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广东省湛江市2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题 文


湛江市 2014—2015 学年度第二学期期末调研考试 高中数学(选修 1-2 、4-4)试卷
说明:本卷满分 150 分.考试用时 120 分钟. 参考公式:

1.用最小二乘法求线性回归方程系数公式 b ? 线

?

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

n<

br />
?

?

? x y ? nx y
=
i ?1 n i i

n

? (x
i ?1

n

i

? x)

?

2

?x
i ?1

2 i

? nx

2



? ? y ?b x . a
学号 2.随机量变 K ?
2

?

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

(其中 n ? a ? b ? c ? d ).

临界值表

P( K 2 ? k )
k
姓名 封

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.84

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.83

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.请把正确答案的代号填入下面的表格内 题号 选项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分

班级

1.有下列关系:(1)人的年龄与他(她)体内脂肪含量之间的关系;(2)曲线上的点与该 点的坐标之间的关系;(3)红橙的产量与气候之间的关系;(4)学生与他(她)的学号之 间的关系。 其中有相关关系的是 密 A.(1)、(2) B.(1)、(3) C.(1)、(4) D.(3)、(4)

学校

2.右表是 x 和 y 之间的一组数据,则 y 关于 x 的回归直线方程必 过 A.点( 2 , 3 ) C.点( 2 .5 , 4 )
2 2

x
y

1 1

2 3

3 5

4 7

B.点( 3 , 5 ) D.点( 2 .5 , 5 )
2 2 2

3.由 1=1 ,1+3=2 ,1+3+5=3 ,1+3+5+7=4 ,?,得到 1+3+?+(2n-1)=n 用的是

-1-

A.归纳推理

B.演绎推理

C.类比推理

D.特殊推理

4. 由①正方形的对角线相等; ②平行四边形的对角线相等; ③正方形是平行四边形, 根据 “三 段论”推理出一个结论,则这个结论是 A.正方形的对角线相等 C.正方形是平行四边形 B.平行四边形的对角线相等 D.其它

5.在如图的知识结构图中:“求简单函数的导数” 的“上位”要素有 A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个

6.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个 小于或等于 60 度”时,反设正确的是 A.假设三内角都不大于 60 度; C.假设三内角至多有一个大于 60 度; 7.以下可以作为直线 y ? 2 x ? 1 参数方程的是
x ? t 2 (t 为参数) A. ? ? 2 ? y ? 2t ? 1

B.假设三内角都大于 60 度; D.假设三内角至多有两个大于 60 度.

? x ? 2t ? 1 B. ? (t 为参数) ? y ? 4t ? 1
x ? sin ? D. ? ( ? 为参数) ? y ? 2 sin ? ? 1 ?

? x ? t ?1 C. ? (t 为参数) ? y ? 2t ? 1

8.设点 P 对应的复数为 -3+3i,以原点为极点,实轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点 P 的 极坐标为 A.( 3 2 , ? )

3 4

B. ( ? 3 2 , ? )

5 4

C. (3, ? )

5 4

D. (-3, ? )

3 4

9.直线 l 的极坐标方程为 ? cos? ? 3? sin ? ? 5 ,圆 C 的参数方程为

? x ? 5 ? 2cos ? ?? 为参数,? ?[0, 2? ) ? ,则直线 l 与圆 C 的位置关系是 ? ? y ? 4 ? 2sin ?
A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定

1 ? x? ? t 10.参数方程 ? ( t 为参数)所表示的曲线是 1 2 ?y ? t ?1 t ?
y y y y

0

x

0

x

0

x

0

x

-2-

A 二、填空题:本 每小题 5 分,共 男 11. 计 算 女 总计

B

C

D 大题共 4 小题,

喜欢数学课程 37 35 72

不喜欢数学课程 85 143 228

总计 122 178 300

20 分.

1 ?i? ? i



12 .某校在对学

生是否喜欢数学

的抽样调查中,随机抽取了 300 名学生,相关的数据如下表所示:

由表中数据直观分析,该校学生的性别与是否喜欢数学之间

关系(填“有”或“无”).

? x ? cos ? ? 2 13. 极坐标方程 3? cos? ? 4? sin ? ? 3 和参数方程 ? (θ 为参数)所表示的图形分 ? y ? sin ?
别是(依次 填写序号): .. ①直线; ②圆; . ③抛物线; ④椭圆; ⑤双曲线.
.

14.由图(1)有面积关系: S ?PA?B ? ? PA? ? PB ?, 则由(2) 有体积关系:VP ? A?B ?C ? ? VP ? ABC S ?PAB PA ? PB
B

B A'

A' C'

C

P B'
图(1)

A

P B'
图(2)

A

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 12 分)

-3-

已知直线 l1 的参数方程为: ?

? x ? 1 ? 2t , t 为参数. ? y ? 3?t

(1)将直线 l1 的参数方程化成直线的普通方程(写成一般式); (2)已知直线 l 2 : x ? y ? 2 ? 0 ,判断 l1 与 l 2 是否相交,如果相交,请求出交点坐标.

16.(本小题满分 12 分) 若 x, y 都是正实数,且 x ? y ? 2, 求证:
1? x 1? y ?2与 ? 2 中至少有一个成立. y x

-4-

17.(本小题满分 14 分) 已知复数 z ?

3?i , z1 ? 2 ? m i . 2?i

(1)若 | z ? z1 | = 5 ,求实数 m 的值; (2)若复数 az ? 2i 在复平面上对应的点在第二象限,求实数 a 的取值范围.

-5-

18.(本小题满分 14 分) 某班主任对全班 50 名学生进行了作业量多少的调查, 喜欢玩电脑游戏的同学认为作业多的 有 18 人,认为作业不多的有 9 人,不喜欢玩电脑游戏的同学认为作业多的有 8 人,认为作业 不多的有 15 人. (1)根据以上数据建立一个 2 ? 2 的列联表; (2)你认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约是多少?(参考公式及有 关数据见卷首,参考数值: 13 ? 4 ? 23 ? 1196 , 121 ? 1196 ? 0.10117 )

-6-

19.(本小题满分 14 分) 某农科所对夏季昼夜温差大小与某反季节马铃薯新品种发芽多少之间的关系进行分析研 究,他们分别记录了 6 月 1 日至 6 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 中的发芽数, 得到如下资料:

日期 温差

6月1日 10

6月2日 11

6月3日 13

6月4日 12

6月5日 8

x /℃
发芽数

y /颗

23

25

30

26

16

该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取 2 组,用剩下的 3 组数据求回归直 线方程,再对被选取的 2 组数据进行检验. (1)求选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率; (2)若选取的是 6 月 1 日与 6 月 5 日的两组数据,请根据 6 月 2 日至 6 月 4 日的数据,求出 y

?x ? a ? ?b ?; 关于 x 的回归直线方程 y
(3)若由回归直线方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗,则认为得到 的回归直线方程是可靠的,试问(2)中所得的回归直线方程是否可靠?
2 2 2 (参考数据: 11 ? 25 ? 13 ? 30 ? 12 ? 26 ? 977 , 11 ? 13 ? 12 ? 434)

-7-

20.(本小题满分 14 分) 在同一平面直角坐标系中, 曲线 C : x 2 ? y 2 ? 1 经过伸缩变换 ? (1)求曲线 C ? 的方程; (2)在曲线 C ? 上求一点 P ,使点 P 到直线 x ? 2 y ? 8 ? 0 的距离最小,求出最小值并写出此 时点

? x ? ? 3x 后, 变为曲线 C ? . ? y ? 2 y ?

P 的直角坐标.

-8-

湛江市 2014—2015 学年度第二学期期末调研考试

高中数学选修 1-2 及选修 4-4 试题

参考答案及评分意见

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 题号 选项 1 B 2 C 3 A 4 A 5 B 6 B 7 C 8 A 9 C 10 D

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11. ? 2i 12.有 13.①② 14.

PA' ? PB' ? PC ' PA ? PB ? PC

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15.(本小题满分 12 分) 解: (1) 将参数方程 ? 分 (2) 两直线斜率不相同, 因此它们相交; ????????????????????6 分 下面求它们的求点坐标: 法一:将 l1 的参数方程 ?

? x ? 1 ? 2t 化为普通方程:x ? 2 y ? 7 ? 0 . ????????????4 ? y ? 3?t

? x ? 1 ? 2t 代入 l 2 的方程 x ? y ? 2 ? 0 ,得: ? y ? 3?t

(1 ? 2t ) ? (3 ? t ) ? 2 ? 0 , ???????????????????????8 分
解 得

t ? 2 .???????????????????????????????9 分
代 入 参 数 方 程 , 得

? x ? ?3 .????????????????????????11 分 ? ?y ? 5
∴ 交 点 的 坐 标 为

(?3,5) . ???????????????????????????12 分
法二:联立方程 ?

?x ? 2 y ? 7 ? 0 ? x ? ?3 ,解得 ? . ? x? y?2?0 ?y ? 5
-9-

















(?3,5) . ?????????????????????????12 分
16.(本小题满分 12 分) 证 明 : 假 设
1? x ?2 y



1? y ?2 x







立,??????????????????????2 分 则 有

1? x ?2 y



1? y ?2 x







立,??????????????????????4 分 因为 x ? 0 且 y ? 0 , 所 以

1? x ? 2y



1 ? y ? 2 x .??????????????????????????8 分
两式相加,得 2 ? x ? y ? 2 x ? 2 y , 所 以

x ? y ? 2 , ???????????????????????????????10 分
这与已知条件 x ? y ? 2 矛盾, 因 此
1? x ?2 y



1? y ?2 x















立. ???????????????????12 分 17.(本小题满分 14 分) 解: (1) z ? 分

3 ? i (3 ? i)(2 ? i ) ? ????????????????????????1 2 ? i (2 ? i )(2 ? i)

?
?3 分

5 ? 5i 5

????????????????????????????

? 1 ? i . ?????????????????????????????
?4 分

? z ? z1 = 1 ? i ? 2 ? mi = 3 ? (m ? 1)i = 3 2 ? (m ? 1) 2 ? 5 ,???????????
?5 分

- 10 -



9 ? (m ? 1) 2 ? 25 . ?????????????????????????????6 分
解 得

m ? ?5



3 .??????????????????????????????8 分
( 2 )

az ? 2i ? a(1 ? i) ? 2i ? a ? (a ? 2)i , ????????????????????10 分
∵ 复数 a ? (a ? 2)i 在复平面上对应的点在第二象限, ∴

? a?0 .???????????????????????????????12 分 ? ?a ? 2 ? 0
解 得

? 2 ? a ? 0 .??????????????????????????????14 分
18.(本小题满分 14 分) 解:(1)建立的 2 ? 2 列联表如下: 认为作业多 喜欢玩电脑游戏 不喜欢玩电脑游戏 合计 18 8 26 认为作业不多 9 15 24 合计 27 23 50

?????????????????????????????????????? ?7 分 ( 2 ) 由 上 表 得

K2











k?

50(18 ?15 ? 8 ? 9)2 ????????????????9 分 26 ? 24 ? 27 ? 23 ?
?

50 ? (9 ? 22) 2 26 ? 24 ? 27 ? 23

50 ? 11 ? 11 13 ? 4 ? 23 121 ? 50 ? 1196
? 5.059 .?????????????????????????
- 11 -

12 分 (只要得数正确即给满 3 分) ∵

k ? 5.024 . ?????????????????????????????????13
分 ∴ 查表可知,有 97.5% 的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关

系.????????14 分 19.(本小题满分 14 分) 解: (1)设抽到不相邻 2 天两组数据为事件 A , 因为从 5 组数据中选取 2 组数据共有 10 种情况, 每种情况都是等可能出现的,其中抽到相邻两组数据的情况有 4 种, 所 以

P ( A) ? 1 ?

4 3 ? ,????????????????????????????3 分 10 5
组 数 据 恰 好 是 不 相 邻 2 天 数 据 的 概 率 是

故 选 取 的 2

3 . ???????????????4 分 5
(2)由数据, 求得 x ? 分

1 1 (11 ? 13 ? 12) ? 12 ,y ? (25 ? 30 ? 26) ? 27 , ?????????6 3 3
3

?x y
i ?1 i

3

i

? 11? 25 ? 13? 30 ? 12 ? 26 ? 977 , ? xi ? 112 ? 132 ? 122 ? 434,
2 i ?1

?? 由公式, 得b

?x y
i ?1 3 i

3

i

? 3x y ? ? 3x 2

?x
i ?1

2 i

977 ? 3 ? 12 ? 27 977 ? 972 5 ? ? , ?????????10 434 ? 432 2 434 ? 3 ? 122



?x ? 27 ? 5 ? 12 ? ?3 , ??????????????????????? ? ? y ?b a 2
?11 分 所 以

y





x









线







?? y

5 x ? 3 . ??????????????????12 分 2 5 ? 10 ? 3 ? 22 , 22 ? 23 ? 2 , 2
- 12 -

(3)当 x ? 10 时, y ?

当 x ? 8 时, y ? 所 以 所

5 ? 8 ? 3 ? 17 , 17 ? 16 ? 2 , 2
得 到 的 回 归 直 线 方 程 是 可 靠

的.??????????????????????14 分 20.(本小题满分 14 分) 解: (1)曲线 C ? 的方程为: ( 4分 (2)因为椭圆 C ? 的的参数方程为 ?

x? 2 y? x? 2 y ? 2 ) ? ( ) 2 ? 1 ,化简得: ? ? 1 .???????? 3 2 9 4

? x ? ? 3 cos? , ? 为参数, ? y ? ? 2 sin ?

所以可设点 P 的坐标为( 3 cos? ,2 sin ? ),?????????????????6 分 由点到直线的距离公式,得到点 P 到直线的距离为

d?
?7 分

3 cos? ? 4 sin ? ? 8 5

,?????????????????????????

3 4 5( cos? ? sin ? ) ? 8 5 cos(? ? ? ) ? 8 5 5 . ??????????????? ? ? 5 5
10 分 由三角函数知识知,当 ? ? ? ? 0 时, d 取最小值 12 分 此时 ? ? ? , cos ? ? cos ? ? 13 分 点 P 的坐标为( 3 ? 14 分

3 5 . ??????????????? 5

3 4 , sin ? ? sin ? ? .????????????????? 5 5

3 4 9 8 , 2 ? ),即( , ). ?????????????????? 5 5 5 5

注:以上各题若有其它解法,请评卷老师酌情给分.

- 13 -


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