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【南方新课堂】2015年高考数学(文)总复习课时检测:第12章 第1讲 椭圆]


第十二章 圆锥曲线 第1讲 椭 圆

x2 y2 1.(2011 年全国)椭圆 + =1 的离心率为( ) 16 8 1 1 3 2 A. B. C. D. 3 2 3 2 x2 y2 2.椭圆 + =1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1,F2 的连线互相垂直,则△PF1F2 的 49 24 面积为( ) A.20 B.22 C.24 D.28 2 3.短轴长为 5,离心率 e= 的椭圆两焦点为 F1,F2,过 F1 作直线交椭圆于 A,B 两 3 点,则△ABF2 的周长为( ) A.3 B.6 C.12 D.24 x2 y2 4.已知 P 为椭圆 + =1 上的一点,M,N 分别为圆(x+3)2+y2=1 和圆(x-3)2+y2 25 16 =4 上的点,则|PM|+|PN|的最小值为( ) A.5 B.7 C.13 D.15 x2 y2 5.(2013 年辽宁)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交 a b 4 |AF|=6, 于 A, B 两点, 连接 AF, BF, 若|AB|=10, cos∠ABF= , 则 C 的离心率 e=________. 5 2 2 x y 6.(2013 年新课标Ⅱ)设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P 是 C a b 上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30° ,则 C 的离心率为( ) 3 1 1 3 A. B. C. D. 6 3 2 3 x2 y2 → 7. 已知 F1, F2 是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点, P 为椭圆 C 上的一点, 且PF1 a b → ⊥PF2.若△PF1F2 的面积为 9,则 b=________. x2 y2 8.设 F1,F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,P 为椭圆上任一点,点 M 的坐标为 25 16 (6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为________. 9.已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点 F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是 2∶ 3. (1)求椭圆 C 的方程; → (2)设点 M(m,0)在椭圆 C 的长轴上,点 P 是椭圆上任意一点.当|MP|最小时,点 P 恰好 落在椭圆的右顶点,求实数 m 的取值范围.

x2 10.(2012 年陕西)已知椭圆 C1: +y2=1,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相 4 同的离心率. (1)求椭圆 C2 的方程; → → (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上,OB=2OA,求直线 AB 的方程.

第十二章 圆锥曲线 第1讲 椭 圆 1.D 2.C 3.C 4.B 解析:两圆心恰好是椭圆的两个焦点 F1,F2,所以|PF1|+|PF2|=10,M,N 分别 为两圆上的动点,所以|PM|+|PN|的最小值为 10-1-2=7. 5 4 5. 解析:由余弦定理,62=|BF|2+102-2· 10|BF|·,解得|BF|=8,所以 A 到右焦点的 7 5 10 5 距离也是 8,由椭圆定义:2a=6+8=14,又 2c=10,所以 e= = . 14 7 6.D 解析:|PF2|=x,∵PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30° , ∴|PF1|=2x,|F1F2|= 3x. 又|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c, ∴2a=3x,2c= 3x. 2c 3 ∴C 的离心率为 e= = . 2a 3 → → 7.3 解析:由题意,知:|PF1|+|PF2|=2a,PF1⊥PF2, 2 2 2 2 ∴|PF1| +|PF2| =|F1F2| =4c , ∴(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=4c2, ∴2|PF1||PF2|=4a2-4c2=4b2.∴|PF1||PF2|=2b2, 1 1 ∴S△PF1F2= |PF1||PF2|= ×2b2=b2=9,∴b=3. 2 2 8.15 解析:∵|PF1|+|PF2|=10,∴|PF1|=10-|PF2|. ∴|PM|+|PF1|=10+|PM|-|PF2|.易知点 M 在椭圆外,连接 MF2 并延长交椭圆于点 P, 此时|PM|-|PF2|取最大值|MF2|, 故|PM|+|PF1|的最大值为 10+|MF2|=10+ ?6-3?2+42=15. x2 y2 9.解:(1)设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b

?a =b +c , ? 由题意,得?a∶b=2∶ 3, ? ?c=2,
x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 + =1. 16 12

2

2

2

解得 a2=16,b2=12.

x2 y2 (2)设 P(x,y)为椭圆上的动点,由于椭圆方程为 + =1,故-4≤x≤4. 16 12 → ∵MP=(x-m,y), x2 → 1- ? ∴|MP|2=(x-m)2+y2=(x-m)2+12×? ? 16? 1 2 1 = x -2mx+m2+12= (x-4m)2+12-3m2. 4 4 → ∵当|MP|最小时,点 P 恰好落在椭圆的右顶点上, → 即当 x=4 时,|MP|2 取得最小值.而 x∈[-4,4], 故有 4m≥4,解得 m≥1. 又点 M 在椭圆的长轴上,即-4≤m≤4. 故实数 m 的取值范围是 m∈[1,4]. y2 x2 10.解:(1)由已知可设椭圆 C2 的方程为 2+ =1(a>2), a 4

a2-4 3 3 ,故 = ,则 a=4. 2 a 2 y2 x2 故椭圆 C2 的方程为 + =1. 16 4 (2)方法一,设 A,B 两点的坐标分别为(xA,yA),(xB,yB), → → 由OB=2OA及(1),知:O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB 的 方程为 y=kx. x2 将 y=kx 代入 +y2=1 中,得(1+4k2)x2=4, 4 4 2 ∴xA = . 1+4k2 y2 x2 将 y=kx 代入 + =1 中,得(4+k2)x2=16, 16 4 16 2 ∴xB = . 4+k2 16 16 → → 2 又由OB=2OA,得 x2 = . B=4xA,即 4+k2 1+4k2 解得 k=± 1,故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x. 方法二,设 A,B 两点的坐标分别为(xA,yA),(xB,yB), → → 由OB=2OA及(1),知:O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB 的 方程为 y=kx. x2 将 y=kx 代入 +y2=1 中,得(1+4k2)x2=4, 4 4 2 ∴xA = , 1+4k2 16 16k2 → → 2 又由OB=2OA,得 x2 = , y = , B 1+4k2 B 1+4k2 4+k2 y2 x2 2 2 将 xB,yB代入 + =1 中,得 =1,即 4+k2=1+4k2, 16 4 1+4k2 解得 k=± 1,故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x. 其离心率为


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