵ A∪ B = A

∴ B? A

① 当 B = φ 时,只需 a = 0 ② ②当 B ≠ φ 时,即 a ≠ 0 时

6 ∈B a



6 ∈A a



6 6 = ?1或 = ?2 a a

∴ a = ?6或a = ?3 综上: a = 0, a = ?6, a = ?3
课后作业

1. ?1
2 2.B【解析】由 N = x | x + x = 0 ,得 N = {?1, 0} ,则 N ? M ,选 B.

{

}

3.B 【解析】 对于 CU B = x x ≤ 1 ,因此 A ∩ ? U B = { x | 0 < x ≤ 1} .
【命题意图】本小题主要考查了集合中的补集、交集的知识,在集合的运算考查对于集合理解和 掌握的程度,当然也很好地考查了不等式的基本性质.

{

}

4.A【解析】本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考 查.
∵ A = {x | ?

1 < x < 2}, B = {x x 2 ≤ 1} = { x | ?1 ≤ x ≤ 1} , 2

∴ A ∪ B = {x ?1 ≤ x < 2} ,故选 A.

5.D【解析】∵ A = {0, 2, a} , B = 1, a

{

2

} , A ∪ B = {0,1, 2, 4,16} ∴ ? a = 4
?

?a 2 = 16

∴ a = 4 ,故选 D.

6.A【解析】易有 A ∩ C N B = 1,5, 7} ,选 A

{

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