2014-2015 学年度第一学期第二次学情调研试题 高一数学 一、填空题 （本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位置上 ）. ．．．．．．．．．
1. cos 600 0 的值是 ▲ ．
2. 化简 AB ? BD ? AC ? CD ?
▲
.
3．设扇形的半径长为 8cm ，面积为 4cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 4. 化简 1 ? cos 2 4 =___▲_____． 5.下列四个命题:
2
▲
.
（1）两个单位向量一定相等 （2）若 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量 （3）零向量没有方向 （4）两个相等的向量起点、终点一定都相同 正确的有： ▲ （填序号） 6．函数 f ( x ) ? cos(? x ?
?
5
) 最小正周期为
? ，其中 ? ? 0 ，则 ? ? 3
▲
．
7． cos(75? ? ? ) ?
1 ，且 ? 为第三象限角，则 sin(? ? 105?) =____▲_____ 3
8. 为了得到函数 y ? sin(2 x ?
?
3
)的图象，只需把函数 y ? sin 2 x 的图象向右平移个_▲__
长度单位
9．函数 y ? 2sin x ?1 的定义域是 10. 函数 y ? sin( ? x ? ? ) 的单调递减区间是 4
▲
▲
11. 已知向量 a ? (3, ?2), b ? (?2,1), c ? (7, ?4) ，用 a, b 表示向量 c 的式子为__▲_____.
12.设? ? 0, 若函数 f ( x) ? 2 sin ?x 在 [?
? ?
, ] 上单调递增，则? 的取值范围是___▲__. 3 4
1
? 13. 将函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象向左平移 ? ?? ? 0? 个单位 , 得到的图象对应的函数为 3
___ f ?x ? ,若 f ?x ? 为奇函数,则 ? 的最小值为___▲
14．给出下列命题：
① 存在实数 ? ,使 sin ? ? cos ? ? 1
②函数 y ? sin( ? ? x ) 是偶函数
3 2
π? ? π ? ③f(x)＝4sin? ?2x＋3?(x∈R) 图象关于?－6，0?对称 ④若 ?、? 是第一象限的角，且 ? ? ? ，则 sin ? ? sin ? 其中正确命题的序号是_______▲_______ 二、解答题（本大题共 6 个小题，共 90 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本题满分 14 分)若角 ? 的终边经过点 P(4a, ?3a)(a ? 0) ,求 sin ? 和 cos ? 的值.
→ → → 16. (本题满分 14 分) 已知点 A(2,3)，B(5,4)，C(10,8)，若AP＝AB＋λAC(λ∈R)，求当 λ 为何 值时: (1)点 P 在直线 y ? x 上? (2)点 P 在第二象限内?
2
17. ( 本 题 满 分 15 分 ) 已 知 s i n 的两实根,求 ? , c? o s是 方 程 4 x ? 2 6x ? m ? 0
2
(1) sin ? ? cos ? 的值;
(2) sin ? ? cos ? 的值.
3 3
→ 1→ → 1→ 18．(本题满分 15 分)已知在△AOB 中，O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，OC＝ OA，OD＝ OB，AD 4 2 与 BC 交于 M 点，求点 M 的坐标．
3
π 19 （本题满分 16 分）函数 f(x)＝Asin(ωx＋ ? )(A>0，ω>0，| ? |<2)的一段图象(如图所 示) (1) 求其解析式．(2)求 f ( x ) 的单调递增区间．(3)求 f ( x ) 在区间 ? ? 和最小值.
? ? ?? 上的最大值 , ? 4 6? ?
20． （本题满分16分） 已知：函数 f ( x) ? sin x ? cos2 x ? a （1）求函数 f ( x ) 的最值. （2）当 a 为何值时,方程 f ( x) ? 0 在区间 [0, 2? ) 有两解? （3）求函数 f ( x ) 在区间 ?0, 2? ? 上的单调递增区间.
4
第二次学情调研高一数学参考答案 一.填空题: 1.
?
1 2
,2.
0
3.
1 8
4.
? sin 4
5.(2)
6.6
7.
2 2 3
8.
? 6
9. ? x
5? 3? ? ? ? ? ? ? ? 2k? ? x ? ? 2k? , k ? z ? 10. ? ? ? 2k? , ? 2k? ? (k ? z ) 11. c ? a ? 2b 6 4 ? 6 ? ? 4 ?
3 ? ] 13. 2 6
14.(2)(3)
12.(0,
二.解答题: 15. 解: 由 P 点坐标为 (4a, ?3a) 所以 r ?
(4a) 2 ? (?3a) 2 ? 5 a (a ? 0)
当 a ? 0 时, r ? 5a
所以 sin ? ?
y ?3a 3 x 4a 4 ? ? ? , cos ? ? ? ? r 5a 5 r 5a 5 y ?3a 3 x 4a 4 ? ? , cos ? ? ? ?? r ?5a 5 r ?5a 5
当 a ? 0 时, r ? ?5a
所以 sin ? ?
16. 解:设点 P 的坐标为 ( x, y ) 所以 AP ? (x ? 2, y ? 3) , AB ? (3,1); AC ? (8,5) 由 AP ? AB ? ? AC 得: ? 所以有 ( x ? 2, y ? 3) ? (3,1) ? ? (8,5)
? x ? 5 ? 8? ? y ? 4 ? 5?
则有 5 ? 8? ? 4 ? 5? ? ? ?
(1)由点 P 在直线 y ? x 上
1 3
即当 ? ? ? 时点 P 在直线 y ? x 上. (2)当 ?
1 3
? x ? 0 ?5 ? 8? ? 0 4 5 即? ,? ? ? ? ? 8 ? y ? 0 ?3 ? 4? ? 0 5
当?
4 5 ? ? ? ? 时点 P 在第二象限内. 5 8
17. 解（1）
sin ? ,cos ?是方程4x2 ? 2 6x ? m ? 0 的两根
? 由韦达定理得
sin ? ? cos ? ? ?
解得 sin ? cos ? ?
2 6 6 ?? 4 2
1 4
5
由 (sin ? ? cos ? )2 ? (sin ? ? cos ? )2 ? 2
? (sin ? ? cos ? ) 2 ?
1 2
sin ? ? cos ? ? ?
2 2
…………………………………………………………………………8 分 （2） sin ? ? cos ? = (sin ? ? cos ? )(sin 2 ? ? sin ? cos ? ? cos2 ? )
3 3
=?
6 1 3 6 ………………………………………1 5 分 (1 ? ) ? ? 2 4 8
→ → 18. 解 ∵点 O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，∴OA＝(0,5)，OB＝(4,3)． → 5? 1→ ? 5? ? 3? 令OC＝(xC， yC)＝ OA＝? ?0，4?. ∴点 C 的坐标为?0，4?.同理可得点 D 的坐标为?2，2?. 4 → → 3 7 2－0， －5?＝?2，－ ?. 设点 M(x，y)，则AM＝(x，y－5)，而AD＝? 2 ? ? 2? ? → → 7 ∵A、M、D 共线，∴AM与AD共线．∴－ x－2(y－5)＝0，即 7x＋4y＝20.① 2 → 5? → ? 5? ? 7? 而CM＝? ?x，y－4?，CB＝?4－0，3－4?＝?4，4?. 5? 7 ∴ x－4? ?y－4?＝0，即 7x－16y＝－20.② 4 12 联立式①②解得 x＝ ，y＝2. 7 12 ? 故点 M 的坐标为? ? 7 ，2?. → → ∵C、M、B 共线，∴CM与CB平行．
19. 解：(1)设函数 f(x)的周期为 T，
3 7π π 3π ? ? T= ，∴T= π 4 8 8 4 2π ?2 ∴ω ? π ∴f(x)＝Asin(2x＋ ? ) 7π 7π ,0 )代入得 sin(2× 将点( ＋ ? )=0， 8 8 7π ? φ =2k π ∴ k∈Z 4 7π ? 2kπ k∈Z ∴φ =? 4
则由图知 π ∵| ? |<2
6
∴φ =
π 4 π ) 4
π ，∴A=2 4
∴f(x)＝Asin(2x＋
将点(0, 2 )代入得 2 =Asin ∴f(x)＝2sin(2x＋
π ) 4 π ) 4
(2)由 f(x)＝2sin(2x＋
函数的单调增区间满足 ?
?
2
? 2 k? ? 2 x ?
?
4
?
?
2
? 2 k? , k ? z
3? ? ? k? ? x ? ? k ? , k ? z 8 8 3? ? ? k? , ? k? ](k ? z ) 函数的单调增区间为 [? 8 8 ?
(3)
? ? ?? x ? ?? , ? ? 4 6?
? 2x ?
?
? 7 ? ?[ ? , ] 4 4 12
? 2 ? sin(2 x ? ) ? [? ,1] 4 2
当x?? 当x?
?
4
时 f ( x)min ? ? 2
?
8
时 f ( x)max ? 2
所以 f ( x ) 在区间 ? ?
? ? ?? 上的最大值为 2 最小值.为 ? 2 . , ? 4 6? ?
20. 解(1)由 f ( x) ? sin x ? cos2 x ? a ? sin x ? (1 ? sin 2 x) ? a
1 5 ? (sin x ? ) 2 ? ? a 2 4
sin x ?[?1,1] , 所 以 当 s i xn?
f ( x) min ? a ? 5 4
1 f ( x)max ? 1 ? a , 当 sin x ? ? 时
1 时 2
所以函数 f ( x ) 的最大值为 a ? 1 ,最小值为 a ?
5 4
(2) 由 f ( x) ? 0 ?sin x ? cos x ? a ? 0
2
?sin x ? (1 ? sin 2 x) ? a ? 0
令 t ? sin x,
x ?[0, 2? ),?t ?[?1,1]
7
要使方程 f ( x) ? 0 在区间 [0, 2? ) 有两解 有 t ? t ? a ? 1 ? 0 在区间 (?1,1) 上有一解令 g (t ) ? t 2 ? t ? a ?1
2
? g (1) ? 0 或? ? 0 ?? ? g (?1) ? 0
? a ? (?1,1) 或 a ?
5 4
所以 a 的取值范围是 (?1,1)
?5? ? ? ?4?
1 2
2
(3)由 f ( x) ? sin x ? cos2 x ? a ? sin x ? (1 ? sin 2 x) ? a ? (sin x ? ) ? 令 t ? sin x,
5 ?a 4
x ?[0, 2? ],?t ?[?1,1]
1 5 1 1 ? y ? (t ? ) 2 ? ? a 在 [ ?1, ? ] 上单调递减,在 [ ? ,1] 上单调递增 2 4 2 2
当 t ? [ ?1, ? ] 时 x ? ? 调递增, 所以当 x ? ? 当 t ? [?
1 2
? 7? 11? ? ? 7? 3? ? ? 3? 11? ? t ? sin x 而 在 上单调递减 , 在 上单 , , , ? ? ? 6 6 ? ? ? 6 2 ? ? ? 2 6 ? ?
? 7? 3? ? 时 f ( x ) 单调递增 , ? 6 2 ? ?
1 7? 11? ? 11? ,1] 时 x ? [0, ] [ , 2? ] 而 t ? sin x 在 x ? [0, ], x ? [ , 2? ] 时单调递增 2 6 6 2 6 ? 11? , 2? ] 上单调递增 所以 f ( x ) 在 [0, ],[ 2 6
综上函数 f ( x ) 在区间 ?0, 2? ? 上的单调递增区间为 [0,
? ? 7? 3? ? ?11?
? ], ? , ? , ? , 2? ? 2 ? 6 2 ? ? 6 ?
8