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四川省新津中学2014届高三4月月考数学(文)试题


新津中学高 2011 级高三(下)4 月月考试题
数学(文史类)
考试时间 120 分钟 满分 150 分

第 I 卷(选择题 共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项.)
1.设复数 z ? ?1 ? i (i 是虚数单位) ,

z 的共轭复数为 z ,则 (1 ? z ) ? z ? ( )
?
?

A. 10

B. 2

C. 2
?1 ? ?2?

D. 1

2.已知集合 A ? 1,2a , B ? ?a, b? ,若 A ? B ? ? ? ,则 A ? B 为() A、 ? ,1, b ?
? ?1 ?2 ?

? ?

B、 ?? 1, ?
?

?

1? 2?

C、 ? ,1?

?1 ? ?2 ?

D、 ?? 1, ,1?
?

?

1 ? 2 ?

3.已知直线 a 和平面 ? , ? ,? ? ? ? l , a ? ? , a ? ? , 且 a 在 ? , ? 内的射影分别为直线 b, c , 则直线 b, c 的位置关系为( A.相交或平行 ) B.相交或异面 C.平行或异面 D.相交、平行或异面

4.对任意非零实数 a , b ,若 a ? b 的运算规则如下图的程序 框图所示,则 (3 ? 2) ? 4 的值是( A. 0 B. ) D. 9

1 2

C.

3 2


5. {an } 为 各 项 都 是 正 数 的 等 比 数 列 , Sn 为 前 n 项 和 , 且

S10 ? 10, S30 ? 70 ,那么 S 40 ? (
150 A.
B.? 200

150 或 ? 200 C.

D.400 或 ? 50
1 倍,纵坐标不 2

6、已知函数 f ( x) ? sin2 x ? 2 cos2 x ?1 ,将 f ( x) 的图像上各点的横坐标缩短为原来的 变,再将所得图像向右平移

? 个单位,得到函数 y ? g ( x ) 的图像。则函数 y ? g ( x ) 的解析式为() 4 3? A、 g ( x) ? 2 sin x B、 g ( x) ? 2 cos x C、 g ( x) ? 2 sin(4 x ? ) D、 g ( x) ? 2 cos 4 x 4

7. 已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图 如图所示,则该截面的面积为( A. ) C.

3 10 2

B. 4

9 2

D. 5

·1 ·

8.已知 log(1x ? y ? 4) ? log(13x ? y ?2) ,若 x ? y ? ? 恒成立,则 ? 的取值范围是() A、 ?9,?? ?
2

B、 ?9,?? ?

2

C、 ?10,???

D、 ?10,???

9.设 m, n 分别是先后投一枚骰子得到的点数,则在先后两次出现的点数中有 5 的条件下,方程

x 2 ? mx? n ? 0 有实根的概率是( 7 11 A. B. 11 36

) C.

7 36

D.

7 10

10.若实数 a,b,c,d 满足 (b ? a 3 ? 2 ln a) 2 ? (c ? d ? 2) 2 ? 0 ,则 (a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 的最小值为() A、 2 B、2 C、 2 2 D 、8

第 II 卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. )
? 3 11. 已知 ? 为锐角,且 cos(? ? ) ? ? ,则 cos? =______________ 2 5
12.将容量为 n 的样本中的数据分成 6 组,绘制成频率分布直方图,若第一组至第六组数据的频率之 比为 2:3:4:6:4:1,且前三组数据的频数之和等于 27,则 n 等于______________ 13.已知向量 a ? (2,?1), b ? (? ,?2) ,若 a 与 b 的夹角为锐角,则 ? 的取值范围是 14. 已知抛物线 y ? 2 px 的焦点 F 与双曲线
2
? ?

?

?

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合, 抛物线的准线与 x 轴的交点 7 9

为 K ,点 A 在抛物线上且 | AK |? 15. 给出以下五个命题:

2 | AF | ,则△ AFK 的面积为

① 对于任意的 a>0,b>0,都有 a lg b ? b lg a 成立; ② 直线 y ? x ? tan? ? b 的倾斜角等于 ? ③ 已知异面直线 a,b 成 60? 角,则过空间一点 P 且与 a,b 均成 60? 角的直线有且只有两条。 ④ 在平面内,如果将单位向量的起点移到同一个点,那么终点的轨迹是一个半径为 1 的圆。 ⑤ 已知函数 y ? f ( x) ,若存在常数 M>0,使 f ( x) ? M ? x 对定义域内的任意 x 均成立,则称 f ( x) 为“倍 约束函数” 。对于函数 f ( x) ? x 2 ?1 ?1 ,该函数是倍约束函数。 其中真命题的序号是_________________

三、解答题(请把解答过程详细书写在答题卡上,共 75 分)
16.已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x ? cos x ? 2 cos x ? m 在区间 ? 0,
·2 ·
2

? ?? 上的最大值为 2. ? 2? ?

(Ⅰ)求常数 m 的值; (Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边是 a , b , c ,若 f ( A) ? 1 , sin B ? 3sin C ,

?ABC 面积为

3 3 ,求边长 a . 4


17. (本题满分 12 分)

1 已知首项为 的等比数列{an}是递减数列, 其前 n 项和为 Sn, 且 S1+a1, S2+a2, S3+a3 成等差数列. 2
(Ⅰ )求数列{an}的通项公式; (Ⅱ )已知 bn ? an ? log 2 an ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn .


18. (本题满分 12 分) 据《中国新闻网》10 月 21 日报道,全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点,一时间 “英语考试该如何改”引起广泛关注.为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士 对高考英语改革的看法,某媒体在该地区选择了 3600 人调查(若所选择的在校学生的人数 低于被调查人群总数的 80%,则认为本次调查“失效” ) ,就“是否取消英语听力”的问题, 调查统计的结果如下表:
调查人群 态度

应该取消 2100 人 600 人

应该保留 120 人 x人

无所谓 y人 z人

在校学生 社会人士

已知在全体样本中随机抽取 1 人,抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.05. (Ⅰ)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取 360 人进行深入访谈,问应在持“无 所谓”态度的人中抽取多少人? (Ⅱ)已知 y≥657,z≥55,求本次调查“失效”的概率.


19. (本题满分 12 分) 如图, 四边形 ABCD 为矩形, 四边形 ADEF 为梯形,
F E

·3 ·

A G B C

D

AD//FE,∠ AFE=60? ,且平面 ABCD⊥ 平面 ADEF,AF=FE=AB= 点. (Ⅰ )求证:EG//平面 ABF; (Ⅱ )求三棱锥 B-AEG 的体积;

1 AD =2,点 G 为 AC 的中 2

(Ⅲ )试判断平面 BAE 与平面 DCE 是否垂直?若垂直,请证明;若不垂直,请说明理由. 20. (本题满分 13 分)


已知圆心为 C 的圆,满足下列条件:圆心 C 位于 x 轴正半轴上,与直线 3x-4y+7=0 相切, 且被 y 轴截得的弦长为 2 3 ,圆 C 的面积小于 13. (Ⅰ )求圆 C 的标准方程; (Ⅱ )设过点 M(0,3)的直线 l 与圆 C 交于不同的两点 A,B,以 OA,OB 为邻边作平行四边 形 OADB.是否存在这样的直线 l,使得直线 OD 与 MC 恰好平行?如果存在,求出 l 的方 程;如果不存在,请说明理由.


21.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ?

1 2 x ? (1 ? a) x( x ? 0) , 2

(Ⅰ )求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ )若 f ( x) ? 0 在 (0,??) 内恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)若 n ? N , 求证:
*

1 1 1 n ? ?? ? ? 。 ln 2 ln 3 ln(n ? 1) n ? 1



·4 ·

新津中学高 2011 级高三(下)4 月月考试题
数学(文史类) 参改答案
一、选择题: 题号 答案 二、填空题: 题号 答案 三、解答题:
16.解: (1) f ( x) ? 2 3 sin x ? cos x ? 2 cos 2 x ? m ? 3 sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? m

1 A

2 D

3 D

4 C

5 A

6 C

7 C

8 D

9 B

10 B

11
4 5

12
60

13
? ? ?1, ? ? 4

14 32

15
① ④ ⑤

? 2sin(2 x ? ) ? m ? 1 6
∵ 函数 y ? sin t 在区间 ?

?

∵ x ? ? 0,

? ?? ? ? 2?

∴ 2x ?

?

? ? 7? ? ?? , ? 6 ?6 6 ?

?? ? ? ? ? 7? ? , ? 上是增函数,在区间 ? , ? 上是减函数 ?6 2? ?2 6 ?
时,函数 f ( x) 在区间 ? 0,

∴当 2 x ?

?
6

?

?
2

即x?

?
6

? ?? 上取到最大值. ? 2? ?
????????6 分

此时, f ( x) max ? f ( ) ? m ? 3 ? 2 得 m ? ?1

?

6

(2)∵ f ( A) ? 1

6 a b c ∵ sin B ? 3sin C , ? ? sin A sin B sin C
∵ ?ABC 面积为

∴ 2sin(2 A ?

?

) ? 1 ,解得 A ? 0 (舍去)或 A ?
∴ b ? 3c ①

?
3

?8 分

3 3 1 1 ? 3 3 ∴ S ?ABC ? bc sin A ? bc sin ? 4 2 2 3 4

即 bc ? 3

…………②

由①和②解得 b ? 3, c ? 1

??????????10 分

∵ a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A ? 32 ? 12 ? 2 ? 3 ? 1? cos

?
3

∴ a?

7

??12 分

17.解: (I)设等比数列{an}的公比为 q,由题知 a1=

1 2 ,

又∵ S1+a1,S2+a2,S3+a3 成等差数列,
·5 ·

∴ 2(S2+a2)=S1+a1+S3+a3, 变形得 S2-S1+2a2=a1+S3-S2+a3,即得 3a2=a1+2a3, 3 1 1 ∴ 2 q=2 +q2,解得 q=1 或 q=2 , ?????????????4 分 1 又由{an}为递减数列,于是 q=2 , 1 ∴ an=a1 q n ?1 =( 2 )n. ???????????????????6 分 1 (Ⅱ)由于 bn=anlog2an=-n?( 2 )n,
2 n?1 n ∴ Tn ? ?[1? +2( ? ) + + ? n ? 1?( ? ) ? n( ? ) ],
2 n n?1 于是 Tn ? ?[1( ? ) + + ? n ? 1?( ? ) ? n( ? ) ],

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 1 1 两式相减得: Tn ? ?[ +( )2 + 2 2 2

整理得 Tn ?

n?2 ? 2. 2n

1 1 ? [1 ? ( )n ] 1 n 1 n?1 2 ? n ?( 1 )n ?1 , +( ) ? n ?( ) ] = ? 2 1 2 2 2 1? 2

???????????????????

18.解: (I)∵ 抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.05, 120 ? x ∴ =0.05,解得 x=60. ????????????????2 分 3600

∴ 持“无所谓”态度的人数共有 3600-2100-120-600-60=720. ??? 4 分 360 ∴ 应在“无所谓”态度抽取 720×3600 =72 人. ???????? 6 分 (Ⅱ)∵ y+z=720,y≥657,z≥55,故满足条件的(y,z)有: (657,63),(658,62),(659,61),(660,60),(661,59),(662,58),(663,57), (664,56),(665,55)共 9 种. ??????????? 8 分 记本次调查“失效”为事件 A, 若调查失效,则 2100+120+y<3600×0.8,解得 y<660. ∴ 事件 A 包含:(657,63),(658,62),(659,61)共 3 种. 3 1 ∴ P(A)= 9 =3 . ???????????????????? 12 分 19. (I)证明:取 AB 中点 M,连 FM,GM. E F ∵ G 为对角线 AC 的中点, 1 ∴ GM∥AD,且 GM=2 AD, N D A 1 又∵ FE∥2 AD, M G C B ∴ GM∥FE 且 GM=FE. ∴四边形 GMFE 为平行四边形,即 EG∥FM. 又∵ EG ? 平面 ABF, FM ? 平面 ABF
·6 ·

∴ EG∥平面 ABF.????????????????????? 4 分 (Ⅱ )解:作 EN⊥AD,垂足为 N, 由平面 ABCD⊥平面 AFED ,面 ABCD∩面 AFED=AD, 得 EN⊥平面 ABCD,即 EN 为三棱锥 E-ABG 的高. ∵ 在△AEF 中,AF=FE,∠AFE=60?, ∴ △AEF 是正三角形. ∴ ∠AEF=60?, 由 EF//AD 知∠EAD=60?, ∴ EN=AE?sin60?= 3 . ∴ 三棱锥 B-AEG 的体积为
1 1 1 2 3 VB ? AEG ? VE ? ABG ? S?ABG ? EN ? ? ? 2 ? 2 ? 3 ? .????????8 分 3 3 2 3

(Ⅲ)解:平面 BAE⊥平面 DCE.证明如下: ∵ 四边形 ABCD 为矩形,且平面 ABCD⊥平面 AFED, ∴ CD⊥平面 AFED, ∴ CD⊥AE. ∵ 四边形 AFED 为梯形,FE∥AD,且 ?AFE ? 60°, ∴ ?FAD =120°. 又在△AED 中,EA=2,AD=4, ?EAD ? 60° , 由余弦定理,得 ED= 2 3 . ∴ EA2+ED2=AD2, ∴ ED⊥AE. 又∵ ED∩CD=D, ∴ AE⊥平面 DCE, 又 AE ? 面 BAE, ∴ 平面 BAE⊥平面 DCE. ????????????????12 分 2 2 2 20.解: (I)设圆 C:(x-a) +y =R (a>0),由题意知
? | 3a ? 7 | ? R, 13 ? 2 2 解得 a=1 或 a= , ? 3 ?4 8 ? 2 ? a ? 3 ? R,

???????????? 3 分

又∵ S=πR2<13, ∴ a=1, ∴ 圆 C 的标准方程为:(x-1)2+y2=4. ?????????????? 6 分 (Ⅱ )当斜率不存在时,直线 l 为:x=0 不满足题意. 当斜率存在时,设直线 l:y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2), 又∵ l 与圆 C 相交于不同的两点, 联立 ?
? y ? kx ? 3, 消去 y 得:(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0, ???????9 分 2 2 ?( x ? 1) ? y ? 4,
2 6 2 6 或 k ?1? . 3 3
·7 ·

∴Δ =(6k-2)2-24(1+k2)=36k2-6k-5>0, 解得 k ? 1 ?

6k ? 2 2k ? 6 ,y1+ y2=k(x1+x2)+6= , 2 1? k 1? k2 1 1 ? 3) , OD ? (OA ? OB) ? ( x1 ? x2,y1 ? y2 ) , MC ? (1, 2 2 假设 OD ∥ MC ,则 ?3( x1 ? x2 ) ? y1 ? y2 , 6k ? 2 2k ? 6 ∴ 3? , ? 1? k2 1? k2 3 2 6 2 6 1? ) ? (1 ? , ? ?) ,假设不成立. 解得 k ? ? (??, 4 3 3

x1+x2= ?

∴ 不存在这样的直线 l. ??????????????????13 分 2 x ? (1 ? a) x ? a ( x ? 1)(x ? a) ? 21.解: f ?( x) ? x x
(1)当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0,1) 递减,在 (1,??) 递增; 当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 (a,1) 递减,在 (0, a), (1,??) 递增; 当 a ? 1 时, f ( x ) 在 (0,??) 递增; 当 a ? 1 时, f ( x ) 在 (1, a)递减,在 (0,1), (a,??)递增。

1 ? a 当 a ? 0 时, f (1) ? 0 ,此时 f ( x) ? 0 不成立。 2 1 当 a ? 0 时,由(1) f ( x ) 在(0,+ ? )上的最小值为 f (1) ? ? ? a ? 0 2 1 1 ?a?? ? a ? (?? ,? ] 2 2 1 1 2 1 1 (3)由(2)知 a ? ? 时, f ( x) ? ? ln x ? x ? x ? 0 2 2 2 2
(2)? f (1) ? ? 即 ln x ? x ? x( x ? 1取等号) ?当x ? 1时
2

1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? ln x x ? x ( x ? 1) x x ? 1 x

令 x ? 2,3,? n 则有

1 1 1 1 1 1 1 1 n ? 1? ; ? ? ? ? ? ? ln 2 2 ln 3 2 3 ln(n ? 1) n n ? 1 n ? 1

·8 ·


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