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第15讲 三角函数图象与性质(解析)


2016 年暑期作业(高二数学,第十五讲)

第十五讲

三角函数的图象与性质

一、 【基础训练】 1.函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x 的最小正周期是 2. 若函数 f ( x) ? sin(? x ?

. 答案: π

?
6


)(? ? 0) 图象的两条相邻的对称轴之间的距离为

图象关于点 ( x0 ,0) 成中心对称, x0 ? [0,

?
2

] ,则 x0 ?

. 答案:

? , 且该函数 2 5?
12

3. 如图,它表示电流 I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω >0)在一个周期内的图象,则 I=Asin(ωt+φ)的 解析式为________________.答案:I= 3sin

?100π t+π ? 3? ? 3

π )的最小正周期为π ,且满足 f(-x) 2 π =f(x),则函数 f(x)的单调增区间为____________.答案:?- +kπ ,kπ ?(k∈Z) ? 2 ? 4. 设函数 f(x)=sin(ωx+φ)+ 3cos(ωx+φ)(ω>0,|φ |< 5. 函数 f ? x ? ? sin2 x ? 3 sin x cos x 在区间 ?
3 2

?? ? ? 上的最大值是 , ?4 2? ?

. 答案:

π? π ? 6.函数 y=cos(2x+φ)(-π ≤φ ≤π )的图象向右平移 2 个单位后,与函数 y=sin 2x+ 3 的

?

?

5π 图象重合,则 φ=________.答案: 6

π ? ?π ? ? 7.已知 ω>0, 函数 f(x)=sin ωx+ 4 在 2 ,π 上单调递减, 则ω 的取值范围是________. 答

?

? ?

?

?1 5? 案: 2,4 ? ?

二、 【知识梳理】 2π 1. 函数 y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的周期均为 T=|ω|;函数 y=Atan(ωx+φ)的周期 π 为 T=|ω|. 2. 三角函数的图象和性质

1

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3. “五点法”作图 “五点法”作图原理:在确定正弦函数 y=sinx 在[0,2π ]上的图象形状时,起关键作用的五

?π ? ?3π ? 个点是(0,0)、 2,1 、(π,0)、 2 ,-1 、 (2π,0). ? ? ? ?
4. 函数 y=Asin(ωx+φ)的特征 若函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω >0,x∈(-∞,+∞))表示一个振动量时,则 A 叫做振幅, 2π 1 T= ω 叫做周期,f=T叫做频率,ω x+φ 叫做相位,φ 叫做初相. 三、 【典型例题】 题型 1 依据三角函数的图象求解析式 π ?π ? 已知函数 f(x)=Asin 3 x+φ ,x∈R,A>0,0<φ < 2 ,y=f(x)的部分图象如图所示,P、Q 分 ? ? 别为该图象的最高点和最低点,点 P 的坐标为(1,A). (1) 求 f(x)的最小正周期及 φ 的值; 2π (2) 若点 R 的坐标为(1,0),∠PRQ= 3 ,求 A 的值. 2π 解:(1) 由题意得 T= =6. π 3

?π ? 因为 P(1,A)在 y=Asin 3 x+φ 的图象上, ? ? ?π ? 所以 sin 3 +φ =1. ? ?
π π 因为 0<φ< 2 ,所以 φ= 6 . (2) 设点 Q 的坐标为(x0,-A). π π 3π 由题意可知 3 x0+ 6 = 2 ,得 x0=4, 所以 Q(4,-A).

2π 连结 PQ,在△ PRQ 中,∠PRQ= 3 ,由余弦定理得 RP2+RQ2-PQ2 A2+9+A2-(9+4A2) cos∠PRQ= = = 2RP·RQ 2A· 9+A2 1 -2,解得 A2=3.又 A>0,所以 A= 3.

题型 2 三角函数的图象变换

2

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?x π ? 为了得到函数 y=2sin 3+ 6 (x∈R)的图象,只需把函数 y=2sinx(x∈R)的图象上 ? ?
所有的点经过怎样的变换得到? 解:y=2sinx 用 x ?

?
6

代替 x,左移

? ? π? y=2sin x+ 6 再用 代替 x,各点横坐标伸长到原来的 3 倍。
? ?
3

? 个单位 6

?x π ? y=2sin 3+ 6 . ? ? ?x π ? ?x π ? 练习:已知函数 f(x)=2 3·sin 2+ 4 cos 2+ 4 -sin(x+π ). ? ? ? ?
(1) 求 f(x)的最小正周期; π (2) 若将 f(x)的图象向右平移 6 个单位,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)在区间[0,π ]上的 最大值和最小值. 1 ? 3 ? ? π? ? π? 解:(1) 因为 f(x)= 3sin x+ 2 +sinx= 3cosx+sinx=2? cosx+ sinx?=2sin x+ 3 ,所 2 2 ? ? ? ? ? ? 以 f(x)的最小正周期为 2π . π ? π? (2) ∵ 将 f(x) 的图象向右平移 6 个单位,得到函数 g(x) 的图象,∴ g(x) = f x- 6 = ? ? π ? π 7π ? ? π? ?? π ? π ? 2sin x- 6 + 3 =2sin x+ 6 .∵ x∈[0,π ],∴ x+ 6 ∈ 6 , 6 ,

??

?

?

?

?

?

?

π π π ? π? ∴ 当 x+ 6 = 2 ,即 x= 3 时,sin x+ 6 =1,g(x)取得最大值 2.

?

?

π 7π 1 ? π? 当 x+ 6 = 6 ,即 x=π 时,sin x+ 6 =-2,g(x)取得最小值-1.

?

?

题型 3 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的综合应用 π 1.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω >0,0<φ< 2 )的周期为π ,且图象上有一个

? 2π ? 最低点为 M 3 ,-3 . ? ?
(1) 求 f(x)的解析式;

? π? (2) 求函数 y=f(x)+f x+ 4 的最大值及对应 x 的值. ? ?

2π 解:(1) 由 =π ,得 ω=2. ω

3

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? 2π ? 由最低点为 M 3 ,-3 ,得 A=3. ? ?
2π 3π π 且 2× 3 +φ= 2 +2kπ (k∈Z),0<φ< 2 , π ∴ φ = 6 .∴ π? ? f(x)=3sin 2x+ 6 .

?

?

? π? (2) y=f(x)+f x+ 4 ? ? ? ? ? ? ?
π? ? ? ? π? π? =3sin 2x+ 6 +3sin 2 x+ 4 + 6

? ?

? ?

π? π? ? ? =3sin 2x+ 6 +3cos 2x+ 6

?

5π ? ? =3 2sin 2x+ 12 ,

?

?

∴ ymax=3 2. 5π π π 此时,2x+ 12 =2kπ + 2 ,即 x=kπ +24,k∈Z.

2.已知函数 f ? x ? ? Asin ?x ? B cos ?x (其中 A、B、 ? 是实常数,且 ? >0)的最小正周 期为 2,并当 x= 时,f(x)取得最大值 2. (1)函数 f ? x ? 的表达式; (2)在闭区间 ?
1 3

? 21 23 ? 上是否存在 f(x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程; , ?4 4? ?

如果不存在,说明理由. 解 (1)f(x)=Asin ? x+Bcos ? x= A2 ? B 2 sin(?x ? ? )
2?

由 T=

?

=2 知 ? = ? ,

又因为 f(x)最大值为 2,所以 f(x)=2sin( ? x+ ? ).
1 ? ? 由 x= 时 f(x)max=2,得 sin ? ? ? ? ? =1, 3 3 ? ?

∴? =

? ?? .∴f(x)=2sin ? ? ?x ? ? . 6 6? ?
? ? =k ? + (k∈Z)得对称轴方程为 2 6

(2)令 ? x+

1 1 23 21 x=k+ ,由对称轴满足 ≤k+ ≤ (k∈Z) 4 4 3 3

4

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59 65 ≤k≤ 且 k∈Z,∴k=5. 12 12

故在 ? ?

21 23 ? , ? 上 f(x)只有一条对称轴. ?4 4?
1 3 16 16 ,即对称轴方程为 x= . 3 3

x=5+ =

题型 4 以三角函数的图象为载体的三角应用题 如图,摩天轮的半径为 40 m ,点 O 距地面的高度为 50 m ,摩天轮做匀速转动,每 3 min 转 一圈,摩天轮上的点 P 的起始位置在最低点处. (1)试确定在时刻 t (min)时点 P 距离地面的高度; (2)在摩天轮转动的一圈内,有多长时间点 P 距离地面超过 70 m ?

四、 【能力提升】

?π ? ?2π ? 1. 已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω >0,0<φ <π )的两个相邻最值点为 6,2 、 3 ,-2 , ? ? ? ?
π? ? 则这个函数的解析式为________.答案:y=2sin 2x+6

?

?

2.①为了得到函数 y ? 2sin ? 象上所有的点向

?x ?? ? ? , x ? R ,的图象,只需把函数 y ? 2sin x x ? R 的图 ?3 6?
单位,再把所有各点的横坐标变为原来的 倍.

平移

答案



? 6

3

②为得到函数 y ?cos x? ? 2 平移 答案 左 个单位长度.
5 ? 12

? ?

??

2 的图象向 x ? R的 图 象 , 只 需 将 函 数 y ? s i n x ? , 3?

5

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3.已知函 f ? x? ? 2sin ? x ?? ? 0? 在区间 ? ? 于 . 答案
3 2

? ? ?? 上的最小值是 ?2 ,则 ? 的最小值等 , ? 3 4? ?

4. 已知角 φ 的终边经过点 P(1,-1),点 A(x1,y1)、B(x2,y2)是函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω > 0) 图象上的任意两点.若 |f(x1) - f(x2)| = 2 时, |x1 - x2| 的最小值为 ________. 2 答案:- 2 π ?π ? ,则 f ? ? = 3 ?2?

5.已知 f ? x ? ? sin(? x ? 小值,无最大值,则 ? =

?
3

)

?? ? 0? , f ? ?
. 答案

?? ? ? ?? ? ? ? f ? ? ,且 f ? x ? 在区间 ? , ? 上有最 ?6 3? ?6? ?3?

??
14 3

6. 定义在区间 ? 0 ,

? ?

??

? 上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图像的交点为 P,过点 P 作 PP1 2?
2 3

⊥x 轴于点 P1,直线 PP1 与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2 的长为______.答案:

7.已知 x ? ?

9 ? 3? 3? ? , ? ,函数 y ? cos 2 x ? sin x ? b ? 1 的最大值为 ,试求其最小值. 8 ? 4 2 ?
1 2 17 ) + +b, 4 8

解:∵y=-2(sinx+ 又-1≤sinx≤ ymax=

2 1 ,∴当 sinx=- 时, 2 4

17 9 +b= ? b=-1; 8 8
2 2 时,ymin=- . 2 2
y

当 sinx=

? ? 8. 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?) (其中 A, ? , ? 为常数,且 A>0, ? >0, ? <?< ) 2 2
的部分图象如图所示. (1)求函数 f(x)的解析式;
? ? 3

2 O ?2 6 (第 8 题)
?? 3

x

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(2)若 f (? ) ?

3 ? ,求 sin(2? ? ) 的值. 2 6

解: (1)由图可知,A?2.? ? ? ? ? T? 2 ? ,故 ? ? 1 ,所以,f(x) ? 2sin( x ? ? ) . 又 f(

2? 2? ? ? ? ) ? 2sin( ? ? ) ? 2 ,且 ? <?< ,故 ? ? ? .? 3 3 2 2 6

? 于是,f(x) ? 2sin( x ? ) ? 6
(2)由 f (? ) ?

? 3 3 ,得 sin(? ? ) ? ? 6 4 2

? ? ?? ? ? ? ? 所以, sin(2? ? ) ? sin ? 2(? ? ) ? ? ? cos ? 2(? ? ) ? 6 6 2? 6 ? ? ?

? 1 = 1 ? 2sin 2 (? ? ) ? ? . 6 8

9.求 y ? 1 ? sin x ? cos x ? sin x cos x 的值域. 解:设 t=sinx+cosx,则 t∈[- 2 , 2 ]. 由(sinx+cosx)2=t2 ? sinxcosx= ∴ymax=
t2 ?1 t2 ?1 1 .∴y=1+t+ = (t+1)2. 2 2 2

3? 2 2 3? 2 2 1 ( 2 +1)2= ,ymin=0.∴值域为[0, ] 2 2 2

10.已知函数 f ? x ? ? cos ? 2 x ?

? ?

??

?? ?? ? ? ? ? 2sin ? x ? ? ? sin ? x ? ? . 3? 4? 4? ? ?

(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期和图象的对称轴方程; (2)求函数 f ? x ? 在区间 ? ? 解

? ? ?? 上的值域. , ? 12 2 ? ?

?? ?? ?? ? ? ? (1)∵f(x)=cos ? 2 x ? ? +2sin ? x ? ? ·sin ? x ? ? 4? 4? 3? ? ? ?

7

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= = =

1 3 cos2x+ sin2x+(sinx-cosx)(sinx+cosx) 2 2 1 3 2 2 cos2x+ sin2x+sin x-cos x 2 2

1 3 ?? ? cos2x+ sin2x-cos2x=sin ? 2 x ? ? . 2 2 6? ? 2? =? . 2 k? ? ? (k∈Z),得 x= ? (k∈Z). 2 3 2
k? ? ? (k∈Z). 2 3

∴周期 T= 由 2x ?

?
6

=k ? +

∴函数图象的对称轴方程为 x= (2)∵x∈ ? ??
? ??

? ? ? 5? ? , ? ,∴ 2 x ? ∈ ?? , ? . 6 ? 12 2 ? ? 3 6 ?

? ? ?? ?? ? ? ?? ∵f(x)=sin ? , ? 上单调递增,在区间 ? , ? 上单调递减, ? 2 x ? ? 在区间 ?? 6 ? ? ? 12 3 ? ?3 2? ? ∴当 x= 时,f(x)取得最大值 1, 3

又∵f ? ??

3 ?? 1 ? ? <f ? ? ?= , ? =12 2 ? ? ?2? 2

∴当 x= ?

?
12

时,f(x)取得最小值? ??

3 . 2
? 3 ?

∴函数 f(x)在 ? ??

,1? . , ? 上的值域为 ?? ? 12 2 ? ? ? 2 ? ?

8


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