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【与名师对话】2015新课标A版数学理一轮复习课时作业:7-4 Word版含解析]


课时作业(四十四)
一、选择题 1.(2013· 福州质检)已知命题“直线 l 与平面 α 有公共点”是真 命题,那么下列命题: ①直线 l 上的点都在平面 α 内; ②直线 l 上有些点不在平面 α 内; ③平面 α 内任意一条直线都不与直线 l 平行. 其中真命题的个数是( A.3 C.1 ) B.2 D.0

解析: 直线 l 与平面 α 有公

共点可知直线 l 与平面 α 相交或 l?α, 此时易得题目中所给的三个命题均为假命题,故选 D. 答案:D 2.(2013· 增城调研测试)给出三个命题: ①若两直线和第三条直线所成的角相等,则这两直线互相平行; ②若两直线和第三条直线垂直,则这两直线互相平行; ③若两直线和第三条直线平行,则这两直线互相平行. 其中正确命题的个数是( A.0 C.2 ) B.1 D.3

解析:举反例:正方体共顶点的三条棱,其中两条棱与第三条棱 所成角相等且均为 90° ,而这两条直线垂直,故命题①②为假命题, 故选 B. 答案:B

3. (2013· 江西南昌调研)下列命题中, m, n 表示两条不同的直线, α,β,γ 表示三个不同的平面 ①若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n; ②若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β; ③若 m∥α,n∥α,则 m∥n; ④若 α∥β,β∥γ,m⊥α,则 m⊥ γ. 其中正确的命题是( A.①③ C.①④ ) B.②③ D.②④

解析:②反例:正方体共顶点的三个平面两两垂直,故为假命 题.③m∥α,n∥α,m 和 n 可能平行、相交或异面,故为假命题.所 以①④为真命题,故选 C. 答案:C 4.(2013· 成都第三次诊断)已知 α,β,γ 是三个不同的平面,l, m 是两条不同的直线,则下列命题一定正确的是( A.若 l⊥α,l∥β,则 α∥β B.若 γ⊥α,γ⊥β,则 α∥β C.若 l∥m,且 l?α,m?β,l∥β,m∥α,则 α∥β D.若 l,m 异面,且 l?α,m?β,l∥β,m∥α,则 α∥β 解析:A 选项中 α∥β 或 α⊥β;B 选项中 α∥β 或 α 与 β 相交;C 选项中 α 与 β 可能平行也可能相交,故 D 选项正确,关键在于 l 与 m 异面. 答案:D 5.(2013· 山东滨州质检)a、b、c 为三条不重合的直线,α、β、γ 为三个不重合平面,现给出六个命题 ① a∥c? ?
??a∥b ? b∥c?

)



a∥γ? ?

??a∥b ? b∥γ?



α∥c? ? ??α∥β ? β∥c?

??α∥β ④ ? β∥γ?

α∥γ? ?

??α∥a ⑤ ? a ∥ c?

α∥c? ?



a∥γ? ?
? α∥γ?

??α∥a

其中正确的命题是(

)

A.①②③ B.①④⑤ C.①④ D.①③④ 解析:①④正确,②错在 a、b 可能相交或异面.③错在 α 与 β 可能相交.⑤⑥错在 a 可能在 α 内. 答案:C 6.下面四个正方体图形中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N, P 分别为其所在棱的中点,能得出 AB∥平面 MNP 的图形是( )

A.①② B.①④ C.②③ D.③④ 解析:由线面平行的判定定理知图①②可得出 AB∥平面 MNP. 答案:A 二、填空题 7.若 α、β 是两个相交平面,点 A 不在 α 内,也不在 β 内,则过 点 A 且与 α 和 β 都平行的直线有且只有________条.

解析:据题意如图,要使过点 A 的直线 m 与平面 α 平行,则据 线面平行的性质定理得经过直线 m 的平面与平面 α 的交线 n 与直线 m 平行, 同理可得经过直线 m 的平面与平面 β 的交线 k 与直线 m 平行, 则推出 n∥k,由线面平行可进一步推出直线 n 与直线 k 与两平面 α 与 β 的交线平行,即要满足条件的直线 m 只需过点 A 且与两平面交 线平行即可,显然这样的直线有且只有一条. 答案:1 8.设 α、β、γ 为三个不同的平面,m、n 是两条不同的直线,在 命题“α∩β=m,n?γ,且________,则 m∥n”中的横线处填入下列 三组条件中的一组,使该命题为真命题. ①α∥γ,n?β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m?γ. 答案:①或③ 9.过三棱柱 ABC-A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线,其中与 平面 ABB1A1 平行的直线共有________条. 解析:过三棱柱 ABC-A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线,记 AC,BC,A1C1,B1C1 的中点分别为 E,F,E1,F1,则直线 EF,E1F1, EE1,FF1,E1F,EF1 均与平面 ABB1A1 平行,故符合题意的直线共 6 条. 答案:6 三、解答题 10.

(2013· 安徽卷节选)如图,圆锥顶点为 P,底面圆心为 O,其母线 与底面所成的角为 22.5° ,AB 和 CD 是底面圆 O 上的两条平行的弦, 轴 OP 与平面 PCD 所成的角为 60° . 证明:平面 PAB 与平面 PCD 的交线平行于底面. 证明:设面 PAB 与面 PCD 的交线为 l. 因为 AB∥CD,AB 不在面 PCD 内,所以 AB∥面 PCD. 又 AB?面 PAB,面 PAB 与面 PCD 的交线为 l,所以 AB∥l. 由直线 AB 在底面内而 l 在底面外可知,l 与底面平行.

11.如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别为 A1B1、 A1D1 的中点,E、F 分别为 B1C1、C1D1 的中点. (1)求证:四边形 BDEF 是梯形; (2)求证:平面 AMN∥平面 EFDB. 证明:(1)连接 B1D1. 在△B1D1C1 中,E、F 分别是 B1C1、C1D1 的中点, 1 ∴EF 綊2B1D1.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,四边形 BDD1B1 是 矩形,∴BD 綊 B1D1. 1 ∴EF 綊2BD.∴四边形 BDFE 是梯形.

(2)在△A1B1D1 中,M、N 分别为 A1B1、A1D1 的中点, ∴MN∥B1D1,由(1),知 EF∥B1D1,∴MN∥EF. 在正方形 A1B1C1D1 中,F 为 C1D1 的中点,M 为 A1B1 的中点,∴ FM 綊 A1D1, 而正方体的侧面 ADD1A1 为正方形,∴AD 綉 A1D1, ∴FM 綊 AD,∴四边形 ADFM 为平行四边形,∴AM∥DF. 又∵AM∩MN=M,DF∩FE=F, ∴平面 AMN∥平面 EFDB.

12.如图,三棱柱 ABC-A1B1C1,底面为正三角形,侧棱 A1A⊥ 底面 ABC,点 E、F 分别是棱 CC1、BB1 上的点,点 M 是线段 AC 上 的动点,EC=2FB. 当点 M 在何位置时,BM∥平面 AEF? 解:如图,取 AE 的中点 O,连接 OF,过点 O 作 OM⊥AC 于点 M. ∵侧棱 A1A⊥底面 ABC, ∴侧面 A1ACC1⊥底面 ABC,

∴OM⊥底面 ABC. 1 又∵EC=2FB,∴OM∥FB 綊2EC, ∴四边形 OMBF 为矩形, ∴BM∥OF, 又∵OF?面 AEF,BM?面 AEF. 故 BM∥平面 AEF,此时点 M 为 AC 的中点. [热点预测] 13.一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中 M,N 分别是 AB,AC 的中点,G 是 DF 上的一动点.

(1)求该多面体的体积与表面积; (2)求证:GN⊥AC; (3)当 FG=GD 时, 在棱 AD 上确定一点 P, 使得 GP∥平面 FMC, 并给出证明. 解:(1)由题中图可知该多面体为直三棱柱,在△ADF 中, 1 AD⊥DF,DF=AD=DC=a,所以该多面体的体积为2a3. 1 表面积为2a2×2+ 2a2+a2+a2=(3+ 2)a2.

(2)证明:连接 DB,FN,由四边形 ABCD 为正方形,且 N 为 AC 的中点,知 B,N,D 三点共线,且 AC⊥DN. 又∵FD⊥AD,FD⊥CD,AD∩CD=D, ∴FD⊥平面 ABCD. ∵AC?平面 ABCD,∴FD⊥AC. 又 DN∩FD=D,∴AC⊥平面 FDN. 又 GN?平面 FDN,∴GN⊥AC. (3)点 P 与点 A 重合时,GP∥平面 FMC. 取 FC 的中点 H,连接 GH,GA,MH.

1 ∵G 是 DF 的中点,∴GH 綊2CD. 1 又 M 是 AB 的中点,∴AM 綊2CD. ∴GH∥AM 且 GH=AM. ∴四边形 GHMA 是平行四边形. ∴GA∥MH. ∵MH?平面 FMC,GA?平面 FMC, ∴GA∥平面 FMC,即当点 P 与点 A 重合时,GP∥平面 FMC.


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