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2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳理 第七章 立体几何7.1


§ 7.1

空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积

1.空间几何体的结构特征 (1)棱柱的侧棱都平行且相等,上、下底面是全等的多边形. 多面体 (2)棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形. (3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到,其上、下底面是相似多边形. (1)圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到. (2)圆锥

可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到. 旋转体 (3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连 线所在直线旋转得到,也可由平行于底面的平面截圆锥得到. (4)球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到. 2.三视图与直观图 三视图 画法规则:长对正,高平齐,宽相等 空间几何的直观图:常用斜二测画法来画. 基本步骤是: (1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直,直观图中 x′轴,y′轴的 直观图 夹角为 45° (或 135° ),z′轴与 x′轴和 y′轴所在平面垂直. (2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴.平 行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于 y 轴 的线段在直观图中长度为原来的一半. 3.柱、锥、台和球的表面积和体积

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名称 几何体 柱体(棱柱和圆柱) 锥体(棱锥和圆锥) 台体(棱台和圆台) 球 【思考辨析】

表面积 S 表面积=S 侧+2S 底 S 表面积=S 侧+S 底 S 表面积=S 侧+S 上+S 下 S=4πR2

体积 V=Sh 1 V= Sh 3 1 V= (S 上+S 下+ S上S下)h 3 4 V= πR3 3

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( × ) (2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( × ) (3)用斜二测画法画水平放置的∠A 时,若∠A 的两边分别平行于 x 轴和 y 轴,且∠A=90° ,则 在直观图中,∠A=45° .( × ) )

(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中,三视图均相同.( × (5)圆柱的侧面展开图是矩形.( √ )

(6)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算.( √ )

1.下列说法正确的是(

)

A.相等的角在直观图中仍然相等 B.相等的线段在直观图中仍然相等 C.正方形的直观图是正方形 D.若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行 答案 D 解析 由直观图的画法规则知,角度、长度都有可能改变,而线段的平行性不变. 2.(2014· 福建)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( A.圆柱 B.圆锥 C.四面体 D.三棱柱 答案 A 解析 由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形,而圆柱的正 视图不可能为三角形,故选 A. 3.(2014· 陕西)将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面 积是( ) )

A.4π B.3π C.2π D.π

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答案 C 解析 底面圆半径为 1,高为 1,侧面积 S=2πrh=2π×1×1=2π.故选 C. 4.(2013· 课标全国Ⅰ)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容 器高 8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面 时测得水深为 6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为( 500π A. cm3 3 1 372π C. cm3 3 答案 A 解析 作出该球轴截面的图象如图所示,依题意 BE=2,AE=CE=4,设 866π B. cm3 3 2 048π D. cm3 3 )

DE=x,故 AD=2+x,因为 AD2=AE2+DE2,解得 x=3,故该球的半径 AD =5, 4 500π 所以 V= πR3= . 3 3

题型一 空间几何体的结构特征 例 1 给出下列命题: ①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形; ②若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直; ③在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; ④存在每个面都是直角三角形的四面体; ⑤棱台的侧棱延长后交于一点. 其中正确命题的序号是________. 答案 ②③④⑤ 解析 ①不正确,根据棱柱的定义,棱柱的各个侧面都是平行四边形, 但不一定全等;②正确,若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则三个侧面构 成的三个平面的二面角都是直二面角;③正确,因为两个过相对侧棱的 截面的交线平行于侧棱,又垂直于底面;④正确,如图,正方体 AC1 中 的三棱锥 C1-ABC,四个面都是直角三角形;⑤正确,由棱台的概念可知. 思维升华 (1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义,真正把握几何体的结构特征,

可以根据条件构建几何模型,在几何模型中进行判断;(2)解决本类题目的技巧:三棱柱、四 棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型,有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用 反例对概念类的命题进行辨析.
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给出下列命题: ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; ②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥; ③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥; ④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 答案 A 解析 ①不一定,只有当这两点的连线平行于轴时才是母线; ②不一定,因为“其余各面都 )

是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图 1 所示;③不一定, 当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥,如图 2 所 示,它是由两个同底圆锥组成的几何体; ④错误,棱台的上、下底面相似且是对应边平行的 多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.

图1 题型二 空间几何体的三视图和直观图

图2

例 2 (1)(2014· 江西)一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是(

)

(2)正三角形 AOB 的边长为 a,建立如图所示的直角坐标系 xOy,则它的 直观图的面积是________. 思维点拨 (1)由上向下看,可见线段都应画出;(2)与 x 轴平行或重合的 1 线段长度不变,与 y 轴平行或重合的线段长度为原来的 . 2 答案 (1)B (2) 6 2 a 16

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解析

(1)该几何体是组合体,上面的几何体是一个五面体,下面是一个长方体,且五面体的

一个面即为长方体的一个面,五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等, 因此选 B. (2)画出坐标系 x′O′y′, 作出△OAB 的直观图 O′A′B′(如图). D′ 为 O′A′的中点. 1 易知 D′B′= DB(D 为 OA 的中点), 2 1 2 2 3 6 ∴S△O′A′B′= × S△OAB= × a2= a2. 2 2 4 4 16 思维升华 (1)三视图中,正视图和侧视图一样高,正视图和俯视图一样长,侧视图和俯视图

一样宽,即“长对正,宽相等,高平齐”;(2)解决有关“斜二测画法”问题时,一般在已知 图形中建立直角坐标系,尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴,图形的 对称中心为原点,注意两个图形中关键线段长度的关系. (1)(2014· 课标全国Ⅰ)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几 何体的三视图,则这个几何体是( )

A.三棱锥 C.四棱锥

B.三棱柱 D.四棱柱

(2)如图,矩形 O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中 O′A′=6 cm,O′C′=2 cm,则原图形是( A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.一般的平行四边形 答案 (1)B (2)C 解析 (1)如图,几何体为三棱柱. )

(2)如图,在原图形 OABC 中,

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应有 OD=2O′D′=2×2 2 =4 2 cm, CD=C′D′=2 cm. ∴OC= OD2+CD2 = ?4 2?2+22=6 cm, ∴OA=OC, 故四边形 OABC 是菱形. 题型三 空间几何体的表面积与体积 例 3 (1)(2014· 课标全国Ⅱ)如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm),图中粗线画出 的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3 cm,高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削得到,则 切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )

17 5 A. B. 27 9

10 1 C. D. 27 3 )

(2)(2014· 安徽)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的体积为(

23 47 A. B. 3 6

C.6 D.7

(3)有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球过这个 正方体的各个顶点,则这三个球的表面积之比为________. 思维点拨 (1)由侧视图,可想到几何体为两圆柱的组合体;(2)考虑实、虚线的意义. 答案 (1)C (2)A (3)1∶2∶3 解析 (1)由三视图可知几何体是如图所示的两个圆柱的组合体. 其中左

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面圆柱的高为 4 cm,底面半径为 2 cm,右面圆柱的高为 2 cm,底面半径为 3 cm,则组合体的 体积 V1=π×22×4+π×32×2=16π+18π=34π(cm3),原毛坯体积 V2=π×32×6=54π(cm3), 54π-34π 10 则所求比值为 = . 54π 27 (2)该几何体是正方体去掉两个角所形成的多面体, 1 1 23 其体积为 V=2×2×2-2× × ×1×1×1= . 3 2 3 (3)设正方体的棱长为 a, ①正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面的中心,经过四 a 2 个切点及球心作截面如图①所示,有 2r1=a,∴r1= ,S1=4πr1 =πa2. 2

②球与正方体的各条棱的切点在各棱的中点,过球心作正方体的对角面得截面如图 ②所示, 有 2r2= 2a,r2= 2 2 a,S2=4πr2 =2πa2. 2

③正方体的各顶点在球面上,过球心作正方体的对角面得截面如图③所示,有 2r3= 3a,∴r3 = 3 2 a,∴S3=4πr2 3=3πa . 2

综上可得,S1∶S2∶S3=1∶2∶3. 思维升华 (1)解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简

单的几何体的组合情况;(2)由三视图求几何体的面积、体积,关键是由三视图还原几何体, 同时还需掌握求体积的常用技巧如:割补法和等价转化法. (1)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )

A.48

B.32+8 17
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C.48+8 17

D.80

(2)把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,使得平面 ABD⊥平面 CBD,形成三棱锥 C -ABD 的正视图与俯视图如图所示,则侧视图的面积为( )

1 A. 2 1 C. 4 答案 (1)C (2)C

B. D.

2 2 2 4

解析 (1)由三视图知该几何体的直观图如图所示, 该几何体的下底面是边 长为 4 的正方形;上底面是长为 4、宽为 2 的矩形;两个梯形侧面垂直于 底面,上底长为 2,下底长为 4,高为 4;另两个侧面是矩形,宽为 4,长 1 为 42+12= 17.所以 S 表=42+2×4+ ×(2+4)×4×2+4× 17×2=48+8 17. 2 (2)因为 C 在平面 ABD 上的射影为 BD 的中点 O, 在边长为 1 的正方形 1 2 1 ABCD 中, AO = CO = AC = ,所以侧视图的面积等于 S△AOC = 2 2 2 1 2 2 1 CO· AO= × × = ,故选 C. 2 2 2 4

三视图识图中的易误辨析 典例:将正方体(如图 1 所示)截去两个三棱锥,得到如图 2 所示的几何体,则该几何体的侧视 图为( )

易误分析 (1)不能正确把握投影方向、角度致误;(2)不能正确确定点、线的投影位置;(3)不 能正确应用实虚线区分可见线与非可见线.

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解析 侧视图中能够看到线段 AD1,应画为实线,而看不到 B1C,应画为虚线.由于 AD1 与 B1C 不平行,投影为相交线,故应选 B. 答案 B 温馨提醒 (1)因对三视图的原理认识不到位,区分不清选项 A 和 B,而易误选 A;(2)因对三 视图的画法要求不明而误选 C 或 D.在画三视图时,分界线和可见轮廓线都用实线画,被遮住 的部分的轮廓线用虚线画;(3)解答此类问题时,还易出现画三视图时对个别视图表达不准而 不能画出所要求的视图,在复习时要明确三视图的含义,掌握“长对正、宽相等、高平齐” 的要求.

方法与技巧 1.三视图的画法特征 “长对正、宽相等,高平齐”,即正视图和侧视图一样高,正视图和俯视图一样长,侧视图 和俯视图一样宽. 2.求空间几何体的侧面积、体积的思想与方法 (1)转化与化归思想:计算旋转体的侧面积时,一般采用转化的方法来进行,即将侧面展开化 为平面图形,“化曲为直”来解决,因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形 面积的求法. (2)求体积的两种方法:①割补法:求一些不规则几何体的体积时,常用割补法转化成已知体 积公式的几何体进行解决.②等积法:等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是 几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到,利用等积法可以用来求解几何图 形的高或几何体的高,特别是在求三角形的高和三棱锥的高时,这一方法回避了通过具体作 图得到三角形(或三棱锥)的高,而通过直接计算得到高的数值. 失误与防范 1.画三视图应注意的问题 (1)若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,要注意实、虚线的 画法. (2)确定正视、侧视、俯视的方向,观察同一物体方向不同,所画的三视图也不同. 2.求空间几何体的表面积应注意的问题 (1)求组合体的表面积时,要注意各几何体重叠部分的处理. (2)底面是梯形的四棱柱侧放时,容易和四棱台混淆,在识别时要紧扣定义,以防出错.

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A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 1.下列结论中正确的是( )

A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则该棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 答案 D 解析 当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时,尽管各面都

是三角形,但它不是三棱锥,故 A 错误;若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴 不是直角边所在直线,所得几何体就不是圆锥,B 错误;若六棱锥的所有棱都相等,则底面多 边形是正六边形,由几何图形知,若以正六边形为底面,则棱长必然要大于底面边长,故 C 错误. 2.五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个 五棱柱对角线的条数是( A.20 C.12 答案 D 解析 如图, 在五棱柱 ABCDE-A1B1C1D1E1 中, 从顶点 A 出发的对角线有两 条: AC1, AD1, 同理从 B, C, D, E 点出发的对角线均有两条, 共 2×5=10(条). 3.(2014· 陕西)已知底面边长为 1,侧棱长为 2的正四棱柱(底面是正方形的 直棱柱)的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为( 32π 4π A. B.4π C.2π D. 3 3 答案 D 解析 正四棱柱的外接球的球心为上下底面的中心连线的中点, 所以球的半径 r= ? 22 2 ? +? ?2=1, 2 2 ) ) B.15 D.10

4π 4π 球的体积 V= r3= .故选 D. 3 3 4.(2014· 浙江)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( )

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A.72 cm3 C.108 cm3 答案 B 解析 示.

B.90 cm3 D.138 cm3

该几何体为一个组合体,左侧为三棱柱,右侧为长方体,如图所

1 V=V 三棱柱+V 长方体= ×4×3×3+4×3×6=18+72=90(cm3). 2 5.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示,则该几何体的 侧视图为( )

答案 B 解析 由已知中几何体的直观图,我们可得侧视图首先应该是一个正方形,故 D 不正确;中 间的棱在侧视图中表现为一条对角线,故 C 不正确;而对角线的方向应该从左上到右下,故 A 不正确. 6 .若一个圆柱的正视图与其侧面展开图相似,则这个圆柱的侧面积与全面积的比值为 ________. 答案 2 π 2 π+1

2r h 解析 设圆柱的底面半径为 r,高为 h,则 = , h 2πr 则 h=2r π, 则 S 侧=2πr· h=4πr2 π,S 全=4πr2 π+2πr2,

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4πr2 π 2 π 故圆柱的侧面积与全面积的比值为 2 . 2= 4πr π+2πr 2 π+1 7.一个几何体的三视图如图所示,其中侧视图与俯视图均为半径是 2 的圆,则这个几何体的 体积是________.

答案 8π 解析 由三视图知该几何体是半径为 2 的球被截去四分之一后剩下的几何体,则该几何体的 4 3 体积 V= ×π×23× =8π. 3 4 8.(2013· 江苏)如图,在三棱柱 A1B1C1-ABC 中,D,E,F 分别是 AB,AC,AA1 的中点,设 三棱锥 F-ADE 的体积为 V1,三棱柱 A1B1C1-ABC 的体积为 V2,则 V1∶V2=________.

答案 1∶24 解析 设三棱锥 F-ADE 的高为 h, 1 ?1 AE· sin∠DAE? h AD· ? 3 ?2 V1 1 则 = = . V2 1 24 ?2h? ?2AD??2AE?sin∠DAE 2 9.如图所示的三个几何体,一个是长方体,一个是直三棱柱,一个是过圆 柱上、下底面圆心切下圆柱的四分之一部分,若这三个几何体的正视图和 俯视图是相同的正方形,求它们的表面积之比. 解 由题意可知这三个几何体的高都相等,设长方体的底面正方形的边长为 a,高也等于 a, 故其表面积为 S1=6a2.直三棱柱的底面是腰长为 a 的等腰直角三角形,高为 a,故其表面积为 1 1 1 1 S2= ×a×a+ ×a×a+(a+a+ 2a)×a=(3+ 2)a2. 圆柱的底面是半径为 a 的圆的 ,高为 2 2 4 4 1 1 1 a,故其表面积为 S3= πa2 + πa2 + a2+ a2+ ×2πa×a= (π+ 2)a2.所以它们的表面积之比为 4 4 4

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S1∶S2∶S3=6a2∶(3+ 2)a2∶(π+2)a2=6∶(3+ 2)∶(π+2). 10.已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分 别为 20 cm 和 30 cm,且其侧面积等于两底面面积之和,求棱台的高. 解 如图所示,三棱台 ABC—A1B1C1 中,O、O1 分别为两底面中心,D、 D1 分别为 BC 和 B1C1 的中点,则 DD1 为棱台的斜高. 由题意知 A1B1=20,AB=30, 10 3 则 OD=5 3,O1D1= , 3 由 S 侧=S 上+S 下,得 1 3 ×(20+30)×3DD1= ×(202+302), 2 4 13 解得 DD1= 3, 3 在直角梯形 O1ODD1 中,
2 O1O= DD1 -?OD-O1D1?2=4 3,

所以棱台的高为 4 3 cm. B 组 专项能力提升 (时间:35 分钟) 11.(2014· 辽宁)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

π π A.8- B.8- C.8-π D.8-2π 4 2 答案 C 1 解析 这是一个正方体切掉两个 圆柱后得到的几何体, 4 如图,几何体的高为 2,

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1 V=23- ×π×12×2×2=8-π. 4 12.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( )

A.28+6 5 C.56+12 5 答案 B

B.30+6 5 D.60+12 5

解析 由几何体的三视图可知,该三棱锥的直观图如图所示, 其中 AE⊥平面 BCD,CD⊥BD,且 CD=4,BD=5,BE=2,ED=3,AE =4. ∵AE=4,ED=3,∴AD=5. 又 CD⊥BD,CD⊥AE, 则 CD⊥平面 ABD, 故 CD⊥AD, 所以 AC= 41且 S△ACD=10. 在 Rt△ABE 中,AE=4,BE=2,故 AB=2 5. 在 Rt△BCD 中,BD=5,CD=4, 故 S△BCD=10,且 BC= 41. 在△ABD 中,AE=4,BD=5,故 S△ABD=10. 在△ABC 中,AB=2 5,BC=AC= 41, 1 则 AB 边上的高 h=6,故 S△ABC= ×2 5×6=6 5. 2 因此,该三棱锥的表面积为 S=30+6 5. 13.表面积为 3π 的圆锥,它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的底面直径为________. 答案 2 1 解析 设圆锥的母线为 l,圆锥底面半径为 r.则 πl2+πr2=3π,πl=2πr,∴r=1,即圆锥的底 2 面直径为 2. 14.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面为正方形,PC 与底面 ABCD 垂直,图

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为该四棱锥的正视图和侧视图,它们是腰长为 6 cm 的全等的等腰直角三角形.

(1)根据图所给的正视图、侧视图,画出相应的俯视图,并求出该俯视图的面积; (2)求 PA. 解 (1)该四棱锥的俯视图(内含对角线)是边长为 6 cm 的正方形,如图,其面积 为 36 cm2. (2)由侧视图可求得 PD= PC2+CD2= 62+62=6 2. 由正视图可知 AD=6,且 AD⊥PD, 所以在 Rt△APD 中, PA= PD2+AD2= ?6 2?2+62=6 3(cm). 15.如图,△ABC 内接于圆 O,AB 是圆 O 的直径,四边形 DCBE 为平 行四边形,DC⊥平面 ABC,AB=2,EB= 3. (1)求证:DE⊥平面 ACD; (2)设 AC=x,V(x)表示三棱锥 B-ACE 的体积,求函数 V(x)的解析式及 最大值. (1)证明 ∵四边形 DCBE 为平行四边形, ∴CD∥BE,BC∥DE. ∵DC⊥平面 ABC,BC?平面 ABC,∴DC⊥BC. ∵AB 是圆 O 的直径,∴BC⊥AC,且 DC∩AC=C, ∴BC⊥平面 ADC. ∵DE∥BC,∴DE⊥平面 ADC. (2)解 ∵DC⊥平面 ABC,∴BE⊥平面 ABC. 在 Rt△ABE 中,AB=2,EB= 3. 在 Rt△ABC 中,∵AC=x,BC= 4-x2(0<x<2), 1 1 ∴S△ABC= AC· BC= x· 4-x2 2 2 ∴V(x)=VE-ABC= 3 x· 4-x2(0<x<2). 6

x2+4-x2 2 ∵x2(4-x2)≤( ) =4,当且仅当 x2=4-x2,即 x= 2时,取等号, 2 ∴x= 2时,体积有最大值为 3 . 3

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