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江苏省睢宁高级中学南校2013届高三上学期期初学情调研数学(文)试题


江苏省睢宁高级中学南校 2013 届高三数学学期初学情 调研试题
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需要写出解答过程,请把答案直 接填在答题卡相应位置上 . ........ 1.已知集合 M ? ?0,1,2 ?, N ? {x | x ? ?a, a ? M } ,则集合 M ? N = ▲

. ?0?

2.若 a2 ? a ? (3a ?1)i ? 2 ? 5i ,其中 i 是虚数单位,则实数 a 的值为 ▲ .2. 3.若命题“ ?x ? R, x2 ? (a ?1) x ? 1 ? 0 ”是假命题,则实数 a 的取值范围是 ▲ .

?1 ? a ? 3
4.某地区在连续 7 天中,新增某种流感的数据分别为 4,2,1,0,0,0,0,则这组数据 的方差 s2= ▲ .2

1 5.函数 y ? ( )1? x 的值域是___▲___.(0,+∞) 2

x x sin cos 1 2 2 ,则 f ( ? ) 的值为 6.已知函数 f ( x) ? ? 8 2 tan x 2 cos 2 x ? 1 2
7.右图是一个算法的流程图,最后输出的 n= ▲ .100.



.

2

8.在□ABCD 中,已知 AB=2,AD=1,∠DAC=60° ,点 M 为 AB 的中点,点 P 在 BC 与
??? ? ???? ? CD 上 运 动 ( 包 括 端 点 ) , 则 AP ? DM 的 取 值 范 围 是

.[ ?

1 , 2

1].

(第 8 题)

π 1 π 2π 1 π 2π 3π 1 9.已知 cos = ,cos cos = ,cos cos cos = ,…,根据这些结果,猜想出的一般结 3 2 5 5 4 7 7 7 8 论是 ▲ . cos
x

π 2π nπ 1 cos ?cos ? n. 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2
▲ . y ? 3x ? 1 ▲ . 4

10.曲线 y ? xe ? 2 x ? 1 在点(0,1)处的切线方程为
2

11.若 a, b, c ? 0 ,且 a ? ab ? ac ? bc ? 4 ,则 2a ? b ? c 的最小值为 12.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 2 ? (1 ? cos 项的和为 ▲ . 2101
2

n? n? )an ? sin 2 ,则该数列的前 20 2 2

| x| 13.设 x ? R , f ( x ) ? ( ) ,若不等式 f ( x) ? f (2 x) ? k 对于任意的 x ? R 恒成立,则

1 2

实数 k 的取值范围是 ▲ . k ? 2

14.给出定义:若 m ?

1 1 ? x ? m ? (其中 m 为整数),则 m 叫做离实数 x 最近的整数, 2 2

记作 { x} ,即 {x} ? m . 在此基础上给出下列关于函数 f ( x) ? | x ? {x} | 的四个命题: ①函数 y ? f ( x) 的定义域是 R,值域是[0, ②函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ?

1 ]; 2

k (k∈Z)对称; 2 ③函数 y ? f ( x) 是周期函数,最小正周期是 1;
④ 函数 y ? f ( x) 在 ?? 则其中真命题是__

? 1 1? , 上是增函数。 ? 2 2? ?
▲ ①②③

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 已知 ? ? (0,

?

(Ⅰ) 求 cos ? 的值; (Ⅱ) 求 sin ? 的值.

? 7 7 ) , ? ? ( , ? ) , cos 2? ? ? , sin(? ? ? ) ? . 2 2 9 9

16.(本小题满分 14 分)

?0 ? x ? 6 ?0 ? x ? 6 设不等式组 ? 表示的区域为 A, 不等式组 ? 表示的区域为 B, 在区域 A 中 ?0 ? y ? 6 ?x ? y ? 0
任意取一点 P ( x, y ) . (Ⅰ)求点 P 落在区域 B 中的概率; (Ⅱ)若 x, y 分别表示甲、乙两人各掷一次正方体骰子所得的点数,求点 P 落在区域 B 中的概率.

17.(本小题满分 14 分)设 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 (2a+c) BC · BA +c CA · CB =0. (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 b ? 2 3 ,试求 AB · CB 的最小值.

18 经市场调查,某超市的一种小商品在过去的近 20 天内的销售量(件)与价格(元)均为 1 时间 ( t 天) 的函数, 且销售量近似满足 g(t)=80-2( t 件) , 价格近似满足 f (t ) ? 20 ? | t ? 10 | 2 (元). (Ⅰ)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0≤t≤20)的函数表达式; (Ⅱ)求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值.

19. (本小题满分 16 分) 已知数列 {a n }中, a1 ?

1 , 点(n,2a n ?1 ? a n )( n ? N * )在直线 y ? x上, 2

(Ⅰ)计算 a2 , a3 , a4的值; (Ⅱ)令 bn ? an?1 ? an ? 1, 求证 : 数列 {bn } 是等比数列; (Ⅲ)设 S n 、 Tn 分别为数列 {an } 、 {bn } 的前 n项和, 是否存在实数 ? ,使得数列

{

S n ? ?Tn } 为等差数列?若存在,试求出 ? 的值;若不存在,请说明理由. n

20.设函数 f(x)= a| x| ?

2 (其中常数 a>0,且 a≠1). ax

(Ⅰ)当 a=10 时,解关于 x 的方程 f(x)=m(其中常数 m>2 2); (Ⅱ)若函数 f(x)在(-∞,2]上的最小值是一个与 a 无关的常数,求实数 a 的取值范围.

15 解∵cos ? ?
2

1 ? cos 2 ? 2

…………………………2 分

7 1 ? (? ) 9 ?1 = …………………………4 分 2 9 ? 又∵ ? ? ( , ? ) 2 1 ∴cos ? = ? …………………………6 分 3
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:sin ? = 1 ? cos
2

? ? 1 ? (? ) 2 ?

1 3

2 2 …………………………8 分 3

? ? 3? ) 、 ? ? ( , ? ) 得( ? ? ? ) ? ( , ) 2 2 2 2 7 2 4 2 2 cos( ? ? ? )=- 1 ? sin (? ? ? ) ? ? 1 ? ( ) ? ? …………………………10 9 9
由 ? ? (0, 分 sin ? =sin( ? ? ? - ? )=sin( ? ? ? )cos ? -cos( ? ? ? )sin ? …………13 分 =

?

7 1 2 2 4 2 × (? ) - ( ? )× 9 3 3 9

=

1 …………………………14 3

16 解:(Ⅰ)设区域 A 中任意一点 P ( x, y ) ? B 为事件 M. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 因为区域 A 的面积为 S1 ? 36 ,区域 B 在区域 A 的面积为 S2 ? 18 , · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分

18 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 ? .· 36 2 (Ⅱ)设点 P ( x, y ) 在集合 B 为事件 N, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分
故点 P 落在区域 B 中的概率 P(M ) ? 甲、 乙两人各掷一次骰子所得的点 P ( x, y ) 的个数为 36 个, 其中在区域 B 中的点 P ( x, y ) 有 21 个. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分

21 7 14 分 ? . 36 12 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 17 解 : ( Ⅰ ) 因 为 (2a ? c) BC ? BA ? cCA ? CB ? 0 ,…… 分o s C ( a2 ? c )a c c ? o Bs c? a 2 cb 0 (2a ? c) cos B ? b cos C ? 0 即 , ( A? 2 C s ?………………4 B i分 ? n
故点 P 落在区域 B 中的概率 P( N ) ? 所 以





以 则

B
,) 所0 以

s

C

2

s A

i

? n B

c ?o C

, s ? B

2? …………………………8 分 3 2? 2 2 2 2 2 (Ⅱ)因为 b ? a ? c ? 2ac cos ,所以 12 ? a ? c ? ac ? 3ac ,即 ac ? 4 3 当且仅当 a ? c 时取等号,此时 ac 最大值为 4…………12 分 ??? ? ??? ? ?? ?? 2? 1 ? ? ac ? ?2 , 所以 AB ? CB = ac cos 即A 的最小值为 ?2 ……………………… BC B ? 3 2 B?
14 分

1 o ?(?s 即 i c nB s 2

1 18.解:(Ⅰ) y ? g (t ) ? f (t ) ? (80 ? 2t ) ? (20 ? | t ? 10 |) ? (40 ? t )(40? | t ? 10 |) …… 4 分 2
?(30 ? t )(40 ? t ), (0≤t ? 10), =? ?(40 ? t )(50 ? t ), (10≤t ≤ 20).

…………………… 8 分

(Ⅱ)当 0≤t<10 时,y= ? t

2

? 10t ? 1200 = ? (t ? 5) 2 ? 1225

y 的取值范围是[1200,1225], 在 t=5 时,y 取得最大值为 1225; …………………… 10 分 同理 当 10≤t≤20 时,y 的取值范围是[600,1200], 在 t=20 时,y 取得最小值为 600. …………………… 14 分 (答)总之,第 5 天,日销售额 y 取得最大为 1225 元; 第 20 天,日销售额 y 取得最小为 600 元. …………………… 16 分 解:(Ⅰ)由题意, 2a n ?1 ? a n ? n, a1 ? 同理 a 3 ? 3分 (Ⅱ)因为 2an?1 ? an ? n, 所 以

1 , 2a 2 ? a1 ? 1, 2

3 a 2 ? . ……… 2 分 4

11 35 , a4 ? , 8 16

………………………………………………

bn ?1 ? a n ? 2 ? a n ?1 ? 1 ?

a n ?1 ? n ? 1 n ? a n ?1 ? 1 ? a n ?1 ? 1 ? , …………………… 5 分 2 2

bn ? an?1 ? an ? 1 ? an?1 ? (2an?1 ? n) ? 1 ? n ? an?1 ? 1 ? 2bn?1 ,
又 b1 ? a 2 ? a1 ? 1 ? ? 9分 (Ⅲ)由(2)得,

bn?1 1 ? ………… 7 分 bn 2

3 3 1 , 所以数列 ?bn ? 是以 ? 为首项, 为公比的等比数列.……… 2 4 4

3 1 ? ? (1 ? n ) 3 1 1 2 ? 3 ? ( 1 ) n?1 ? 3 . bn ? ? ? ( ) n ?1 ? ?3 ? ( ) n?1 , Tn ? 4 1 4 2 2 2 2 1? 2 1 n ?1 1 n 又 a n ?1 ? n ? 1 ? bn ? n ? 1 ? 3 ? ( ) , 所以 a n ? n ? 2 ? 3 ? ( ) , 2 2
所 以

1 1 ? (1 ? n ) n(n ? 1) n 2 ? 3n 3 2 2 Sn ? ? 2n ? 3 ? ? ? 3 ? n . …………………… 13 分 1 2 2 2 1? 2
由题意,记 c n ?

S n ? ?Tn .要使数列 {c n }为等差数列 , 只要cn ?1 ? c n为常数. n
(

n 2 ? 3n 3 1 3 1 ? 3 ? n ) ? ?[3 ? ( ) n ?1 ? ] 1? n S ? ?Tn 2 2 2 ? n ? 3 ? (3 ? 3 ? ) ? 2 2 . cn ? n ? n n 2 2 n

cn?1 ?

n?4 3 2 n?1 , ? (3 ? ? ) ? 2 2 n ?1 1 1 1 ? n 1 ? n?1 1 3 2 ). …………………… 15 分 ? ? (3 ? ? ) ? ( 2 ? 2 2 n n ?1


1?

1

则 cn ? cn?1



? ? 2时, cn ? cn?1 ? 为

1 2

,即

{

S n ? ?Tn }为 n

. …………………… 16 分



2 ? x 10 ? x , x ≥ 0, ? ? 10 20. 解 (Ⅰ)f(x)= ? 3 ? , x ? 0. ? ?10 x

① 当 x<0 时,f(x)=

3 >3.因为 m>2 2.则当 2 2<m≤3 时,方程 f(x)=m 无解; 10 x
…………………… 1 分

3 3 当 m>3,由 10x= ,得 x=lg . m m ② 当 x≥0 时,10x≥1.由 f(x)=m 得 10x+

2 =m,∴(10x)2-m10x+2=0. x 10

m± m2-8 因为 m>2 2,判别式 ? =m2-8>0,解得 10x= . …………………… 3 分 2 m+ m2-8 m+ m2-8 m+ m2-8 因为 m>2 2, 所以 > 2>1. 所以由 10x= , 解得 x=lg . 2 2 2 m- m2-8 令 =1,得 m=3. 2 m- m2-8 4 4 所以当 m>3 时, = < =1, 2 2 m+ m -8 3+ 32-8 m- m2-8 4 4 = > = 1 , 解 得 x = lg 2 2 m+ m -8 3+ 32-8 …………………… 4 分

当 2

2<m≤3 时,

m- m2-8 .………………… 5 分 2 综上,当 m>3 时,方程 f(x)=m 有两解 x=lg m+ m2-8 3 和 x=lg ; m 2

m± m2-8 当 2 2<m≤3 时,方程 f(x)=m 有两解 x=lg .…………………… 6 分 2 3 2 (2) (Ⅰ) 若 0<a<1, 当 x<0 时, 0<f(x)= x<3; 当 0≤x≤2 时, f(x)=ax+ x. …………… a a 7分 2 令 t=ax,则 t∈[a2,1],g(t)=t+ 在[a2,1]上单调递减,所以当 t=1,即 x=0 时 f(x) t 取得最小值为 3. 当 t=a2 时,f(x)取得最大值为 a 2 ?

2 2 .此时 f(x)在(-∞,2]上的值域是(0, a 2 ? 2 ], 2 a a

没有最小值.…………………………… 9 分

3 2 (Ⅱ)若 a>1,当 x<0 时,f(x)= x>3;当 0≤x≤2 时 f(x)=ax+ x. a a 2 令 t=ax,g(t)=t+ ,则 t∈[1,a2]. t 2 ① 若 a2≤ 2 ,g(t)=t+ 在[1,a2]上单调递减,所以当 t=a2 即 x=2 时 f(x)取最小值 a2 t + ② 2 ,最小值与 a 有关;…………………………… 11 分 a2 a2 ≥
2 , g(t) = t +

2 在 [1 , 2 ] 上 单 调 递 减 , 在 [ 2 , a2] 上 单 调 递 t 2,最小值与 a 无

增,…………………………… 13 分 所 以 当 t = 2 即 x = loga 2 时 f(x) 取 最 小 值 2 关.…………………………… 15 分

综上所述, 当 a≥ 4 2 时, f(x)在(-∞, 2]上的最小值与 a 无关. …………………………… 16 分解:(


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