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江西莲塘一中2011届高三上学期第一次月考数学试题(理科)


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江西莲塘一中10-11学年高三上学期第一次月考 江西莲塘一中10-11学年高三上学期第一次月考 10 学年高三上学期 数学试卷( 数学试卷(理)
一、选择题 (本小题共12小题,每小题5分,共60分)
x ?1 1.函数 f ( x ) = a + 4 ( a

> 0 ,且 a ≠ 1 )的图像过一个定点,则这个定点坐标是

A. (5,1)

B. (1,5)

C. (1,4)

D. (4,1)

2.若函数 f ( x ) = 1 ? x 的定义域为 A ,函数 g ( x ) = lg( x ? 1) , x ∈ [2,11] 的值域为 B , 则 AI B为 A. ( ?∞,1] B. ( ?∞,1) C. [0,1] D. [0,1)

x=
3.由直线

1 1 y= 2 , x =2,曲线 x 及 x 轴所围图形的面积为 17 B. 4 1 ln 2 C. 2

15 A. 4

D. 2 ln 2

1 f ( x ) = lg x ? ( ) x 2 有两个零点 x1 , x2 ,则有 4.已知函数
A. x1 x2 < 0 B. x1 x 2 = 1 C. x1 x 2 > 1 D. 0 < x1 x 2 < 1

5.点 M ( a, b) 在函数

y=

1 x 的图象上,点 N 与点 M 关于 y 轴对称且在直线 x ? y + 3 = 0

2 上,则函数 f ( x ) = abx + ( a + b) x ? 1 在区间 [?2,2) 上

A.既没有最大值也没有最小值

B.最小值为 ?3 ,无最大值

C.最小值为 ?3 ,最大值为9

13 D.最小值为 4 ,无最大值 ?

2 x x ?1 ≤ x1 ≤ 1 , 1 ≤ x2 ≤ 2 , 6. 已知 a, b ∈ R , 若关于 x 的方程 x ? ax + b = 0 的实根 1 和 2 满足

2 2 则在直角坐标系 aOb 中,点 ( a, b) 所表示的区域内的点 P 到曲线 (a + 3) + (b ? 2) = 1

上的点 Q 的距离| PQ |的最小值为 A. 3 2 ? 1 B. 2 2 ? 1 C. 3 2 + 1 D. 2 2 + 1

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7.有三个函数,第一个函数是 y = f ( x) ,第二个函数是第一个函数的反函数 y = f 第三个函数与第二个函数的图象关于点(1,0)对称。第三个函数是 A.函数 y = f (2 ? x) 的反函数 C.函数 y = 2 ? f ( ? x) 的反函数 B.函数 y = f ( x) + 2 的反函数

?1

( x) ,

D.函数 y = f ( x) ? 2 的反函数

8.函数 y = f ( x) 是定义在 [ a, b] 上的增函数,其中 a, b ∈ R ,且 0 < b < ?a ,已知

y = f ( x) 无零点,设函数 F ( x) = f 2 ( x) + f 2 (? x) ,对于 F ( x) 有如下四个说法:①
定义域是 [ ?b, b] ;②是偶函数;③最小值是0;④在定义域内单调递增;其中正确 说法的个数有 A.4个

B.3个

C.2个

D.1个

9.某班设计了一个八边形的班徽(如图) ,它由腰长为1, 顶角为 α 的四个等腰三角形,及其底边构成的正方形所组成, 该八边形的面积为 (A)2 sin α ? 2 cos α + 2 (C)3sin α ? 3 cos α + 1 (B)sin α ? 3 cos α + 3 (D)2 sin α ? cos α + 1

? g ( x) + x + 4, x < g ( x), f ( x) = ? 2 ? g ( x) ? x, x ≥ g ( x). 10. 设函数 g ( x ) = x ? 2( x ∈ R ) , 则f(x)的值域是
? 9 ? ? 9 ? ? 9 ? ? ? ? 4 , 0 ? U (1, +∞) ? ? 4 , +∞ ? ? ? 4 , 0 ? U (2, +∞) [ 0, +∞ ) (C)? ? ? ? (A) (B) (D)?
11. 将函数 f ( x ) = sin(ω x + ? ) 的图像向左平移 2 个单位.若所得图象与原图象重合, ω 的 则 值不可能等于 A.4 12.设非空集合

π

B.6

C.8
2

D.12

S = { x | m ≤ x ≤ l}

满足:当 x ∈ S 时,有 x ∈ S .给出如下三个命题:①若

m = 1 ,则

S = {1}

;②若

m=?

1 1 1 2 ≤ l ≤1 l= ? ≤m≤0 2 ,则 4 2 ,则 2 ;③若 .其中正
D.3 5 6 7 8 9 10 11 12

确命题的个数是 A.0 B.1 题号 答案 1 2 3 4

C.2

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二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)

?log x, f ( x) = ? 3 ? g ( x). 13.设函数

(x > 0) (x < 0)
若 f ( x ) 是奇函数,则

1 g (? ) 9 的值为



14.设 f ( x ) 是定义在R上的奇函数,在 (?∞, 0) 上有 2 xf '(2 x ) + f (2 x ) < 0 且 f ( ?2) = 0 , 则不等式 xf (2 x ) < 0 的解集为____________ 15.如题(15)图,图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条 封闭曲线 C ,各段弧所在的圆经过同一点 P (点 P 不在 C 上) 且半径相等. 设第 i 段弧所对的圆心角为

α i (i = 1, 2, 3) ,则

cos

α1
3

cos

α 2 + α3
3

? sin

α1
3

sin

α2 + α3
3

=

____________ .

16.设定义在R上的函数 f ( x) 存在反函数,且对于任意 x ∈ R 恒有 R

f ( x + 1) + f (? x ? 4) = 2 ,则 f ?1 (2011 ? x) + f ?1 ( x ? 2009) =
三、解答题(本大题共6小题,共74分)

f ( x) =
17.(12分)已知定义域为R的函数

?2 x + b 2 x +1 + a 是奇函数. (1)求 a, b 的值; (2)若对

2 2 任意的 t ∈ R,不等式 f (t ? 2t ) + f (2t ? k ) < 0 恒成立,求 k 的取值范围.

AC cos B = 18. (12分)在△ ABC 中, AB cos C .
cos A = ?
(Ⅱ)若

(Ⅰ)证明 B = C ;

π? ? 1 sin ? 4 B + ? 3 ? 的值. 3 ,求 ?

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19. (12分) 已知 a 是实数, 函数 f ( x ) = 2ax + 2 x ? 3 ? a , 如果函数 y = f ( x ) 在区间 [? 1,1]
2

上有零点,求 a 的取值范围.

2 ?x 20. (12分)已知函数 f ( x) = ( ax + bx + c)e 的图象过点 (0, 2 a ) ,且在该点处切线的倾斜

角为45° (2)若 f ( x ) 在 [2, +∞ ) 上为单调递增函数,求 a 的取值范围; (1)用 a 表示 b, c ;

21. (12分)已知函数

f ( x ) = x2 , g ( x ) = x ? 1 f ( x) < b ? g ( x)



(1)若存在 x ∈ R 使 (2)设

,求实数 b 的取值范围; ,且 | F ( x) | 在 [

F ( x ) = f ( x ) ? mg ( x ) + 1 ? m ? m2

0 ,1]

上单调递增,求实数 m 的取

值范围.

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22. (14分)设函数 f ( x) = ln( x + a ) + x

2

(I)若当 x = ?1 时, f ( x ) 取得极值,求 a 的值,并讨论 f ( x ) 的单调性;

(II)若 f ( x ) 存在极值,求 a 的取值范围,并证明所有极值之和大于

ln

e 2.

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莲塘一中2010 2011 莲塘一中2010—2011学年度高三年级第一次月考 2010 2011学年度高三年级第一次月考 数 学 试 卷(理)参考答案 1 B 2 C 3 D 4 D 5 D 6 A 7 C 8 C 9 A 10 D 11 B 12 D

13. 2

14. (?1,1)

?
15.

1 2

16.-3

?1 + b =0 f ( x) 是定义在R上的奇函数,所以 f (0) = 0 ,即 2 + a 17.解: (1)因为 ,

1 ? +1 ?2 x + 1 ?2 + 1 =? 2 f ( x) = x +1 b = 1 , 从而有 2 + a .又由 f (1) = ? f (?1) 知 4 + a 1+ a , 解得
解得 a = 2 .

(2)由(1)知

f ( x) =

?2 x + 1 1 1 =? + x x +1 2 +a 2 2 +1 ,

由上式易知 f ( x) 在 (?∞, +∞) 上为减函数.
2 2 由 f ( x) 为奇函数,得:不等式 f (t ? 2t ) + f (2t ? k ) < 0 等价于

f (t 2 ? 2t ) < ? f (2t 2 ? k ) = f (?2t 2 + k ) , 又 f ( x) 为减函数,由上式推得:
t 2 ? 2t > ?2t 2 + k ,即对一切 t ∈ R 有 3t 2 ? 2t ? k > 0 ,从而判别式 ? = 4 + 12k < 0 ,解得

k <?
18.

1 3

又 0 < 2B < π ,于是

sin 2 B = 1 ? cos 2 2 B =

2 2 3 .

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从而

sin 4 B = 2 sin 2 B cos 2 B =

4 2 7 , cos 4 B = cos 2 2 B ? sin 2 2 B = ? 9 9.

sin(4 B + ) = sin 4 B cos + cos 4 B sin = 3 3 3 所以

π

π

π

4 2 ?7 3 18 .

19. 解:若 a = 0 , f ( x ) = 2 x ? 3 ,显然在 [? 1,1] 上没有零点, 所以 a ≠ 0 .



? = 4 + 8a ( 3 + a ) = 8a 2 + 24a + 4 = 0
a= ?3 ? 7 2 时,

,

解得

a=

?3 ± 7 2

①当

y = f ( x)

恰有一个零点在

[ ?1,1] 上;

y = f ( x ) [ ?1,1] ②当 f (? 1) ? f (1) = (a ? 1)(a ? 5) < 0 ,即 1 < a < 5 时, 在 上也恰
有一个零点. ③当

y = f ( x)



[ ?1,1] 上有两个零点时,



a>0 ? ?? = 8a 2 + 24a + 4 > 0 ? ? 1 ?1 < ? <1 ? 2a ? f (1) ≥ 0 ? ? f ( ?1) ≥ 0 ?
解得 a ≥ 5 或

a<0 ? ?? = 8a 2 + 24a + 4 > 0 ? ? 1 ?1 < ? <1 ? 2a ? f (1) ≤ 0 ? ? f ( ?1) ≤ 0 或?

a<

?3 ? 5 2 a≤ ?3 ? 5 2

综上所求实数 a 的取值范围是

a >1 或

?x 2 ?x 2 ?x 20.解: (1) f '( x) = (2ax + b)e ? (ax + bx + c)e = ?[ax + (b ? 2a) x + c ? b]e ,

? f '(0) = b ? c = 1 ? f (0) = 2a 由已知得: ?

?c = 2a ? ?b = 1 + 2a

2 ?x (2)由(1)得 f '( x) = ?( ax + x ? 1)e

Q f ( x) 在 [2, +∞) 上为单调增函数,则 f '( x) ≥ 0对x ∈ [2, +∞) 恒成立,
即 ax + x ? 1 ≤ 0 对 x ∈ [2, +∞) 恒成立。
2

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a≤

1? x 1? x 1 1 1 1 1 ? ( x) = 2 = 2 ? = ( ? ) 2 ? 2 x 对 x ∈ [2, +∞) 恒成立, 令 x x x x 2 4,
1 1 1 ≤ ,∴? ( x)mix = ? x 2 4
f ( x ) < bg ( x ) ?

Q x ≥ 2,∴ 0 <

∴a ≤ ?

1? ? 1 ? ?∞, ? ? 4? . 4 ,故 a 的取值范围是 ?
2

21.解:(1)存在 x ∈ R ,
2

存在 x ∈ R , x ? bx + b < 0

? ( ?b ) ? 4b > 0 ? b < 0或b > 4
(2)

F ( x ) = x 2 ? mx + 1 ? m 2



? = m 2 ? 4 (1 ? m 2 ) = 5m2 ? 4
2 5 5
时,则必需

①当 ? ≤ 0 即

?

2 5

5

≤ m ≤

? m ? 2 ≤0 2 5 ? ?? ≤m≤0 ? 5 2 5 2 5 ?? ≤m≤ ? 5 5 ?
②当 ? > 0 即
m<? 2 5 2 5 或m > 5 5 时.设方程 F ( x ) = 0 的根为 x1 ,x2

( x1 < x2 )

?m ? ≥1 ?m≥2 ?2 m ≥1 2 ? F (0) = 1 ? m ≤ 0 若2 ,则 x1 ≤ 0 . ?

m ≤0 x ≤0 若2 则 2
?m 2 5 ? ≤0 ? ?1 ≤ m < ? ?2 5 ? F (0) = 1 ? m2 ≥ 0 ?
综上所述: ?1 ≤ m ≤ 0或m ≥ 2

22. 解: (Ⅰ)

f ′( x) =

1 + 2x x+a , a= 3 2.

′ 依题意有 f ( ?1) = 0 ,故

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f ′( x) =
从而

2 x 2 + 3 x + 1 (2 x + 1)( x + 1) = 3 3 x+ x+ 2 2 .

? 3 ? 3 + ? < x < ?1 ? ? , ∞? ′ f ( x) 的定义域为 ? 2 ? ,当 2 时, f ( x ) > 0 ;
?1 < x < ?



1 2 时, f ′( x) < 0 ;



x>?

1 2 时, f ′( x) > 0 .

1? ? 3 ? ? 1 ? ? ? ? + , ? ? , 1 ?,? , ∞ ? ? ?1 ? ? 2 ? 单调减少. ? ? 2 ? 单调增加,在区间 ? 从而, f ( x ) 分别在区间 ? 2
+ (Ⅱ) f ( x ) 的定义域为 (? a, ∞) ,
2

f ′( x) =
2

2 x 2 + 2ax + 1 x+a .

方程 2 x + 2ax + 1 = 0 的判别式 ? = 4a ? 8 . (ⅰ)若 ? < 0 ,即 ? 2 < a < (ⅱ)若 ? = 0 ,则 a =

2 ,在 f ( x) 的定义域内 f ′( x) > 0 ,故 f ( x) 无极值.

2 或a = ? 2 .
f ′( x) = ( 2 x ? 1)2 x+ 2 .

若a =

+ 2 , x ∈ (? 2, ∞) ,



x=

? ? 2? ? 2 2 x ∈ ? ? 2, ? + ? ?U?? ? ? ? 2 , ∞? 2 ? ? ? ? 时, f ′( x) > 0 ,所以 f ( x) 2 时, f ′( x) = 0 ,当

无极值.

( 2 x ? 1)2 f ′( x) = >0 + x? 2 若 a = ? 2 , x ∈ ( 2, ∞) , , f ( x ) 也无极值.
(ⅲ)若 ? >0 ,即 a >

2 或 a < ? 2 , 则 2 x 2 + 2ax + 1 = 0 有 两 个 不 同 的 实 根

?a ? a 2 ? 2 ?a + a 2 ? 2 x1 = x2 = 2 2 , .
x < ? a,x2 < ? a ′ 当 a < ? 2 时, 1 ,从而 f ( x ) 在 f ( x ) 的定义域内没有零点,故 f ( x ) 无极
值.

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当a >

2 时, x1 > ? a , x2 > ? a , f ′( x) 在 f ( x) 的定义域内有两个不同的零点,由极值

x = x1,x = x2 取得极值. 判别方法知 f ( x ) 在

+ 综上, f ( x ) 存在极值时, a 的取值范围为 ( 2, ∞) .
f ( x) 的极值之和为

1 e f ( x1 ) + f ( x2 ) = ln( x1 + a ) + x12 + ln( x2 + a ) + x2 2 = ln + a 2 ? 1 > 1 ? ln 2 = ln 2 2.

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