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2014年高三数学(文科)试卷(1)


2014 年高三数学(文科)试卷(1)
第一部分 选择题(共 50 分)
参考公式: 锥体的体积公式是 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1、已知全集 U ?

R ,集合 A ? {?1 , 0 , 1 , 2 , 3} , B ? {x | 0 ? x ? 2},则 A ? ? B =( U A、 {?1 , 3} B、 {0 , 1} C、 {?1 , 2 , 3} ) D、
3 1 ? i 2 2

?

?



D、 {?1 , 0 , 3}

2、已知 i 为虚数单位,则复数 z 满足 z (1 ? i) ? 2 ? i ,则 z =( A、 3 ? i B、 1? 3i C、
1 3 ? i 2 2

3、已知数列 {an } 是等比数列,且 a1 ? A、-2 4、 已知 sin( A、 ? 5、“ 2
a

B、-

?

1 2

1 , a4 ? ?1 ,则 {an } 的公比 q 为( ) 8 1 C、2 D、 2

7 9

1 ? ? ) ? ,则 cos 2? 的值为( ) 2 3 7 2 B、 C、 9 9

D、 ?

2 3

? 2b ”是 “ log2 a ? log2 b ”的( )
B、 必要不充分条件 D、 既不充分也不必要条件

A、 充分不必要条件 C、 充要条件

? x ? y ? 4 ? 0, ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ? 6.若实数 x,y 满足不等式组 ? 则 3x ? 2 y 的最小值是( ? x ? 0, ? y ? 0, ?
A、0 B、-2 C、-10 D、 -12



1

1 2

7、已知正三棱柱(侧棱与底面垂直,底面是正三角形)的 高与底面边长均为 1 ,其直观图和正(主)视图如图 1,则 它的左(侧)视图的面积是( )
直观图 图2

2

正视图

1

A、 1

B、

3

C、

3 2
??? ?

D、

1 2
) 第 7 题图

8.在 ?ABC 中, ?A ? 120? , AB ? AC ? ?1 ,则 | BC | 的最小值是( A、

??? ???? ?

2

B、 2

C、 6

D、 6

9、若双曲线的右焦点 F 到一条渐近线的距离是点 F 到右顶点的距离与点 F 到中心的距离 的等差中项,则此双曲线离心率 e ? ( A、 ) C、

5 4

B、

4 3

2

D、 3 )

10、设函数 f ( x) ? A、 (1 , 4]

x ? 1 ,若 0≤ a < b ,且 f (a) ? f (b) ,则 a ? b 的取值范围是(

B、 (2 , 4]

C、 (1 , ? ?)

D、 (2 , ? ?)

第二部分非选择题(共 100 分)
二、填空题: (本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.) (一)必做题(11~13 题) 11 、 函 数 y ? 为
开始

2 ? x ? log 3 (1 ? x) 的 定 义 域


S=0 i =1

12、 某程序框图如右图所示, 该程序运行后输出 S 的 值是 。
是 i > 100 否 输出 S S=S+2 i =2i+1

13、若在区间 ? ?1,1? 内任取实数 a ,在区间 ? 0,1? 内 任 取 实 数 b , 则 直 线 ax ? by ? 0 与 圆

? x ? 1?

2

? ? y ? 2 ? ? 1 相交的概率为
2


结束

(二) 选做题 (14 ~15 题, 考生只能从中选做一题; 两道题都做的,只记第一题的分) 14、 (坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C 的参数方程为 ? 线 C 上的点到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离的最大值为

(第 12 题)

? x ? 1 ? cos ? (? 为参数) ,则曲 ? y ? sin ?


15、 (几何证明选讲选做题)如图,圆 O 是△ABC 的外接圆,过点 C 的切线交 AB 的延长线 于点 D,CD=2 7,AB =3.则 BD 的长为 。 A B O
2

D

C

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16、 (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? 2 cos x ? 3 sin 2 x 。
2

(Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)当 x ? ?0,

? ?? 时,求函数 f ( x) 的最大值。 ? 3? ?

17、 (本小题满分 12 分)从某学校的 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高,被测学生身高 全部介于 155cm 和 195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组 [155,160) ,第 二组 [160,165) ,…,第八组 [190,195] ,下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的 一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为 4 人. (Ⅰ)求第七组的频率; (Ⅱ) 估计该校的 800 名男生的身高的 中位数以及身高在 180cm 以上(含
0.06 频率/组距 频率/组距

180cm )的人数;
(Ⅲ) 若从身高属于第六组和第八组的 所有男生中随机抽取两名男生,求抽 出的两名男生是在同一组的概率。 18、(本小题满分 14 分)如图所示,

0.04

0.016 0.008 O
155 160 165 170 175 180 185 190 195 身高 (cm) 身高(cm)

PA ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 为正方形,且 2PA ? AD , E、F、G、H 分别是线段
PA、PD、CD、BC 的中点。
(Ⅰ)求证: BC // 平面 EFG ; (Ⅱ)求证: DH ? 平面 AEG ; (Ⅲ)求三棱锥 E ? AFG 与四棱锥 P ? ABCD 的体 积比。

(第 18 题图)

3

19、 (本小题满分 14 分)已知正项数列 {an } 的前 n 项和为 S n , S n 是 中项。 (Ⅰ)求证:数列 {an } 是等差数列并求出其通项公式; (Ⅱ)若 b1 ? a1 ,且 bn ? 2bn ?1 ? 3 ,求数列 {bn } 的通项公式; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若 cn ?

1 2 与 ( an ? 1) 的等比 4

an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . bn ? 3

20. (本小题满分 14 分)已知椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,抛物线的方程为 a 2 b2

x 2 ? a 2 y ,直线 l : x ? y ? 1 ? 0 过椭圆 C 的右焦点 F 且与抛物线相切。
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 A, B 为抛物线上两个不同的点, l1 , l2 分别与抛物线相切于 A, B , l1 , l2 相交于

E 点,弦 AB 的中点为 D ,求证:直线 ED 与 x 轴垂直。

3 3 21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ?x ? ? x3 ? (a ? 4) x 2 ? (a ? 2) x , a ? R . 4 2 (Ⅰ)当 a ? 2 时,求 f (x) 的单调区间;

(Ⅱ)是否存在实数 a ? (0 , 2] ,使得对任意的 x ?[0 , a] ,不等式 0 ? f ( x) ? a 恒成立? 若存在,求出所有 a 的值;若不存在,请说明理由.

4

参考答案
一、选择题:CDAAB 11、 (?1, 2] DCCAB 13、

12.、12

5 16

14、

3 2 ?1 2

15、4

16、解: (1)? f ( x) ? 2 cos2 x ? 3 sin 2 x ? 2 sin? 2 x ?

? ?

??

? ? 1 ……….4 分 6?

?函数f ( x)的最小正周期T ?

2? ? ? ……………………………….5 分 2

由2k? ? k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ? ,k ? Z
? ?

?
2

?
3

? x ? k? ?

?
6

所以函数的单调递增区间是 ?k? ?

?
3

, k? ?

??
6? ?

(k ? Z ) ……………………7 分

(2) 当x ? ?0, ?时,x ? 2

? ?? ? 3?

?

? ? 5? ? ?? , ? 6 ?6 6 ?

?当2 x ?

?
6

?

?
2

,即x ?

?
6

, f ( x)的最大值是3 …………………………12 分

17、解: (Ⅰ)第六组的频率为

4 ? 0.08 ,所以第七组的频率为 50

1 ? 0.08 ? 5 ? (0.008 ? 2 ? 0.016 ? 0.04 ? 2 ? 0.06) ? 0.06 ; …………………4 分
(Ⅱ)身高在第一组[155,160)的频率为 0.008 ? 5 ? 0.04 , 身高在第二组[160,165)的频率为 0.016 ? 5 ? 0.08 , 身高在第三组[165,170)的频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 , 身高在第四组[170,175)的频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 , 由于 0.04 ? 0.08 ? 0.2 ? 0.32 ? 0.5 , 0.04 ? 0.08 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.52 ? 0.5 估计这所学校的 800 名男生的身高的中位数为 m ,则 170 ? m ? 175 由 0.04 ? 0.08 ? 0.2 ? (m ? 170) ? 0.04 ? 0.5 得 m ? 174.5 所以可估计这所学校的 800 名男生的身高的中位数为 174.5 …………………………6 分 由直方图得后三组频率为 0.06 ? 0.08 ? 0.008 ? 5 ? 0.18 , 所以身高在 180cm 以上(含 180cm)的人数为 0.18 ? 800 ? 144 人. ………………8 分 (Ⅲ) 第六组 [180,185) 的人数为 4 人,设为 a, b, c, d ,第八组[190,195]的人数为 2 人, 设 为 A, B ,则从中抽两名的情况有 ab, ac, ad , bc, bd , cd , aA, bA, cA, dA, aB, bB, cB, dB, AB 共 15 种,………………10 分

5

其中抽出的两名男生是在同一组的有 ab, ac, ad , bc, bd , cd , AB 共 7 种情况, 故抽出的 两名男生是在同一组的的概率为

7 . ………12 分 15

18、解: (Ⅰ)? E, F 分别为 PA, PD 中点,所以 AD∥EF,∵BC∥AD, ,∴BC∥EF.. ..2 分

? BC ? 平面EFG, EF ? 平面EFG
......4 ? BC ∥平面 EFG...... 分 (Ⅱ)∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥DH ,即 AE⊥DH..... ..... ∵△ADG≌△DCH ,∴∠HDC=∠DAG,∠AGD+∠DAG=90° ∴∠AGD+∠HDC=90° ∴DH⊥AG 又∵AE∩AG=A,∴DH⊥平面 AEG...... 分 ......9 (Ⅲ)由 PA⊥平面 ABCD,得 PA ? CD ,又 CD ? AD ,所以 CD ? 平面 PAD , 所以 VE ? AFG ? VG ? AEF ? 又 VP ? ABCD ?

1 S AEF ? GD , 3

1 S ABCD ? PA 3 1 1 S AEF ? GD AE ? EF ? GD VE ? AFG 1 所以 ? 3 ?2 ? VP ? ABCD 1 S AB ? AD ? PA 16 ABCD ? PA 3
19、解: (Ⅰ) ( Sn ) ?
2

.....14 分 ....

1 1 (an ? 1)2 即 Sn ? (an ? 1)2 ------1 分 4 4 1 2 当 n ? 1 时, a1 ? (a1 ? 1) ,∴ a1 ? 1 ------2 分 4 1 2 当 n ? 2 时, Sn ?1 ? (an ?1 ? 1) 4 1 2 2 ∴ an ? Sn ? Sn ?1 ? (an ? an ?1 ? 2an ? 2an ?1 ) ------3 分 4
即 (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ? 2) ? 0 ------4 分 ∵ an ? 0 ∴ an ? an ?1 ? 2

∴数列 {an } 是以 1 首项 2 为公差的等差数列,所以 an ? 2n ? 1。------5 分 (Ⅱ)由 bn ? 2bn ?1 ? 3 得 bn ? 3 ? 2(bn ?1 ? 3) ------7 分 ∴数列 {bn ? 3} 是以 2 为公比的等比数列 ∴ bn ? 3 ? (b1 ? 3)2
n ?1

? (a1 ? 3)2n?1 ? 2n?1 ------9 分
6

∴ bn ? 2 (Ⅲ) cn ?

n ?1

?3

------10 分

an 2n ? 1 ? n ?1 bn ? 3 2

------11 分

1 3 5 2n ? 1 ① ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 2 2 2 2 2 1 1 1 3 5 2n ? 1 两边同乘以 得 Tn ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ? 2 ② 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 n ?1 ①-②得 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ?2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2n ? 1 Tn ? ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 ? n?1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2n ? 1 3 2 n ? 3 ------14 分 ? ? (1 ? n ?1 ) ? n ?1 ? ? n ?1 2 2 2 2 2
∴ Tn ? 20、解: (1)由 x ? a y. 得 y ?
2 2

1 2 2 x ,所以 y? ? 2 x 2 a a
2

? 2 x0 ? a2 ? 1 ? ? x0 ? 2 x0 ? ? 设直线与抛物线相切的切点为 ? x0 , 2 ? ,所以 ? 2 ,解得 ? 2 。 a ? x0 ?a ? 4 ? ? ? x0 ? 1 ? a2 ?
又直线 l : x ? y ? 1 ? 0 过椭圆的右焦点,所以 c ? 1 。

所以椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1 。…………………………….7 分 4 3
2

(2)由(1)可知抛物线方程为 x ? 4 y ,设 A ? x1 ,

? ?

x12 ? ? x2? , B ? x2 , 2 ? ? x1 ? x2 ? , ? 4 ? ? 4 ?


抛物线在 A ? x1 ,

? ?

x12 4

? x2 x x x2 处的切线方程为: y ? 1 ? 1 ? x ? x1 ? ,即 y ? 1 x ? 1 , ? 4 2 2 4 ?

同理抛物线在 B ? x2 ,

? ?

x2 2 4

? x x2 处的切线方程为: y ? 2 x ? 2 ,② ? 2 4 ?

①-②得:

x1 x2 x x2 x ?x x ?x x ? 1 ? 2 x ? 2 ,可得 x ? 1 2 ,即 xE ? 1 2 。 2 4 2 4 2 2

D 为 AB 的中点,则 xD ?

x1 ? x2 , 2

所以 xD ? xE ,即直线 ED 与 x 轴垂直。…………………………….14 分

7

21、 (Ⅰ) a ? 2 时, f ?x ? ? x3 ? 解: 当 分

9 2 求导 f ' ?x ? ? 3x 2 ? 9 x ? 6 ? 3( x ? 1)( x ? 2) . …2 x ? 6x , 2

令 f ' ( x) ? 0 , x1 ? 1 , x2 ? 2 , 当 f ' ( x) ? 0 时, x ? 1 ,或 x ? 2 ; 当 f ' ( x) ? 0 时, 1 ? x ? 2 , 所以 f (x) 的单调递增区间是 (??,1), (2,??) ,单调递减区间是 (1,2) . (Ⅱ)求导 f ' ?x ? ? 3x 2 ?
? 3 3 3 (a ? 4) x ? (a ? 2) ? [2 x 2 ? (a ? 4) x ? (a ? 2)] 2 2 2

… 6 分

3 ( x ? 1)[2 x ? (a ? 2)] . 2 a ? 1 ? 1(a ? 0) , 2

………… 7 分

令 f ' ( x) ? 0 , x1 ? 1 , x 2 ?

当 f ' ( x) ? 0 时, x ? 1 ,或 x ?

a a ? 1 ;当 f ' ( x) ? 0 时, 1 ? x ? ? 1 , 2 2

a a 所以 f (x) 的单调递增区间是 (??,1), ( ? 1,??) ,单调递减区间是 (1, ? 1) . … 9 分 2 2 因为 f (0) ? 0 ,下面分类讨论研究当 x ?[0 , a] 时, f (x) 最大值与最小值: (1)当 0 ? a ? 1 时, f (x) 在 [0 , a] 上单调递增,

即 f ( x) min ? f (0) ? 0 ,

f ( x) max ? f (a) ?

1 3 3 2 a ? a ? 3a , 4 2
………… 12 分

只要 f (a) ? a 成立即可,解得 2 ? a ? 4 ,所以 a 不存在. (2)当 1 ? a ? 2 时,即 1 ? a ?

a ? 1 , f (x) 在 [0 , 1] 上单调递增,在 (1, a ] 单调递减, 2
f ( x) max ? f (1) ,

f ( x) min ? min{ f (0), f (a)} ,

1 3 3 2 ? ? f (a) ? 4 a ? 2 a ? 3a ? 0 只要 ? ,解得 a ? 4 ,所以 a 也不存在. 3 ? f (1) ? a ? 1 ? a 4 ?
综上所述,满足条件的实数 a 不存在. ………… 14 分

8


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