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重庆南开中学高2016级高一(下)期中考试数学试题


重庆南开中学高 2016 级高一(下)期中考试数学试题
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 满分 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)

一、选择题(每小题 5 分,10 小题,共 50 分,每小题只有一个选项符合要求) 1.已 知 全 集 U ? R , 集 合 A ? ?x | x ? ?2或x

? 3? , B ? x | x 2 ? 3x ? 4 ? 0 , 则 集 合

?

?

A? B ? ( )
A. ?x | ?2 ? x ? 4? C. ?x | ?2 ? x ? ?1或3 ? x ? 4? B. ?x | ?1 ? x ? 3? D. ?x | 3 ? x ? 4?

2.在数列 ?an ?中, “ an?1 ? 2an , n ? 1,2,3,4 ? ? ? ”是“ ?an ? 是公比为 2 的等比数列”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件
? ?

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
? ? ? ?

3.已知平面向量 a ? (2,?1), b ? (1,1), c ? (1,5) .若 ( a ? k b ) ? c ,则实数 k 的值为( ) A.

1 2

B.2

C.

11 4

D. ?

11 4

1 1 ? ? 0 ,则下列结论不正确的是( ) a b b a 2 2 2 A. a ? b B. ab ? b C. ? ? 2 a b
4.若

D. | a | ? | b |?| a ? b |

5.设 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和.若 a4 ? 0, a5 ?| a4 | ,则使 Sn ? 0 成立的最小正整数 n 为( ) A.6 B.7 C.8 D.9

6.设 a ? 1, b ? 0 ,若 a ? b ? 2 ,则 A.6 B. 3 ? 2 2

1 2 ? 得最小值为( ) a ?1 b
C. 4 2 D. 2 2

7.在△ ABC 中,三内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a ? 角 A 的值为( ) A.

2 ,b ? 3 ? 1, C ?

?
4

, 则内

? 6

B.

? 3

C.

?
6



5? 6

D.

?
3



2? 3
)
1

8.数列 ?an ?满足 a1 ? 3, an ? an an?1 ? 1, Tn 表示 ?an ?的前 n 项之积,则 T2014 ? (

A. 2

B. 3

C. ? 2

D. ? 3

9.在△ ABC 中, G 为△ ABC 的重心,且 ?BAC ? 是( ) A.

?
3

,若 AB ? AC ? 6, 则 | AG | 的最小值

2 6 3

B.

8 3

C. 2

D. 4

10.在△ ABC 中,内角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c ,已知角 B 为锐角,且 a, 等差数列, a,

mb ,c 成 2

b , c 成等比数列,则实数 m 范围为( ) 2
B. (1 ,2 ) C. (

A. (1,

6 ) 2

6 , 2) 2

D. (

6 ,3 ) 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题: (本大题 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.已知正项等比数列 ?an ?中, a3 ? a5 ? 8, a1a5 ? 4 ,则公比 q =________.

? y?2 ? 12.已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则目标函数 z ? 3x ? y 的最大值为________. ?x ? y ? 1 ?
13.已知数列 ?an ?中, 有 (n ?1)an ? nan?1 ? 1 , 则通项公式 an ? ________. a1 ? 1, 当 n ? 2 时, 14.在△ ABC 中,已知 a, b, c 分别为内角 A, B, C 所对的边, S 为△ ABC 的面积,若

S ? (a ? b) 2 ? c 2 ,则 tan

C =________. 2

15.如图, 已知两条直线 l1 : y ? 2 x, l2 : y ? ?

1 x, P 过点 P1 作 x 轴的平行线交 l 2 1 (1,2) 在 l1 上, 2

??????, 于点 P2 ,过点 P2 作 y 轴的平行线 l1 于点 P 以此推类, 则点 P2014 的坐标为________. 3,

2

三、解答题: (本大题 6 个小题,共 75 分) 16.(本小题满分 13 分) 已知向量 a, b 满足: | a |? 2, | b |? 1, 且 (a ? 2b) ? (2a ? b) ? 3 . (1)求向量 a, b 的夹角; (2)求 | a ? 2b | .

17.(本小题满分 13 分) (1)已知函数 f ( x ) ? x ?

1 ( x ? 3) ,求 f ( x) 的最小值及此时 x 的值; x?3

(2)若正实数 x , y 满足 xy ? 4 x ? y ? 5 ,求 xy 的最小值.

18.(本小题 13 分) 设△ ABC 的三个内角 A、B、C 所对边的长分别为 a, b, c 成等比数列, 且 sin A sin C ? (1)求角 B 的大小; (2)设 m ? (cos A, cos2 A), n ? (?2,1) ,当 m ? n 取最小值时,判断△ ABC 的形状.

3 . 4

3

19.(本小题满分 12 分) 数列 ?an ?满足: an?1 ? an ? 2, a1 ? 2 ,等比数 ?bn ?列满足: b2 ? a1 , b5 ? a8 . (1)求数列 ?an ?, ?bn ?的通项公式; (2)设 cn ? anbn ,求数列 ?cn ?的前 n 项和 Tn .

20.(本小题满分 12 分) 设数列 ?an ?的前 n 项的和 S n ?

4 an ? 2 n ? 1, n ? 1,2,3 ? ? ? . 3

(1)令 bn ? an ? 3 ? 2n?1 ,求证: ?bn ?为等比数列,并求出 ?an ? ; (2)设 cn ?

2n , n ? 1,2,3,? ? ? ,求 cn 的最大值. Sn ? 47

21.(本小题满分 12 分) 已知向量序列: a1 , a2 ,? ? ?, a n ,? ? ? 满足条件: | a1 |? 2 ,且 an ? an?1 ? d (n ? 2, n ? N ) ,其中 向量 d 满足: | d |?

1 且 2a1 ? d ? ?1 . 2

(1)求数列 {| an |} 的最小项; (2)是否存在正整数 m, p , n ,使得当 m ? p ? n 时,有 am ? an ? a p ? a p ,若存在,求出 p 的最小值;若不存在,请说明理由.

4


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