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高中数学 2-3-1等差数列的前n项和课件 新人教A版必修5


第二章
数 列

第二章
2.3 等差数列的前 n 项和

第二章
第 1 课时 等差数列的前 n 项和

课前自主预习

方法警示探究 课堂巩固训练

思路方法技巧 课后强化作业 名师辩误做答

课程目标解读
<

br /> 1.掌握数列前 n 项和的概念及 an 与 Sn 的关系,并能应用 它解决一些实际问题. 2.会用倒序相加法求和,熟练进行等差数列求和公式的 推导. 3.掌握等差数列前 n 项和的公式,并能运用公式解决一 些实际问题.

课前自主预习

1.对于任意数列{an},Sn=a1+a2+?+an,叫做数列{an} 的前 n 项和.于是对任意数列{an}总有:Sn=Sn-1+an(n∈N*且 n≥2),因此对于任意数列{an},如果 Sn 是其前 n 项的和,则通 项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是:
? ?n=1? ?S1 an=? S -S ? n n-1 ??n≥2且n∈N*? ?______________

.

2.等差数列{an}的前 n 项和公式是: n?a1+an? Sn = (1) 2 n?n-1? 或 Sn=na1+ 2 d(2) d 2 d (2)式可以改写成:Sn=2n +(a1-2)n.当 d≠0 时,Sn 是关 于 n 的二次函数,所以可借助二次函数的有关性质来处理等差 数列前 n 项和 Sn 的有关问题.

若 d=0,则 Sn=na1. n?n-1? (2)式的一个等价表达式是 Sn=nan- 2 d. 3.等差数列前 n 项和的性质: (1)Sn 是等差数列{an}前 n 项和?Sn=An2+Bn(A、B 为常 数). (2)等差数列(公差 d≠0)依次 k 项之和仍然是等差数列,即 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k?成公差为 k2d 的等差数列.

(3)等差数列{an}中,若 Sn=m,Sm=n,(m≠n),则有 Sm+n
-(m+n) =_____________ .

(4)若 Sm=Sn(m≠n)则 Sm+n=0. (5)若{an}和{bn}均为等差数列,且前 n 项的和分别为 An 与 am A2m-1 Bn,则有b = . B m 2m-1

(6)项数为 2n 的等差数列{an},有: S2n=n(an+an+1),S 偶-S 奇=_____ nd , S奇 an = . S偶 an+1 (7)项数为 2n-1 的等差数列{an},有:
(2n-1) an,(an 为中间项) S2n-1=_________ an , S 奇-S 偶=____

S奇 n = . S偶 n-1

(8)在等差数列{an}中,a1>0,d<0.则 Sn 存在最_____ 大 值;
小 值. a1<0,d>0,则 Sn 存在最____

Sn (9)若 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和, 则{ n }也是等差数列.

重点难点展示

重点:探索等差数列前 n 项和公式的推导方法,掌握前 n 项和公式,会用公式解决一些实际问题.体会等差数列的前 n 项和与二次函数之间的联系. 难点:等差数列前 n 项和公式的推导和应用公式解题时公 式的选取.

学习要点点拨

1.数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 an=
? ? S1 ? ? ?Sn-Sn-1

?n=1? ,当已知数列前 n 项和 Sn 或 * ?n≥2且n∈N ?

关于 Sn 的关系式求通项时主要应用此关系式.应用此关系式 时, 莫忘对 a1=S1 是否满足 an 的表达式进行检验. 若满足则合 并在一块表达,若不满足,则分段表达. 2.等差数列前 n 项和公式中涉及五个量 a1,d,n,an,Sn, 已知其中任意三个就可以列方程组求另外两个 (简称“知三求 二”),它是方程思想在数列中的体现.

3.等差数列求和公式的推导,用的是倒序相加法,要注 意体会这种求和方法的适用对象和操作程序,并能用来解决与 之类似的求和问题. 4.Sn 是 n 的二次函数时,{an}不一定是等差数列.如果 Sn=an2+bn+c,则在 c=0 时{an}是等差数列,在 c≠0 时{an} 不是等差数列;反过来{an}是等差数列,Sn 的表达式可以写成 Sn=an2+bn 的形式,但当{an}是常数列时,Sn=na1 是 n 的一 次函数.

5.对于教材 43 页例 1,需建立等差数列模型,通过本例 要深刻体会如何阅读题目,提取有用信息,构建数学模型的建 模思想方法. 教材 44 页例 2,要注意体会在等差数列的五个量中,已知 三个可求其余两个的方程思想,并且尝试用不同的方法加以解 答. 教材 44 页例 3,目的是从 Sn 的结构特征上认识等差数列.

教材 45 页例 4,要注意从函数的角度来看待等差数列,注 意知识之间的衔接、联系,一方面可从二次函数最值来讨论, 另一方面可从一次函数零点和正负值区间来考察,注意体会这 种多角度、全方位看问题的方法. 6.课前自主预习中性质的推导: 性质(1)

n?n-1? d 如果{an}是等差数列,公差为 d,则 Sn=na1+ d= 2 2 d d d n +(a1- )n,令 A= ,B=a1- ,则 Sn=An2+Bn.反之,若 2 2 2
2

{an}前 n 项和 Sn=An2+Bn,则 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(An2+ Bn)-[A(n-1)2+B(n- 1)]=2A+(B-A),a1=S1=A+B 也满 足,∴an=2An+(B-A),显然{an}为等差数列.

性质(2) 设等差数列的首项为 a1,公差为 d,则 ak+1=a1+kd,a2k+1=a1+2kd. k?k-1? Sk=ka1+ 2 d. 又 S2k-Sk 为数列第 k+1 项到第 2k 项这 k 项的和, k?k-1? ∴S2k-Sk=k(a1+kd)+ 2 d k?k-1? =ka1+ 2 d+k2d.

k?k-1? k?k-1?d 同理: S3k - S2k = k(a1 + 2kd) + d = ka1 + + 2 2 2k2d, ∴Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,构成等差数列,且公差为 k2d.

性质(3) n?n-1? Sn=na1+ 2 d=m. m?m-1? Sm=ma1+ d=n. 2 两式相减得: d 2 ∴(n-m)a1+ [(n -n)-(m2-m)]=m-n, 2 d ∴a1=- (n+m-1)-1, 2 ?n+m??n+m-1? ∴Sn+m=(n+m)a1+ d 2

?n+m-1?d d =(n+m)[- (n+m-1)-1+ ] 2 2 =-(n+m). 性质(4) m?m-1? n?n-1? ∵Sm=Sn,∴ma1+ d=na1+ 2 d 2 d ∴a1+2(m+n-1)=0,

?m+n??m+n-1? ∴Sm+n=(m+n)a1+ d 2 d =(m+n)[a1+2(m+n-1)]=0. 性质(5) ∵{an},{bn}均为等差数列, ?2m-1??a1+a2m-1? A2m-1 a1+a2m-1 2 ∴ = = B2m-1 ?2m-1??b1+b2m-1? b1+b2m-1 2 2am am =2b =b . m m

性质(6) ①在等差数列中, a1+a2n=a2+a2n-1=?=an+an+1, 2n?a1+a2n? ∴S2n= =n(a1+a2n)=n(an+an+1). 2 ②又偶数项的首项为 a2=a1+d,偶数项构成以 2d 为公差 的等差数列;奇数项的首项为 a1,奇数项构成以 2d 为公差的 等差数列,且项数都为 n.

n?n-1? ∴S 偶=n(a1+d)+ · 2d=na1+n(n-1)d+nd. 2 n?n-1? S 奇=na1+ · 2d=na1+n(n-1)d. 2 S 偶-S 奇=nd. S奇 na1+n?n-1?d a1+?n-1?d an = = = . S偶 na1+n?n-1?d+nd a1+nd an+1

性质(7)从略. 性质(8) n?n-1? d 2 d ∵Sn=na1+ d= n +(a1- )n, 2 2 2 d d ∴当 a1>0,d<0 时,2<0,a1-2>0. d a1- 2 而抛物线的顶点横坐标为- >0,开口向下. d 所以此时 Sn 存在最大值.

同理当 a1<0,d>0 时,Sn 存在最小值. 在 a1>0,d<0 时,求 Sn 的最大值可以用二次函数求最值,
? ?an≥0 也可以解不等式组? ? ?an+1<0

来确定 n;在 a1<0,d>0 时,求 Sn

? ?an≤0 的最小值可用二次函数求最值,也可以解? ? ?an+1>0

来确定 n.

7.解决数列的应用问题,应重点分清所求问题是数列的 通项,还是前 n 项的和.求项数时,要注意分清究竟是多少项, 避免多一项和少一项的错误,对其结果,要看有无合理解释, 是否符合实际问题. 8.方程的思想:在等差数列中,a1,d,an,Sn,n 五个量 中知道 3 个可列方程(组)求其余两个.

思路方法技巧

命题方向

数列{an}的前 n 项和与通项的关系

[例 1]

Sn 是数列{an}的前 n 项和,据条件求 an.

(1)Sn=2n2+3n; (2)Sn=3n-2. [分析]
? ?S1 ? ? ?Sn-Sn-1

一 般 地 , 已 知 Sn 求 an , 可 利 用 an =

n=1 求解. n≥2

[解析]

(1)a1=S1=5,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2n2+

3n)-[2(n-1)2+3(n-1)]=4n+1,当 n=1 时也适合,∴an= 4n+1. (2)a1=S1=1,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1 -2)=2×3n 1,显然 a1 不适合,


? ?1 ∴an=? n-1 ? ?2×3

?n=1? ?n≥2?

.

1 已知数列{an}满足 a1=2,Sn=n2· an,则 an=________.
1 [答案] n?n+1?

[分析]

根据条件给出的 Sn 与 an 的关系, 可推出数列的递

推公式,然后选择方法求解.

[解析]

∵Sn=n2· an,①

∴Sn-1=(n-1)2an-1(n≥2).② ①-②得 an=n2· an-(n-1)2· an-1. n-1 整理得 an= · a-, n+1 n 1 an n-1 即 = (n≥2). an-1 n+1 an a2 a3 an ∴a =a · · ?· a an-1 1 1 2

1 2 3 4 n-2 n-1 = ···? · 3456 n n+1 2 = . n?n+1? 1 1 ∵a1= ,∴an= (n≥2). 2 n?n+1? 1 而 a1=2也适合上式, 1 ∴an= (n∈N*). n?n+1?

[点评]

an 的两种常见表达技巧.

an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+?+(an-an-1); a2 a3 a4 an an=a1· · · · ?· .(a ≠0,i=1,2,?,n). a1 a2 a3 an-1 i

命题方向

等差数列前 n 项和公式的应用

[例 2]

在小于 100 的正整数中共有多少个数被 3 除余

2?这些数的和是多少? [分析] 被 3 除余 2 的正整数依次为:2,5,8,11,?,可

见它们构成首项 a1=2,公差 d=3 的等差数列,因此可用等 差数列的通项来求解.

[解析] an=3n-1.

小于 100 的正整数中,被 3 除余 2 的数可以写成

由 an<100 得 3n-1<100,∴n≤33, ∴这样的正整数共有 33 个. 33×32 它们的和为 S33=33×2+ 2 ×3=1650.

(1)从 1 到 200 的所有整数中, 既不是 2 的倍数, 又不是 3 的倍数的整数的和为________. (2)已知两个等差数列{an},{bn},它们的前 n 项和分别为 Sn 2n+3 a9 Sn,S′n,若 = ,则 =________. b9 S′n 3n-1
[答案] 37 (1)6733 (2) 50

[分析]

(1)从 1 到 200 的整数中,所有 2 的倍数是首项为

a1=2,公差 d=2 的等差数列,是 3 的倍数且不是 2 的倍数依 次组成以 3 为首项,6 为公差的等差数列,求出这两个数列的 和再从 1~200 所有整数的和中减去即可. (2)可利用前 n 项和的公式及等差中项,将通项之比与前 n 项和的比联系起来.

[解析]

(1)1 到 200 的所有整数和

?1+200?×200 S= =20 100, 2 ?2+200?×100 其中偶数和为 P= =10 100, 2 ?3+195?×33 奇数中 3 的倍数的和 Q= =3 267, 2 ∴满足条件的所有数的和为 20 100-10 100-3 267=6 733.

(2)∵{an},{bn}均为等差数列, ∴2a9=a1+a17,2b9=b1+b17, 17 ?a +a ? a9 2a9 a1+a17 2 1 17 S17 则 = = = = b9 2b9 b1+b17 17 S′17 2 ?b1+b17? 2×17+3 37 = =50. 3×17-1

建模应用引路

[例 3] 某单位用分期付款的方式为职工购买 40 套住房, 共需 1 150 万元,购买当天先付 150 万元,按约定以后每月 这一天都交付 50 万元,并加付所有欠款利息,月利率为 1%, 若交付 150 万元后的一个月开始算分期付款的第一个月,问 分期付款的第 10 个月应付多少钱?全部付清后,买这 40 套 住房实际花了多少钱? [分析] 由已知可得数列的通项公式,由题意即求 a10、 S20.

[解析]

因购房时付 150 万元,则欠款 1 000 万元,依题

意分 20 次付款,则每次付款的数额顺次构成数列{an}. 则 a1=50+1 000×1%=60, a2=50+(1 000-50)×1%=59.5, a3=50+(1 000-50×2)×1%=59, a4=50+(1 000-50×3)×1%=58.5, ∴an=50+[1 000-50(n-1)]×1% 1 =60-2(n-1) (1≤n≤20,n∈N).

1 ∴{an}是以 60 为首项,- 为公差的等差数列, 2 1 ∴a10=60-9×2=55.5, 1 a20=60-19×2=50.5. 1 ∴S20= ×(a1+a20)×20 2 =10×(60+50.5)=1 105. ∴实际共付 1 105+150=1 255(万元).

“嫦娥”奔月,举国欢庆,据科学计算运载“嫦娥”飞 船的“长征 3 号甲”火箭,点火 1 分钟内通过的路程为 2km, 以后每分钟通过的路程增加 2km,在到达离地面 240km 的高 度时,火箭与飞船分离,则这一过程大约需要的时间是( A.10 分钟 C.15 分钟
[答案] C

)

B.13 分钟 D.20 分钟

[解析]

由题设条件知, 火箭每分钟通过的路程构成以 a1

=2 为首项,公差 d=2 的等差数列,∴n 分钟内通过的路程 n?n-1? 为 Sn=2n+ ×2=n2+n=n(n+1). 2 检验选项知,n=15 时,S15=240km.

探索延拓创新

命题方向

an 与 Sn 关系的综合运用

[例 4] +2),求 an. [分析]

已知数列{an}满足 a1+2a2+?+nan=n(n+1)(n

注意观察条件等式左边可以发现,各项具有相

同的构成规律,如果令 bn=nan,则左端就是数列{bn}的前 n 项和.

[解析]

令 bn=nan,则{bn}的前 n 项和 Sn=b1+b2+?+

bn=n(n+1)(n+2), ∴b1=S1=6,n≥2 时,bn=Sn-Sn-1=n(n+1)(n+2)-(n -1)· n· (n+1)=3n(n+1). 当 n=1 时也适合,∴bn=3n(n+1), ∴an=3(n+1).

[点评]

(1)构造新数列是解决数列问题常用的方法.

(2)a1+2a2+3a3+?+nan 是数列{nan}前 n 项的和而不是 {an}前 n 项的和.

合作探究 数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-n-8,则 (1){an}的通项公式为 an=________. (2){|an|}的前 n 项和 Tn=________.
? ?-8 (1)? ? ?2n-2

[答案]

?n=1? ?n≥2?

(2)n2-n+8

[解析]

(1)a1=S1=-8,n≥2 时,an=Sn-Sn-1

=(n2-n-8)-[(n-1)2-(n-1)-8]=2n-2.
? ?-8 ∴an=? ? ?2n-2

?n=1? ?n≥2?

.

(2)∵n≥2 时 an=2n-2>0,a1<0, ∴Tn=|a1|+|a2|+?+|an| =-a1+a2+?+an =-2a1+(a1+a2+?+an)=-2a1+Sn =-2×(-8)+(n2-n-8) =n2-n+8.

设{an}为等差数列, Sn 为数列{an}的前 n 项和, 已知 S7=7, Sn S15=75,Tn 为数列{ }的前 n 项和,则 Tn=________. n
1 2 9 [答案] n - n 4 4

[解析]

设等差数列{an}的公差为 d,则

1 Sn=na1+ n(n-1)d. 2
? ?7a1+21d=7, ∵S7=7,S15=75,∴? ? ?15a1+105d=75, ? ?a1+3d=1, 即? ? ?a1+7d=5.

解得 a1=-2,d=1. Sn 1 1 ∴ n =a1+2(n-1)d=-2+2(n-1),

Sn+1 Sn 1 ∵ - = , n+1 n 2 Sn 1 ∴数列{ }是等差数列,其首项为-2,公差为 , n 2 1 2 9 ∴Tn=4n -4n.

创新思维训练 *在等差数列{an}中, (1)若{an}的前 n 项和为 377,项数 n 为奇数,且前 n 项中 奇数项和与偶数项和之比为 7:6,求中间项; (2)若前四项和为 25,后四项和为 63,前 n 项和为 286, 求项数 n.

[解析]

S奇 n+1 7 (1)∵n 为奇数,∴ = = , S偶 n-1 6

∴n=13. ∴13· a7=S13=377,∴a7=29. 故所求的中间项为 29.

(2)∵a1+a2+a3+a4=25, an-3+an-2+an-1+an=63, 而 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3, ∴4(a1+an)=88, ∴a1+an=22. n?a1+an? ∴Sn= =11n=286, 2 ∴n=26,故所求的项数为 26.

[点评]

n+1 项数 n 为奇数的等差数列{an}中, 中间项为 a , 2

n-1 n+1 n-1 n+1 n+1 n+1 n-1 S 偶= · a ,S 奇= a +a = a , 2 2 2 2 2 2 2 n+1 n-1 S奇 n+1 2 a 2 ∴ = = . S偶 n-1 n-1 n-1 2 a 2

名师辩误做答

[例 5]

已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+3n+2, 判断{an}

是否为等差数列. [错解] +2]=2n+2. an+1-an=[2(n+1)+2]-(2n+2)=2(常数), ∴数列{an}是等差数列. ∵an=Sn-Sn-1=(n2+3n+2)-[(n-1)2+3(n-1)

[辨析]

an=Sn-Sn-1 是在 n≥2 的条件下得到的,a1 是否

满足需另外计算验证.

[正解]

a1=S1=6,

n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(n2+3n+2)-[(n-1)2+3(n-1)+ 2]=2n+2,
? ?6 ∴an=? ? ?2n+2

n=1 , n≥2

显然 a2-a1=4-6=-2, a3-a2=2,∴{an}不是等差数列.

课堂巩固训练

一、选择题 1. (2011· 内蒙古赤峰市田家炳中学高二期中)设{an}是等差 数列,若 a2=3,a7=13,则数列{an}的前 8 项和为( A.128 B.80 C.64
[答案] C

)

D.56

[解析]

? ?a2=a1+d=3 依题意得,? ? ?a7=a1+6d=13

,∴a1=1,d=2,

8×7 S8=8a1+ d=64,选 C. 2

2.已知{an}是等差数列,a1+a2=4,a7+a8=28,则该数 列前 10 项和 S10 等于( A.64 B.100 )

C.110 D.120
[答案] B

[解析]

设数列{an}的公差为 d,由题意得,

2a1+d=4,2a1+13d=28,所以 a1=1,d=2. 10×9 ∴S10=10×1+ 2 ×2=100. [点评] 可设 bn=a2n-1+a2n,则{bn}为等差数列,其公差

b4-b1 D= =8, 3 5× 4 ∴S10=b1+b2+?+b5=5b1+ D=100. 2

二、填空题 3.等差数列{an}中,a5=3,a6=-2,则 a4+a5+?+a10 =__________.

[答案] -49

[解析]

7?a4+a10? d=a6-a5=-5.∴a4+a5+?+a10= = 2

7 2(a5-d+a5+5d)=7(a5+2d)=7(3-10)=-49.

4.在等差数列{an}中,a5+a10=58,a4+a9=50,则它的 前 10 项和为__________.

[答案]

210

[解析]

解法 1:a5+a10=2a1+13d=58,

a4+a9=2a1+11d=50,∴a1=3,d=4, 10×9 ∴S10=10×3+ 2 ×4=210. 解法 2:a5+a10=(a1+a10)+4d=58, a4+a9=(a1+a10)+2d=50,∴a1+a10=42, 10?a1+a10? ∴S10= =210. 2


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