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利用导数解题的综合分析和探讨研究


淮北师范大学信息学院 2013 届学士学位论文

利用导数解题的综合分析和探讨研 究

系 专 学 姓

别: 业: 号: 名:

数 学 系 数学与应用数学 200918084001 柴 先 红 王 慧 讲 师

指 导 教 师: 指导教师职称:

2012



5 月 10 日

利用导数解题的综合分析和探讨研究 柴先红 (淮北师范大学信息学院,淮北,23500) 摘 要
导数时近代数学的基础, 时数学分析课程中重要的基础概念之一;是联系高 中数学的纽带。是判断函数的单调性、极值、最值、凸性、曲线的切线以及一些 优化问题的工具 ,同时对研究不等式起着重要的作用;并且在物理学、经济学 等邻域广泛应用。是开展科学研究不可或缺的工具。 关键词:导数, 导数的切线, 单调性, 极值, 最值, 凸性

Derivative as the basis of modern mathematics, the mathematical analysis is one of the important basic concepts in the course; High school of mathematics is. Is judging function monotonicity, extreme value, the value, convex, the curve is tangent to the tools, and some of the optimization problem to study inequality plays an important role at the same time; And in physics, economics, etc. Neighborhood is widely used. Is indispensable to carry out scientific research tool. Keywords: derivative, most value , convexity tangent derivative, monotonicity, extreme value, the





引言????????????????????????????????1 一、 导数的概念 ??????????????????????????2 二、导数的性质???????????????????????????2 三、导数的应用???????????????????????????3 1. 求曲线的切线方程??????????????????????? 3 2. 导数在探究函数性质中的应用?????????????????? 3 2. 1 利用导数判断函数的单调性????????????????? 4 2. 2 利用导数求函数的最值与极值???????????????? 6 2. 3 利用导数判断函数的凹凸性即拐点??????????????10 2. 4 利用导数描绘函数图形???????????????????11 2. 5 利用导数求参数问题????????????????????12 3. 导数在不等式中的应用?????????????????????13 4. 导数在数列中的应用??????????????????????13 5. 导数在实际问题中的应用????????????????????14 总结??????????????????????????????? 15 参考文献????????????????????????????? 15

引言

导数是函数与解析几何的交汇点,有着重要的工具作用. 是我们学习的必需 工具之一,用它可以解决许多数学问题. 现已是高考重点考察的基础知识,主要 以应用题的形式出现, 例如利用导数处理函数的最值、极值和单调性问题及曲线 问题等,除此之外,导数还有其他用途,比如利用导数研究函数的图像,利用导 数证明不等式等问题.

一、导数的概念
定义 1?1? 设函数 y ? f ?x ? 在点 x 0 的某邻域内有定义,若极限
lim f ?x ? ? f ?x0 ? x ? x0

x ? x0

(1)

存在,则称函数 f 在点 x 0 出可导,并称该极限为函数 f 在点 x 0 处的导数,记作
f ' ?x0 ? .

令 x ? x0 ? ?x, ?y ? f ?x0 ? ?x? ? f ?x0 ?, 则(1)式可改写为
f ?x0 ? ?x ? ? f ?x0 ? ?y ? lim ? f ' ?x0 ? . ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x lim

定义 2?1? 设函数 y ? f ?x ? 在点 x 0 的某右邻域 ?x0 , x0 ? ? ? 上有定义,若右极限
?x ?0

lim?

f ?x0 ? ?x ? ? f ?x0 ? ?y ? lim? ?x ?x?0 ?x

?0 ? ?x ? ? ?

存在,则称该极限值 f 为在点 x 0 的右导数,记作 f '? ?x0 ? .
f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ?x ?0 ?x 注:右导数和左导数统称为单侧导数. . 若函数在区间 I 上没一点都可导(对区间端点,仅考虑相应的单侧导数) f '? ? x0 ? ? lim?
1

类似地,左导数为

则称 f 为 I 上的可导函数.此时对每一个 x ? I ,都有 f 的一个导数 f ' ? x ? (或单侧导 数)与之对应.称为 f 在 I 上的导函数,简称为导数.记作 f ' , y ' 或
f ' ?x ? ? lim
?x ?0

f ?x ? ?x ? ? f ? x ? ,x?I . ?x

dy ,即 dx

导数的几何意义 函 数 f 在 点 x 0 的 导 数 是 曲 线 y ? f ?x ? 在 点

?x0 , y0 ? 处的切线斜率。 若 ? 表示这条切线与 x 轴正向
的夹角,则 f ' ?x0 ? = tan? 。从而 f ' ?x0 ? >0 意味着切线 与 x 轴正向的夹角为锐角; f ' ?x0 ? <0 意味着切线与 x 轴正向的夹角为钝角;f ' ?x0 ? =0 表示切线与 x 轴平行 (如图).

二、导数的应用 1. 求曲线的切线方程 ?2 ?
在求过点 p?x0 , y0 ? 所作函数 y ? f ?x ? 对应曲线的切线方程时应先判断改点是 否在曲线上. (1) 当点 p?x0 , y0 ? 在曲线上,即 p?x0 , y0 ? 为切点,则切线方程为

y ? y0 ? f ' ?x0 ??x ? x0 ?
( 2 ) 当 点 p?x0 , y0 ? 不 在 曲 线 上 , 则 设 切 点 为 ?x' , y'? . 由
y1 ? f1 ?x ?, f ' ?x1 ? ? y1 ? y0 ,先求切点坐标,然后进一步求切线方程. x1 ? x0

例 1 已知曲线 l : y ? x 2 ? 2x ? a ,求过点 p?2,?1?的曲线 l 的方程. 解:因 y ? x 2 ? 2x ? a ,所以 y' ? 2 x ? 2 则当 x ? 2 时, y ? a, y ? 2 , ⅰ)当 a ? 1 时,点 p?2,?1?在曲线上,故过点 p 的曲线 l 的切线方程为
y ? ??1? ? 2?x ? 2?, 即 2 x ? y ? 5 ? 0 .
2

ⅱ)当 a ? ?1 时,点 p 不在曲线 l 上,设曲线 l 过点 p 的切线切点是 ?x0 , y0 ? , 则切线方程为 y ? y0 ? ?2x0 ? 2??x ? x0 ? 且点 ?2,?1? 在此切线方程上,故有

?1 ? y0 ? ?2x0 ? 2??2 ? x0 ? ,即 y0 ? 2x0 ? 6x0 ? 3
2

又 y0 ? x0 ? 2x0 ? a , 则有 x02 ? 2x0 ? a ? 2x02 ? 6x0 ? 3, 即 x0 ? 4x0 ? 3 ? a ? 0, 又 ? ? 16 ? 4?3 ? a ? ? 4?a ? 1? , 当 a ? ?1 时, ? ? 0,? x0 ? 2 ? a ?1 ; 当 x ? x0 时, y' ? 2 2 ? a ?1 ? 2 ? 2 1 ? a ?1
2

2

?

?

?

?

所以切线方程 y ? ??1? ? 2 1 ? a ? 1 ?x ? 2? ,即 y ? 2 1 ? a ? 1 ?x ? 2? ?1 当 a ? ?1 时, ? ? 0, 故切线不存在。

?

?

?

?

2. 导数在探究函数性质中的应用
2. 1 利用导数判断函数的单调性 假设 y ? f ?x ? 在点 ?a, b? 中可导 ?3 ? ⑴ 若对 ?a, b ? 中所有 x 而言 f ' ?x ? ? 0 ,则 f ?x ? 在 ?a, b ? 中递增; ⑵ 若对 ?a, b ? 中所有 x 而言 f ' ?x ? ? 0 ,则 f ?x ? 在 ?a, b ? 中递减; ⑶ 若对 ?a, b ? 中所有 x 而言 f ' ?x ? ? 0 ,则 f ?x ? 在 ?a, b ? 中不变. 由此可见,只要求出函数的导数,判断其正负,则能判断函数的单调性.这种方 法比传统的“定义法”及“图像法”更方便. 例 2 已知函数 f ?x ? ? ax2 ? 1 ( a >0) , g ?x ? ? x3 ? bx . (1)若曲线 y ? f ?x ? 与曲线 y ? g ?x ? 在他们的交点 ?1, c ? 处具有公共切线, 求
a , b 的值;

(2)当 a 2 ? 4b 时,求函数 f ?x ? ? g ?x ?的单调区间.
3

解: (1) f ' ?x? ? 2ax, g ' ?x? ? 3x2 ? b , 由题知, 故 得
f ?1? ? g ?1?, f ' ?1? ? g ' ?1? ,
a ? 1 ? 1 ? b,2a ? 3 ? b ,
a ? 3, b ? 3 ,

由(1)知, f ?x? ? 3x 2 ? 1, g ?x? ? x3 ? 3x , 令 h?x ? ? f ?x ? ? g ?x ? ,即 h?x? ? 3x 2 ? 1 ? x3 ? 3x , 又 所以
a 2 ? 4b ? b ?

a2 , 4

1 2 a x ?1, 4 1 h' ? x ? ? 3 x 2 ? 2ax ? a 2 , 4 a a 令,得 x1 ? ? , x2 ? ? 2 6 h? x ? ? x 3 ? ax 2 ?

a >0 时, h?x ?, h' ?x ? 的情况如下:
x
h?x ?

a? ? ? ? ?, ? ? 2? ?

?

a 2

? a a? ? ? ,? ? ? 2 6?

?

a 6

? a ? ? ? ,?? ? ? 6 ?

h' ? x ?

+ ↗

0



0

+ ↗

a? ? a ? ? a a? 所以函数 h ? x ? 的单调递增区间为 ? ? ? ?,? ? , ? ? ,?? ? ;单调递减区间为 ? ? ,? ? . ? 2? ? 6 ? ? 2 6?

例 3 已知函数 f ?x ? ? ?x ? k ? e .
2

x k

⑴ 求 f ?x ? 的单调区间; ⑵ 若对任意的 x ? ?0,??? ,都有 f ? x ? ? 解:⑴ f ' ?x ? ? 2?x ? k ?e k ?
x x

1 ,求 k 的取值范围. e

1 ?x ? k ?2 e k , k
x

?x ? ? ? ? 1??x ? k ?e k , ?k ?

4

?

?x ? k ??x ? k ? e kx ,
k



f ' ?x? ? 0 ? x1 ? ?k , x2 ? k .

ⅰ) k ? 0 ,当 x ? ?? ?,?k ? 时, f ' ?x ? ? 0 ,则 f ?x ? 递增; 当 x ? ?? k , k ? 时, f ' ?x ? ? 0 ,则 f ?x ? 递减; 当 x ? ?k ,??? 时, f ' ?x ? ? 0 ,则 f ?x ? 递增. 故 f ?x ? 的单调递增区间为 ?? ?,?k ?, ?k ,???,单调递减区间为 ?? k , k ? . ⅱ) k ? 0 ,当 x ? ?? ?, k ?时, f ' ?x ? ? 0 ,则 f ?x ? 递减; 当 x ? ?k ,?k ? 时, f ' ?x ? ? 0 ,则 f ?x ? 递增; 当 x ? ?? k ,??? 时, f ' ?x ? ? 0 ,则 f ?x ? 递减. 故 f ?x ? 的单调递增区间为 ?k ,?k ? ,单调递减区间为 ?? ?, k ?, ?? k ,??? . ⑵ 当 k ? 0 时,因为 f ?k ? 1? ? e
k ?1 k

1 ? , e

1 所以不会有 ?x ? ?0,?? ?, f ? x ? ? , e

当 k ? 0 时,由(1)知 f ?x ? 在 ?0. ? ? ? 上的最大值是 f ?? k ? ?
1 4k ?x ? ?0,?? ?, f ? x ? ? 等价于 f ?? k ? ? e

4k 2 . e

故 得

1 ? ; e e

2

?

1 ? k ? 0. 2

例 4 已知函数 f ?x ? ? ln x ? ax ? 调性.

1? a 1 ? 1, ?a ? R ? ,当 a ? 时,讨论 f ?x ? 的单 x 2

2 ? a ?1 ax2 ? x ? 1 ? a 解: f ' ?x ? ? 1 ? a ? 1 ? a ? x ? ax ? ? , ? x ? 0? x x2 x2 x2



h?x? ? ax2 ? x ? 1 ? a?x ? 0?,

ⅰ) a ? 0, h?x ? ? ? x ? 1,

5

当 x ? ?0,1? 时, h?x ? ? 0, f ' ?x ? ? 0 ,故 f ?x ? 在 ?0,1? 上递增; 当 x ? ?1,??? 时, h?x ? ? 0, f ' ?x ? ? 0 ,故 f ?x ? 在 ?1,??? 上递减. ⅱ) a ? 0. 由 h?x ? ? 0 ? x1 ? 1, x2 ?
1 ?1 , a

1 ? a ? , x1 ? x2 , h?x ? ? 0, f ' ?x ? ? 0 ,故 f ?x ? 在 ?0,??? 上递减; 2 1 1 ? 0 ? a ? , ? 1 ? 1, 则 x ? ?0,1? 时 h?x ? ? 0, f ' ?x ? ? 0 ,则 f ?x ? 递减; 2 a

? 1 ? x ? ?1, ? 1?, h?x ? ? 0, f ' ?x ? ? 0 ,则 f ?x ? 递增; ? a ?
?1 ? x ? ? ? 1,?? ? , h?x ? ? 0, f ' ?x ? ? 0 ,则 f ?x ? 递减. ?a ?

? a ?0,

1 ? 1 ? 0, x ? ?0,1? 时 h?x ? ? 0, f ' ?x ? ? 0 ,则则 f ?x ? 递减; a

x ? ?1,???, h?x ? ? 0, f ' ?x ? ? 0 ,则 f ?x ? 递增.

综上,当 a ? 0 时, f ?x ? 在 ?0,1? 上递减,在 ?1,??? 上递增; 当0 ? a ?
1 ? 1 ? ?1 ? 时, f ?x ? 在 ?1, ? 1? 上递增,在 ?0,1? 和 ? ? 1,?? ? 上递减. 2 ? a ? ?a ?

2.2 利用导数求函数的最值与极值 ?4 ? 求可导函数 f ?x ? 的极值的一般步骤和方法是: ? 求导数 f ' ? x ? ; ? 求方程 f ' ?x ? ? 0 的根; ? 检验 f ' ? x ? 在方程 f ' ?x ? ? 0 的根的左右符号.若在根左侧附近为正,右侧附近 为负,那么,函数 y ? f ?x ? 在这个根处取得极大值;若在根左侧附近为负,右侧 附近为正,那么,函数 y ? f ?x ? 在这个根处取得极小值. 对于 ?a, b? 连续,在 ?a, b ? 内可导的函数 f ?x ? 的最值求解,可先求出函数在

?a, b ? 上的极大(小)值,并与 f ?a ?, f ?b? 比较,即可得出最大(小)值.
6

例 5 求函数 f ?x ? ? xex 的最值. 解: f ' ?x? ? e x ? xex ? ?x ? 1?e x , 令 f ' ?x ? ? 0 ? x ? ?1 当 x >1 时, f ' ? x ? < 0 , f ?x ? 在 ?1,??? 上单调递增; 当 x <1 时, f ' ? x ? >0, f ?x ? 在 ?? ?,1? 上单调递减; 所以, x ? ?1 为 f ?x ? 的最小值点,即 f min ?? 1? ? e
1 1 例 6 设 f ? x ? ? ? x 3 ? x 2 ? 2ax. 3 2

?2 ? ⑴ 若 f ?x ? 在 ? ,?? ? 上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; ?3 ?

⑵当 0 ? a ? 2 时, f ?x ? 在 ?1,4 ?上的最小值为 ? 值.

16 , 求 f ?x ? 在该区间上的最大 3

1? 1 ? 解:⑴ 由 f ' ?x ? ? ? x 2 ? x ? 2a ? ?? x ? ? ? ? 2a. 2? 4 ?
?2 ? ?2? 2 当 x ? ? ,?? ? 时, f ' ? x ? 的最大值为 f ' ? ? ? ? 2a; ?3 ? ?3? 9

2



2 1 ? 2a ? 0 ? a ? ? 9 9,

1 ?2 ? 故 当 a ? ? 时, f ?x ? 在 ? ,?? ? 上存在单调递增区间. 9 ?3 ?
⑵ 令 f ' ?x ? ? 0 ? x1 ?

1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a . , x2 ? 2 2

故 f ?x ? 在 ?? ?, x1 ?, ?x2 ? ?? 上单调递减,在 ?x1 , x2 ? 上单调递增. 当 0 ? a ? 2 时,由 x1 ? 1 ? x2 ? 4, 所以 f ?x ? 在 ?1,4 ?上的最大值为 f ? x2 ? . 又 f ?4 ? ? f ?1? ? ?
27 ? 6a ? 0 ,即 f ?4? ? f ?1?, 2
7

故 f ?x ? 在 ?1,4 ?上的最小值为 f ?4 ? ? 8a ? 从而 f ?x ? 在 ?1,4 ?上的最大值为 f ?2 ? ?

40 16 ? ? , ? a ? 1, x2 ? 2 , 3 3

10 . 3

例 7 已知函数 f ?x ? 满足 f ?x ? ? f ' ?1?e x ?1 ? f ?0?x ? ⑴ 求 f ?x ? 的解析式及单调区间;
1 2 x ? ax ? b, 求 ?a ? 1?b 的最大值. 2 1 解:⑴ 由 f ? x ? ? f ' ?1?e x ?1 ? f ?0 ?x ? x 2 , 2

1 2 x . 2

⑵ 若 f ?x ? ?

所以 又 故 所以 令

f ?0? ? f ' ?1?e?1 ? f ' ?1? ? e , f ' ?x? ? f ' ?1?e x?1 ? f ?0? ? x ,
f ' ?1? ? f ' ?1? ? f ?0? ? 1 ? f ?0? ? 1.
f ?x ? ? e x ? x ? 1 2 x ,又 f ' ?x? ? e x ? x ?1 2

f ' ?x ? ? 0 ? x ? 0 ,

当 x ? 0 时, f ' ?x ? ? 0 ,当 x ? 0 时你, f ' ?x ? ? 0 从而, f ?x ? 在 ?0,??? 上单调递增,在 ?? ?,0? 上单调递减. ⑵ f ?x ? ?
1 2 1 1 x ? ax ? b ? e x ? x ? x 2 ? x 2 ? ax ? b , 2 2 2

? e x ? ?a ? 1?x ? b

(1)
1? b 时, a ?1

? 若 a ? 1 ? 0, 则对任意常数 b ,当 x ? 0 时,且 x ? 可得

e x ? ?a ? 1?x ? b ,因此(1)式不成立.

? 若 a ? 1 ? 0 ,?式恒成立时, b ? 0 ,此时 ?a ? 1?b ? 0 。 ? 若 ?a ? 1? ? 0 ,设 g ?x? ? e x ? ?a ? 1?x ,则 g ' ?x ? ? e x ? ?a ? 1?. 当 x ? ?? ?, ln?a ? 1?? 时, g ' ?x ? ? 0 ; 当 x ? ?ln?a ? 1?,??? 时, g ' ?x? ? 0. 从而在 ?ln?a ? 1?,??? 上单调递增,在 ?? ?, ln?a ? 1?? 上单调递减.

8

故 g ?x ? 有最小值 g ?ln?a ? 1?? ? a ? 1 ? ?a ? 1?ln?a ? 1?. 所以 f ?x ? ?
1 2 x ? ax ? b, 等价于 b ? a ? 1 ? ln?a ? 1? 2
2



因此 ?a ? 1?b ? ?a ? 1? ln?a ? 1?. 设 h?a? ? ?a ? 1? ? ?a ? 1? ln?a ? 1?, 则 h' ?a ? ? ?a ? 1??1 ? 2 ln?a ? 1??.
2 2
1 ? ? ? 1 ? 2 ? 上 单 调 递 增 , 在 ? e 2 ? 1,?? ? 上 单 调 递 减 , 故 h?a ? 在 所 以 h?a ? 在 ? ? 1 , e ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ?

a ? e 2 ? 1 处取得最大值.

1

从而 h?a ? ?
1 2

e e ,即 ?a ? 1?b ? . 2 2
1

1 e2 当 a ? e ? 1, b ? 时,⑵式成立,故 f ?x ? ? x 2 ? ax ? b, 2 2 e 综上, ?a ? 1?b 的最大值为 . 2

(2)利用导数求函数极值
3 例 8 求函数 f ?x ? ? x ? x 3 的单调区间和极值. 2
2

解: f ' ?x ? ? 1 ? x 3 ,令 f ' ?x ? ? 0 ? x ? 1 . 当 x >1 时, f ' ? x ? <0,故 f ?x ? 递减; 当 x <1 时, f ' ? x ? >0,故 f ?x ? 递增;
1 故在 x ? 1 处有极小值,即 f ?1? ? ? . 2

1

例 9 设 f ? x ? ? a ln x ? 的切线垂直于 y 轴. (1)求 a 的值;

1 3 ? x ? 1 ,其中 a ? R ,曲线 y ? f ?x ? 在点 ?1, f ?x ?? 处 2x 2

(2)求函数 f ?x ? 的极值. 解: (1) f ' ? x ? ?
a 1 3 ? 2? , x 2x 2

9

1 3 ? ? 0 ? a ? ?1 , 2 2 1 3 ? x ? 1 ( x >0), (2)由(1)知, f ? x ? ? ? ln x ? 2x 2 令

由题意知,

f ' ?1? ? 0 ? a ?

1 1 3 3x 2 ? 2 x ? 1 ?3x ? 1??x ? 1? f ' ?x ? ? ? ? 2 ? ? ? x 2x 2 2x2 2x2
1 f ' ? x ? ? 0 ? x1 ? 1, x2 ? ? (舍), 3

当 0< x <1 时, f ' ? x ? <0,故 f ?x ? 在 ?0,1? 上为减函数; 当 x >1 时, f ' ? x ? >0,故 f ?x ? 在 ?1,??? 上为增函数; 从而 f ?x ? 在 x ? 1 处取得极小值 f ?1? ? 3 . 2.3 利用导数判断函数的凹凸性即拐点 在研究函数图形的变化状况时,知道它的上升和下降顾虑很有好处,但不 能完全反映它的变化规律.如图 4 所示的函数 y ? f ( x) 的图形在区间 (a, b) 内虽然是一直上升的, 但却有不同的 弯曲形状.因此, 研究函数图形时, 考察它的弯曲形状以 及扭转弯曲方向的点是必要的.从图 4 看出, 曲线向下弯 曲的弧度在这段弧段任意点的切线下方,曲线向上下弯 曲的弧度在这段弧段任意点的切线上方,据此给出定义如下: 定义 3 设 f 为定义在区间 I 上的函数, 若对 I 上的任意两点 x1, x2 和任意实数

? ? ?0,1? 总有
f ??x1 ? ?1 ? ? ?x2 ? ? ?f ?x1 ? ? ?1 ? ? ? f ?x2 ?

则称 f 为 I 上的凸函数.反之,如果总有
f ??x1 ? ?1 ? ? ?x2 ? ? ?f ?x1 ? ? ?1 ? ? ? f ?x2 ?

则称 f 为 I 上的凹函数. 那么曲线的凹凸性与导数之间有什么关系呢?
10

例 10 求函数 y ? 3x4 ? 4 x3 ? 1的凹凸区间及拐点.
2 解:因 y ' ? 12 x3 ?12 x2 ,则 y '' ? 36 x 2 ? 24 x ? 36 x( x ? ) , 3 2 令 y'' ? 0 ,得 x ? 0, x ? .所以 3 ( ?? , 0) x 2 2 2 0 ( , ??) (0, ) 3 3 3 + 0 —0 + y ''

y



1 拐点



11 拐点 27



2.4 利用导数描绘函数图形 为有助于某些函数图形的描绘,下面介绍曲线的渐近线. (1)曲线的渐近线 定义 3 若曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时,该点与某天直线的距离趋

于 0,则称此直线为曲线的渐近线。 下面介绍求 a , b 的公式. 由 lim [ f ( x) ? (ax ? b)] ? 0 有:
x ???

f ( x) b ?a? ]?0 x ??? x x f ( x) b f ( x) lim [ ? a ? ] ? 0 ,即 a ? lim 所以 , x ??? x ??? x x x f ( x) f [x? ( a)? x ( b ? 即 )可 ] 确0 定 将 a ? lim 求 出 并 代 入 l i m x ??? x? ? ? x lim x[

b ? l i mf [ ? x ( .a ) x
x? ? ?

]

3x 3 ? 4 例 11 求曲线 f ? x ? ? 2 的渐近线. x ? 2x

解:由公式 a ? lim
x??

f ?x ? 知 x

f ?x ? 3x 3 ? 4 ? 3 ? 3?x ? ? ? 得 a ? 3 , x x ? 2x2

再由

b ? lim? f ? x ? ? ax ? ,
x ??

11

? 3x 3 ? 4 ? 6x2 ? 4 ? lim? ? 3 x ? lim ? x ?? x 2 ? 2 x ? 6 得 b ? 6 . x ?? ? x 2 ? 2 x ? ?
从而求得此曲线的斜渐近线方程为 y ? 3x ? 6 , 又由
3x 3 ? 4 3x 3 ? 4 , f ?x ? ? 2 ? x ? 2 x x? x ? 2 ?

易见
lim f ? x ? ? ?, lim f ? x ? ? ? ,
x ?0 x?2

故此曲线的垂直渐近线为 x ? 0 和 x ? 2 . 2.5 利用导数求参数问题 利用导数求函数中参数的范围,它是利用导数求函数单调性、极值、最值 的延伸. 例 7. 已 知 f ?x ? ? ax ? 1 ? ln x?a ? R? 且 f ?x ? 在 x ? 1 处 取 得 极 值 , 对
?x ? ?0,??? , f ?x ? ? bx ? 2 恒成立,求 b 的取值范围.
1 解: f ' ? x ? ? a ? ,由条件 f ?x ? 在 x ? 1 处取得极值知 a ? 1 , x



f ?x ? ? x ? 1 ? ln x .
ln x 1 ? ? b , 对 ?x ? ?0,??? x x

从 而 x ? 1 ? ln x ? bx ? 2 对 ?x ? ?0,??? 恒 成 立, 即 1 ? 恒成立. 令
g ?x ? ? 1 ?

ln x 1 1 ? ln x ? ? 1? , x x x

则 只 要 g ?x ? 的 最 小 值 不 小 于 b 就 行 即 . 该 题 转 化 为 求 g ?x ? 的 最 小 值 , 由
g ' ?x ? ? ln x ? 2 可 得 g ?x ? 在 ?0, e 2 ? 上 单 调 递 增 , 在 上 单 调 递 减 , 故 x2

g ? x ?min ? g e 2 ? 1 ?

? ?

1 ,即 b ? 1 ? 1 . ?e 2 ,???. e2 e2

3. 导数在不等式中的应用 不等式是数学的重要部分,它遍及数学的每一个分支学科.证明他们的方法
12

很多,因此更是具有很强的技巧性,对于某些不等式不易证明时,可根据给出不 等式的特点构造函数, 利用函数的单调性来加以在证明,往往可以达到事半功倍 的效果,定会觉得豁然开朗. 例 12 证明不等式 x ?
x2 x2 ? < ln?1 ? x ? < x ? , x >0 . 2 2?1 ? x ?

证明:? 先证左边不等式,
? x2 x2 f ' ?x ? ? 令 f ? x ? ? x ? ? ln?1 ? x ? ,即证对 ?x > 0 , f ?x ? < 0 , x ?1 , 2

? x > 0 ,? f ?x ? 为单调递减函数,? f ?x ?max ? 0 ,
? 不等式成立,

?同理可证右边. 4. 导数在数列中的应用 数列求和是数学中比较常见的问题,也是学生难以掌握的问题,用常规方法 求数列的和,有时技巧很高,或者计算十分繁琐,如果借助导数这一工具,用导 数的相关性质来解决此问题,常可化繁为易. 例 13 已知函数 f ?x ? ? 2 x ? 2? x ,数列 ?a n ?满足 f ?log2 an ? ? ?2n (1) 求 an ; (2) 证明数列 ?a n ?是递减数列. 解: (1) 因为 f ?x ? ? 2 x ? 2? x , f ?log2 an ? ? ?2n ,得
2log2 an ? 2log2 an ? ?2n ,

? an ?

1 ? ?2 an

,

? an ? 2nan ? 1,

2

2 ? ?an ? n? ? n2 ? 1 ? an ? ? n ? n 2 ? 1 ,

又 an >0,故 an ? ? n ? n 2 ? 1 , (2)令 f ?x? ? x2 ?1 ? x ,则 f ' ?x ? ?
x x ?1
2

? 1,

13

因为

x x ?1
2

?1 ?

x ? x2 ?1 x ?1
2

, x ? x 2 ? 1 <0.

故 f ' ? x ? <0, f ?x ? 为递减函数,从而 f ?n ? 也是递减的, 即证. 5. 导数在实际问题 ?5 ? 中的应用

学习的目的,就是要会实际应用.解决实际应用问题在于建立数学模型和目 标函数.把“问题情景”译为数学语言,找出问题的主要关系,并把问题的主要 关系近似化,形式化,抽象成数学问题,再划归为常规问题,选择合适的数学方 法求解. 例 14 长方体物体 E 在于中沿面 P(面积为 S)的垂直方向作匀速移动,速 度为 v ( v >0)雨速沿 E 方向的分速度为 c?c ? R ? 。E 移动时单位时间内的淋雨量 包括两部分: (1)P 或 P 的平行面(只有一个淋雨面)的淋雨量,假设其值与 1 1 (2)其他面的淋雨量之和,其值为 ,记 y 为 v ? c ? S 成正比,比例系数为 ; 10 2 3 E 移动过程中的总淋雨量,当移动距离 d ? 100 ,面积 S ? 时, 2 (1)写出 y 的表达式; (2)设 0< v ? 10,0< c ? 5 ,试根据 c 的不同取值范围,确定移动速度 v ,使 总淋雨量 y 最少. 解: (1)由题意知,E 移动时单位时间内的淋雨量为 故y?
100? 3 1? 5 v ? c ? ? ? ?3 v ? c ? 10? , ? v ? 20 2? v
3 1 v?c ? , 20 2

(2)有(1)知,

5 ?3c ? 3v ? 10 ? ? 5?3c ? 10 ? ? 15 ; v v 5 5?10 ? 3c ? ? 15 ; 当 c < v ? 10 时, y ? ?3c ? 3v ? 10 ? ? v v 5?3c ? 10 ? 5?10 ? 3c ? ? 15, 0 < v ? c ; y ? ? 15 , c < v ? 10 . 故 y? v v 10 ? 当 0 < c ? 时, y 是关于 v 的减函数. 3

当 0< v ? c 时 , y ?

14

故当 v ? 10 时, ymin ? 20 ? ? 当

3c , 2

10 < c ? 5 时, 在 ?0, c? 上,y 是关于 v 的减函数;在 ?c,10?上,y 是关于 v 3 50 的增函数.故当 v ? c 时, ymin ? . c





导数在数学学习中应用非常广泛, 特别中学数学中几乎涉及到各 个方面,本文就导数的有关知识在数学中的相关应用进行了探讨,简 述了利用导数求函数的单调区间、极值、最值的基本方法,以及导数 在不等式和数列中的利用.同时,导数在实际生活中也有广泛应用 . 时研究数学的必不可少的工具之一.
参考文献: [1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001. [2]窦宝泉.导数在中学数学中的应用[J].数学通讯,2003,(12):12-13. [3]徐智愚.用导数解初中数学题[J].数学通报,2000,(10),35. [4]高群安.运用导数巧解题[J].2005,(4) ,22-23. [5]李绍平.高考对导数问题考查的五大热点[J].中学数学研究,2004(5). [6]曲一线.高考理数[M].北京:教育科学出版社,2012. [7]刘崇丽.应用数学教程[M].化学工业出版社,1998. [8]同济大学数学科研室.高等数学[M].4 版.北京:高等教育出版社,1996. [9]华东师范大学数学系.数学分析(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1991. [10]梅里特,陈三平,丁仁.工程技术常用数学[M].科学出版社,1976.

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