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河北省定兴三中2014-2015学年高二下学期6月月考数学(理)试卷


2014—2015 学年第二学期期末考试
高二数学试 题(理)
全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一、 选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的。 )

2 ( (i为虚数单位) ,则 z 的虚部为 1? i A. ?i B. i

C. ?1 D. 1 2.若 P ? a ? 2 ? a ? 5 , Q ? a ? 3 ? a ? 4 ( a ? 0) ,则 P , Q 的大小关系为(
1.设复数 z ? A. P>Q B. P ? Q C. P<Q D.由 a 的取值确定 (



)

3.以下各点坐标与点 M ( ?5, A. (5,?

?
3

) 不同的是
C. (5,?



2? 5? D. ( ?5,? ) ) 3 3 3 4.有一段“三段论”, 推理是这样的: 对于可导函数 f ( x) , 如果 f ?( x0 ) ? 0 , 那么 x ? x0 是 )
B. (5, 函数 f ( x) 的极值点.因为 f ( x) ? x 在 x ? 0 处的导数值 f ?(0) ? 0 ,所以 x ? 0 是函数
3

?

4? ) 3

f ( x) ? x 3 的极值点.以上推理中
A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误

( D.结论正确

)

5.已知 z 是复数 z 的共轭复数, z ? z ? z ? z =0,则复数 z 在复平面内对应的点的轨迹是 ( A.圆
2

)

B.椭圆
2

C.双曲线

D.抛物线

6.二次函数 y ? x ? 2 x ? 2 与 y ? ? x ? ax ? b ? a ? 0, b ? 0 ? 在它们的一个交点处的切线 互相垂直,则 A.

1 4 ? 的最小值是 a b
B. 4 C.





18 24 D. 5 5 n ? 7.用数学归纳法证明“ (n ? 1)(n ? 2) ??? (n ? n) ? 2 ?1 ? 2 ??? (2n ? 1)( n ? N ) 时,从 “ n ? k 到

16 5

n ? k ? 1 ”时,左边应增添的式子是
A.

( C. 2(2k ? 1)
2 2



2k ? 1
2

B. 2k ? 3

D. 2(2k ? 3) ( )

8. 以下命题正确命题的个数为

(1)化极坐标方程 ? cos ? ? ? ? 0 为直角坐标方程为 x ? y ? 0 或 y ? 1 (2)集合 A ? {x x ? 1 ? 1} , B ? {x | y ? ? 2 x ? x } ,则 A ? B
2

(3)若函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 内可导,且 x0 ? (a, b) ,则 lim
h ?0

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) h

的值为 2 f ' ( x0 )
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(4) 若关于 x 的不等式 | ax ? 2 | ? | ax ? a |? 2(其中a ? 0) 的解集为 R ,则实数 a ? 4 (5)将点 P(-2,2)变换为 P′(-6,1)的伸缩变换公式为 ? A.1 9.下列积分值等于 1 的是 A. B.2

? x ' ? 3x ' ?y ? 2y
D.4 ( D. )

C.3

?

1

0

xdx

B.

?

?
2

?

?
2

(? cos x)dx

C.

?

1

?1

4 ? x 2 dx

?

e

1

1 dx x

10. 给出下列四个命题:①

f ( x) ? x 3 ? 3 x 2 是增函数,无极值 . ② f ( x) ? x 3 ? 3 x 2 在
1 ④ 6
函数

(-?, 2) 上 没 有 最 大 值 ③ 由 曲 线 y ? x, y ? x 2 所 围 成 图 形 的 面 积 是

f ( x) ? ln x ? ax 存 在 与 直 线 2 x ? y ? 0 垂 直 的 切 线 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是

1 (??, ? ) 其中正确命题的个数为 2
A.1 B.2 C.3 D.4





11.已知点列如下: P 1 ?1,1? , P 2 ?1, 2 ? , P 3 ? 2,1? , P 4 ?1,3 ? , P 5 ? 2, 2 ? , P 6 ? 3,1? , P 7 ?1, 4 ? ,

( P8 ? 2,3? , P9 ? 3, 2 ? , P 10 ? 4,1? , P 11 ?1,5 ? , P 12 ? 2, 4 ? ,……,则 P 60 的坐标为 A. ? 3,8 ?
12. 已知函数 f ( x ) =

)

B. ? 4,7 ?

C. ? 4,8 ?

D. ? 5,7 ?

a( x ?

1 a ) ? 2 ln x( a ? R ) ,g( x ) = ? , 若至少存在一个 x0 ∈[1, x x
( )

e],使得 f ( x0 ) ? g( x0 ) 成立,则实数 a 的范围为
A.[1,+∞) B.(0,+∞) C.[0,+∞) 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. )

D.(1,+∞)

13. 若不等式|3x-b|<4 的解集中的整数有且仅有 1,2,3,则 b 的取值范围为_

_

14. 已 知 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 在 点 M (1,f (1)) 处 的 切 线 方 程 是 y ?
f (1) ? f ?(1) ?

1 x ? 2 ,则 2

3 2 ? ?x ? t ? x ? 3 cos ? ? 2 (t ? R) ,它们的交 15.已知两曲线参数方程分别为 ? (0 ? ? ? ? ) 和 ? ? ? ? y ? sin ? ?y ? t
点坐标为_____. 16 . 若 函 数 f ( x) ? x ? 3 x 对 任 意 的 m ? [?2,2], f (mx ? 2) ? f ( x) ? 0 恒 成 立 , 则
3

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. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 10 分)

x?

? 2 ? x ? ? 2 ? r cos ? 在直角坐标系 xOy 中,圆 O 的参数方程为 ? ,( ? 为参数, r ? 0 ).以 O ? y ? ? 2 ? r sin ? ? 2 为极点, x 轴正半轴为极轴,并取相同的单位长度建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为

? sin ? ? ? ? 2 .
4 2
写出圆心的极坐标,并求当 r 为何值时,圆 O 上的点到直线 l 的最大距离为 3.

?

?

18. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=|2x+1|-|x-3|. (1)解不等式 f(x)≤4;(2)若存在 x 使得 f(x)+ a ≤0 成立,求实数 a 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分)已知函数

f ( x) ? a ln x ? 2ax ? 3(a ? 0).

(I)设 a =-1,求函数 f ( x) 的极值;

1 3 x ? x 2 [ f ?( x) ? m] (其中 f ?( x) 为 f ( x) 的导 3 数)在区间(1,3)上不是单调函数,求实数 m 的取值范围.
(II)在(I)的条件下,若函数 g ( x) ? 20. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极 坐 标 方 程 为 ? sin 2 ? = a cos ? (a>0) , 过 点 P (?2, ?4) 的 直 线 l 的 参 数 方 程 为

? 2 t, ? x=-2+ ? 2 (t 为参数) ,直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点. ? ? y=-4+ 2 t , ? ? 2
(Ⅰ)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)若 | PA | ? | PB |?| AB | ,求 a 的值.
2

21.(本小题满分 12 分)
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已知函数 f ( x) ? ln x ?

a( x ? 1) ,a ? R . x ?1

(1)若 x ? 2 是函数 f ( x) 的极值点,求曲线 y ? f ( x) 在点 ?1, f (1) ? 处的切线方程; (2)若函数 f ( x) 在 (0, ??) 上为单调增函数,求 a 的取值范围;

1 2 2 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ( x) 在区间 ?1 ,e ? 上的最大值和最小值;
22.已知函数 f ( x) ? (a ? ) x ? ln x , ( a ? R ) .

? ? ? 上,函数 f ( x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方,求 a 的取值范围. (Ⅱ)若在区间 ?1,

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2014—2015 学年第二学期期末
高二数学参考答案
一、 选择题: CCAAA, CCBDB, DB. 二、填空题:(5,7);3; (1, 三、解答题: 17.(本小题满分 10 分) 解析:由已知圆心 O 的直角坐标为 (? 所以圆心 O 的极坐标为 (1,

6 2 ) ; (?2, ) 3 3

2 2 5? , ,? ) , ? ? 1 ,点 O 在第三象限,故 ? ? 2 2 4

5? ) ………………4 分 4

直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,圆心 O 到 l 的距离 d ?

| ? 2 ? 1| ,圆 O 上的点到 2

直线 l 的距离的最大值为

| ? 2 ? 1| 2 …………….10 分 ? r ? 3 解得 r ? 2 ? 2 2
1 -x-4,x≤- , 2

18. (本小题满分 12 分)

解析:

? ? 1 (1)y=|2x+1|-|x-3|=? 3x-2,- <x<3, 2 ? ?x+4,x≥3.

作出函数 y=|2x+1|-|x-3|的图象,它与直线 y=4 的交点为(-8,4)和(2,4). 则|2x+1|-|x-3|≤4 的解集为[-8,2]. 1 (2)由 y=|2x+1|-|x-3|的图象可知当 x=- 时, 2

f(x)min=-

7 2

7 ∴存在 x 使得 f(x)+ a ≤0 成立?- a ≥f(x)min? a ≤ . 2 19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)当 a ? ?1 , f ( x) ? ? ln x ? 2 x ? 3

( x ? 0) ,

f ' ( x) ?

?1 ? 2 ,………………2 分 x
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?

1 1 ),单调递增区间为( , ? ?) ………4 分 2 2 1 1 1 f ( x)的极小值是( f ) ? ? ln ? 2 ? ? 3 ? ln 2 ? 4. . ………………6 分 2 2 2 1 1 (Ⅱ) g ( x ) ? x 3 ? ( ? ? 2 ? m) x 2 , 3 x
f ( x) 的单调递减区间为(0,
………………8 分

? g ' ( x ) ? x 2 ? ( 4 ? 2 m) x ? 1 ,

? g ( x)在区间( 1, 3)上不是单调函数,且g ' (0) ? ?1 ,
' ? ? g (1) ? 0 ?? ' ? ? g (3) ? 0

……………………10 分

?4 ? 2 m ? 0 10 即: ? ?? ? m ? ?2 3 ?20 ? 6m ? 0

.

m 的取值范围 (?

10 , ?2) 3 ………………12 分

20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) 由 ? sin 2 ? ? a cos ? (a ? 0) 得 ? 2 sin 2 ? ? a ? cos ? (a ? 0) , ∴曲线 C 的直角坐标方程为 y ? ax(a ? 0) .………………………………2 分
2

直线 l 的普通方程为 y ? x ? 2 .………………………………4 分 (Ⅱ)将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程 y ? ax(a ? 0) 中,
2

得 t 2 ? 2(a ? 8)t ? 4(a ? 8) ? 0 , 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1 ,t2 , 则有 t1 ? t2 ?

2(a ? 8), t1 ? t2 ? 4(a ? 8) .………………………………6 分
2

∵ PA ? PB ? AB ,∴ (t1 ? t2 ) 2 ? t1 ? t2 , 即 (t1 ? t2 ) 2 ?5t1 ? t2 .………………9 分 ∴ [ 2(8 ? a )]2 ? 20(8 ? a ), a 2 ? 6a ? 16 ? 0 . 解之得: a ? 2 或 a ? ?8 (舍去),∴ a 的值为 2 .……………………………12 分 21.(本小题满分 12 分) 解: (1) f ?( x) ?

1 a ( x ? 1) ? a ( x ? 1) ( x ? 1)2 ? 2ax x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 ? ? . …2 分 ? x x( x ? 1)2 x( x ? 1)2 ( x ? 1) 2
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由题意知 f (2) ? 0 ,代入得 a ?
'

9 ,经检验,符合题意……………… 3 分 4

从而切线斜率

1 k ? f ' (1) ? ? ,切点为 ?1, 0 ? , 8

切线方程为 x ? 8 y ? 1 ? 0 …………………………5 分 (2) f ?( x) ?

x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 . x( x ? 1) 2

因为 f ( x)在(0, ??) 上为单调增函数,所以 f ?( x) ? 0在(0, ??) 上恒成立…………7 分

即x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 ? 0在(0, ??)上恒成立. 1 当x ? (0, ??)时,由x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 ? 0, 得2a ? 2 ? x ? . x ………10 分 1 1 1 设g ( x) ? x ? , x ? (0, ??).g ( x) ? x ? ? 2 x ? ? 2. x x x 1 所以当且仅当x ? , 即x ? 1时, g ( x)有最小值2. x 所以2a ? 2 ? 2.所以a ? 2. 所以 a 的取值范围是 (??, 2]. ...............12 分 1 2 22.解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x , 2
∴ f ?( x) ? x ?

1 x2 ? 1 .………2 分 ? x x

对于 x ? ?1, e? ,有 f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在区间 ?1, e? 上为增函数. ∴ f max ( x) ? f (e) ? 1 ?

e2 1 , f min ( x) ? f (1) ? .………5 分 2 2

(Ⅱ)令 g ( x) ? f ( x) ? 2ax ? (a ? ) x ? 2ax ? ln x ,
2

1 2

则 g ( x) 的定义域为 ?0,?? ? .………6 分 在区间 ?1,?? ? 上,函数 f ( x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方等价于 g ( x) ? 0 在区间

?1,?? ? 上恒成立.

∵ g ?( x) ? (2a ? 1) x ? 2a ? ①若 a ?

1 (2a ? 1) x 2 ? 2ax ? 1 ( x ? 1)[(2a ? 1) x ? 1] ? ? ,…8 分 x x x

1 1 ,令 g ?( x) ? 0 ,解得: x1 ? 1 , x2 ? . 2 2a ? 1 1 当 x2 ? x1 ? 1 ,即 ? a ? 1 时,在 ? x2 ,?? ? 上有 g ?( x) ? 0 , 2 此时 g ( x) 在区间 ? x2 ,?? ? 上是增函数,并且在该区间上有 g ( x) ? ? g ( x2 ),?? ? ,不合
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题意;

当 x2 ? x1 ? 1 ,即 a ? 1 ,同理可知, g ( x) 在区间 ?1,?? ? 上,有 g ( x) ? ? g (1),?? ? , 也不合题意; ②若 a ?

1 时,则有 2a ? 1 ? 0 ,此时在区间 ?1,?? ? 上恒有 g ?( x) ? 0 , 2 从而 g ( x) 在区间 ?1,?? ? 上是减函数;
1 1 ?0 ?a?? , 2 2

要使 g ( x) ? 0 在此区间上恒成立,只须满足 g (1) ? ?a ? 由此求得 a 的范围是 [?

1 1 , ] .………12 分 2 2

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