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二次函数与平行四边形AA


二次函数与平行四边形 AA 一、已知三个定点,再找一个定点构成平行四边形 1.【08 湖北十堰】已知抛物线 y ? ?ax2 ? 2ax ? b 与 x 轴的一个交点为 A(-1,0),与 y 轴的正半轴交于点 C. ⑴直接写出抛物线的对称轴,及抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标; ⑵当点 C 在以 AB 为直径的⊙P 上时,求抛物线的解析式; ⑶坐标平面内是否存在点 M ,使得以点 M 和⑵中抛物线上的三点 A、B、C 为顶点的四边形是平行四边形? 若存在,请求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. 解:⑴对称轴是直线: x ? 1 ,点 B 的坐标是(3,0). ??2 分 说明:每写对 1 个给 1 分, “直线”两字没写不扣分. ⑵如图,连接 PC,∵点 A、B 的坐标分别是 A(-1,0)、B (3,0), 1 1 ∴AB=4.∴ PC ? AB ? ? 4 ? 2. 2 2 在 Rt△POC 中,∵OP=PA-OA=2-1=1, ∴ OC ? PC2 ? PO2 ? 22 ? 12 ? 3. ∴b= 3. ????????????3 分 当 x ? ?1,y ? 0 时, ? a ? 2a ? 3 ? 0,

3 . ????????????4 分 3 3 2 2 3 ∴y?? x ? x ? 3. ??????5 分 3 3
∴a ? ⑶存在.???????????6 分 理由:如图,连接 AC、BC.设点 M 的坐标为 M ( x, y ) . ①当以 AC 或 BC 为对角线时,点 M 在 x 轴上方,此时 CM∥AB,且 CM=AB. 由⑵知,AB=4,∴|x|=4, y ? OC ? 3 . ∴x=±4.∴点 M 的坐标为 M (4, 3)或(?4, 3) .?9 分 说明:少求一个点的坐标扣 1 分. ②当以 AB 为对角线时,点 M 在 x 轴下方. 过 M 作 MN⊥AB 于 N,则∠MNB=∠AOC=90°. ∵四边形 AMBC 是平行四边形,∴AC=MB,且 AC∥MB. ∴∠CAO=∠MBN.∴△AOC≌△BNM.∴BN=AO=1,MN=CO= 3 . ∵OB=3,∴0N=3-1=2. ∴点 M 的坐标为 M (2, ? 3) . ???????????12 分 说明:求点 M 的坐标时,用解直角三角形的方法或用先求直线解析式, 然后求交点 M 的坐标的方法均可,请参照给分. 综上所述,坐标平面内存在点 M ,使得以点 A、B、C、M 为顶点的四边形是平行四边形.其坐标为

M1 (4, 3), M 2 (?4, 3), M3 (2, ? 3) .
说明:①综上所述不写不扣分;②如果开头“存在”二字没写,但最后解答全部正确,不扣分。

2.【09 浙江湖州】已知抛物线 y ? x2 ? 2x ? a ( a ? 0 )与 y 轴相交于点 A ,顶点为 M .直线 y ? 分别与 x 轴, y 轴相交于 B,C 两点,并且与直线 AM 相交于点 N . (1)填空:试用含 a 的代数式分别表示点 M 与 N 的坐标,则 M ? 结 CD ,求 a 的值和四边形 ADCN 的面积;

1 x?a 2



?,N ?



?;

(2)如图,将 △NAC 沿 y 轴翻折,若点 N 的对应点 N ′恰好落在抛物线上, AN ′与 x 轴交于点 D ,连 (3)在抛物线 y ? x2 ? 2x ? a ( a ? 0 )上是否存在一点 P ,使得以 P,A,C,N 为顶点的四边形是平行 四边形?若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,试说明理由. y C N B A M 第(2)题 O N′ D x B A M 备用图 N P1 $L太Vx趎LE$L太Vx趎?4 a, ? a ? .?????4 分 3 ? ?3 1 ? ? 4 (2)由题意得点 N 与点 N ′关于 y 轴对称,? N ? ? ? a, ? a?, 3 ? ? 3 1 16 2 8 2 a ? a?a, 将 N ′的坐标代入 y ? x ? 2x ? a 得 ? a ? 3 9 3 9 , a2 ? ? .?????2 分 ? a1 ? 0 (不合题意,舍去) 4 3? ? ? N ? ?3, ? ,? 点 N 到 y 轴的距离为 3. 4? ? 9 9? ? 3? ? A ? 0, ? ? , N ? ? 3, ? ,? 直线 AN ? 的解析式为 y ? x ? , 4 4? ? 4? ? 9 ?9 ? 它与 x 轴的交点为 D ? , 0 ?, ? 点 D 到 y 轴的距离为 . 4 ?4 ? 1 9 1 9 9 189 ? S四边形ADCN ? S△ ACN ? S△ ACD ? ? ? 3 ? ? ? ? .?????2 分 2 2 2 2 4 16 (3)当点 P 在 y 轴的左侧时,若 ACPN 是平行四边形,则 PN 平行且等于 AC , 7 ? ?4 ? a ? ,代入抛物线的解析式, ? 把 N 向上平移 ?2a 个单位得到 P ,坐标为 ? a, 3 ? ?3 7 16 2 8 a ? a?a 得: ? a ? 3 9 3 3 ? 1 7? , a2 ? ? , ? P ? ? , ? .?????2 分 ? a1 ? 0 (不舍题意,舍去) 8 ? 2 8? APCN 当点 P 在 y 轴的右侧时,若 是平行四边形,则 AC 与 PN 互相平分,
(1) M ?1 ,a ? 1?,N ?

? OA ? OC,OP ? ON .

? 4 1 ? ? P 与 N 关于原点对称,? P ? ? a, a ? , ? 3 3 ? 1 16 2 8 a ? a?a, 将 P 点坐标代入抛物线解析式得: a ? 3 9 3 15 ? 5 5? , a2 ? ? ,? P ? , ? ? .?????2 分 ? a1 ? 0 (不合题意,舍去) 8 ? 2 8? ? 1 7? ? 5 5? ? ? ,能使得以 P,A,C,N 为顶点的四边形是平行四边形. ? 存在这样的点 P 1?? , ? 或 P 2? , ? 2 8? ? 2 8?
二、已知两个定点,再找两个点构成平行四边形 ①确定两定点连接的线段为一边,则两动点连接的线段应和已知边平行且相等) 1. 【09 福建莆田】已知,如图抛物线 y ? ax2 ? 3ax ? c(a ? 0) 与 y 轴交于 C 点,与 x 轴交于 A、B 两点,A 点在 B 点左侧。点 B 的坐标为(1,0),OC=30B. (1)求抛物线的解析式; (2)若点 D 是线段 AC 下方抛物线上的动点,求四边形 ABCD 面积的最大值: (3)若点 E 在 x 轴上,点 P 在抛物线上。是否存在以 A、C、E、P 为顶点且以 AC 为一边的平行四边形?若 存在,求点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 解: (1)∵对称轴 x ? ?

3a 3 ? ? ???1 分 2a 2 又∵OC=3OB=3, a ? 0 ,
∴C(0,-3)???2 分
2

方法一:把 B(1,0)、C(0,-3)代入 y ? ax ? 3ax ? c 得:

?c ? ?3 3 解得: a ? ,c ? ?3 ? 4 ?a ? 3a ? c ? 0 3 2 9 ∴ y ? x ? x ? 3 ???????4 分 4 4
方法二:∵B(1,0) ,∴A(-4,0) 可令 y ? a( x ? 4)( x ? 1) 把 C(0,-3)代入得:

a?

3 4

∴y?

3 ( x ? 4)( x ? 1) ??????4 分 4 3 9 ? x2 ? x ? 3 4 4

(2)方法一:过点 D 作 DM∥y 轴分别交线段 AC 和 x 轴于点 M、N。 ∵ S四边形ABCD=S ABC ? S ACD ==

15 1 15 ? ? DM ? ( AN ? ON ) ? ? 2 DM ?????5 分 2 2 2

∵A(-4,0),C(0,-3) 设直线 AC 的解析式为 y ? kx ? b

3 x ? 3 ?????6 分 4 3 2 9 3 ? x ? 3) 令 D ( x, x ? x ? 3) , M ( x, 4 4 4 3 3 9 3 DM ? ? x ? 3 ? ( x 2 ? x ? 3) ? ? ( x ? 2) 2 ? 3 4 4 4 4
代入求得: y ?

????7 分

当 x ? ?2 时,DM 有最大值 3

27 。????8 分 2 方法二:过点 D 作 DQ⊥y 轴于 Q,过点 C 作 CC1 ∥x 轴交抛物线于 C1 ,从图象中可判断当嗲 D 在 CC1 下方
此时四边形 ABCD 面积有最大值 的抛物线上运动时,四边形 ABCD 才有最大值。 则 S四边形ABCD=S =
OBC

? S梯形AOQD-S

DQC =

3 1 1 ? ? (4 ? DQ) ? OQ ? ? DQ ? (OQ ? 3) 2 2 2

3 3 ? 2OQ ? DQ ????5 分 2 2 3 2 9 令 D ( x, x ? x ? 3) 4 4 3 3 2 9 3 3 27 2 则 S四边形ABCD= ? 2( x ? x ? 3) ? x ? ? ( x ? 2) ? ????7 分 2 4 4 2 2 2 27 当 x ? ?2 时,四边形 ABCD 面积有最大值 。????8 分 2 (3)如图所示,讨论:①过点 C 作 CP 1 ∥x 轴交抛物线于点 P 1 ,过点 P 1 作 PE 1 1 ∥AC 交 x 轴于点 E1 ,此时
四边形 ACPE 1 1 为平行四边形,????9 分 ∵C(0,-3)

3 2 9 x ? x ? 3 ? ?3 得: x1 ? 0,x2 ? 3 4 4 ∴ CP 。∴ P ? 3 , ? 3) 1 1 (?3 1 2 2.【09 福建南平】已知抛物线: y1 ? ? x ? 2 x 2
令 (1)求抛物线 y1 的顶点坐标. (2)将抛物线 y1 向右平移 2 个单位,再向上平移 1 个单位,得到抛物线 y2 ,求抛物线 y2 的解析式. (3)如下图,抛物线 y2 的顶点为 P, x 轴上有一动点 M,在 y1 、 y2 这两条抛物线上是否存在点 N,使 O (原点) 、P、M、N 四点构成以 OP 为一边的平行四边形,若存在,求出 N 点的坐标;若不存在,请说明理 由. 【提示:抛物线 y ? ax2 ? bx ? c ( a ≠0)的对称轴是 x ? ?

? b 4ac ? b 2 ? b , 顶点坐标是 ? ? ? 2a , 4a ? ?】 2a ? ?

1 解: (1)依题意 a ? ? , b ? 2, c ? 0 ?????1 分 2 4ac ? b 2 0 ? 22 b 2 ? ? 2 ??3 分 ∴? ?? ? 2, 1 1 4a 2a 4 ? (? ) 2 ? (? ) 2 2
∴顶点坐标是(2,2)?????????4 分 (2)根据题意可知 y2 解析式中的二次项系数为 ?

y

5 4 3 2 1

y2 y1
1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 ???????5 分 2

-1 -1 -2 -3 -4

x

且 y2 的顶点坐标是(4,3)????????6 分 ∴y2=-

1 1 ( x ? 4) 2 ? 3 ,即:y2= ? x 2 ? 4 x ? 5 ??8 分 2 2

(3)符合条件的 N 点存在??????????????9 分

如图:若四边形 OPMN 为符合条件的平行四边形, 则 OP ∥ MN ,且 OP ? MN ∴ ?POA ? ?BMN , 作 PA ? x 轴于点 A, NB ? x 轴于点 B ∴ ?PAO ? ?MBN ? 90 , 则有 ?POA ? ?NMB (AAS) ∴ PA ? BN ∵点 P 的坐标为(4,3)∴ NB ? PA ? 3 ??10 分 ∵点 N 在抛物线 y1 、 y2 上,且 P 点为
0

y
5 4 3 2 1 -1 -1 -2 1 2 3 4 5 6 7 8 9

y2 y1

x

y1 、 y2 的最高点

∴符合条件的 N 点只能在 x 轴下方

-3 1 2 ①点 N 在抛物线 y1 上,则有: ? x ? 2 x ? ?3 -4 2 解得: x ? 2 ? 10 或 x ? 2 ? 10 ???????????????????11 分 1 2 ②点 N 在抛物线 y2 上,则有: ? ( x ? 4) ? 3 ? ?3 2 解得: x ? 4 ? 2 3 或 x ? 4 ? 2 3 ???????13 分

∴符合条件的 N 点有四个:

N1 (2 ? 10, ? 3); N 3 (2 ? 10,?3);

N 2 (4 ? 2 3 ,?3); N 4 (4 ? 2 3,?3)

?????????????????14 分

②两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时,则这条线段可能为平行四边形得边或对角线 1. 【07 浙江义乌】如图,抛物线 y ? x2 ? 2x ? 3 与 x 轴交 A、B 两点(A 点在 B 点左侧) ,直线 l 与抛物线 交于 A、C 两点,其中 C 点的横坐标为 2. (1)求 A、B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式; (2)P 是线段 AC 上的一个动点,过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点, 求线段 PE 长度的最大值; (3)点 G 抛物线上的动点,在 x 轴上是否存在点 F,使 A、C、F、G 这样 的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的 F 点坐标;如果不存在,请说明理由. 解: (1)令 y=0,解得 x1 ? ?1 或 x2 ? 3 (1 分) ∴A(-1,0)B(3,0) ; (1 分) 将 C 点的横坐标 x=2 代入 y ? x2 ? 2x ? 3 得 y=-3,∴C(2,-3) (1 分) ∴直线 AC 的函数解析式是 y=-x-1 (2)设 P 点的横坐标为 x(-1≤x≤2) (注:x 的范围不写不扣分) 则 P、E 的坐标分别为:P(x,-x-1) , (1 分) E( ( x, x ? 2 x ? 3) (1 分)
2

∵P 点在 E 点的上方,PE= (? x ?1) ? ( x ? 2 x ? 3) ? ? x ? x ? 2 (2 分)
2 2

∴当 x ?

1 9 时,PE 的最大值= (1 分) 2 4
当 AF 为平行四边形的对角线时: F1 (1,0), F2 (?3,0), F3 (4 ? 7), F4 (4 ? 7)

1 (1,0), F 2 (?3,0), F 3 (4 ? 7), F 4 (4 ? 7) (3)存在 4 个这样的点 F,当 AF 为平行四边形的边时: F

0) 、点 2. 【09 辽宁抚顺】已知:如图所示,关于 x 的抛物线 y ? ax ? x ? c(a ? 0) 与 x 轴交于点 A(?2,
2

B(6, 0) ,与 y 轴交于点 C .
(1)求出此抛物线的解析式,并写出顶点坐标; (2)在抛物线上有一点 D ,使四边形 ABDC 为等腰梯形,写出点 D 的坐标,并求出直线 AD 的解析式; (3)在(2)中的直线 AD 交抛物线的对称轴于点 M ,抛物线上有一动点 P , x 轴上有一动点 Q .是否 存在以 A、M、P、Q 为顶点的平行四边形?如果存在,请直接写出点 Q 的坐标;如果不存在,请说明理 C y

由. 解: (1)根据题意,得

? 4a ? 2 ? c ? 0 ???????????? 1 分 ? ?36a ? 6 ? c ? 0 1 ? ?a ? ? 解得 ? 4 ????????????? 3 分 ? ?c ? 3 1 ? 抛物线的解析式为 y ? ? x 2 ? x ? 3 ?? 4 分 4
顶点坐标是(2,4) ???????????????????????????? 5 分 3) ??????????????6 分 (2) D(4, 设直线 AD 的解析式为 y ? kx ? b(k ? 0)

3) 0) 点 D(4, 直线经过点 A(?2,、

y P2 C

D P

1 C ??2k ? b ? 0 ??????????????7 分 ?? Q4 Q1 ?4k ? b ? 3 Q Q2 A 3 O B x 1 ? P 4 ?k ? P3 ?? 2 ??????????????8 分 ? ?b ? 1 1 ? y ? x ? 1 ??????????????????????????????? 9 分 2

(3)存在. ??????????????????????????????? 10 分

Q1 (2 2 ? 2, 0) ?????????????????????????????? 11 分 Q2 (?2 2 ? 2,0) ???????????????????????????? 12 分 Q3 (6 ? 2 6, 0) ?????????????????????????????? 13 分 Q4 (6 ? 2 6, 0) ?????????????????????????????? 14 分


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