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全国高中数学联赛模拟题(3)(4)


全国高中数学联赛模拟题(3)
第一试
一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1. 已知数列 ?an ? 满足 an ? 8 ? ( 2n ? 7)( ) . 若 ?an ? 中存在最大项与最小项,分别设为
n

p、q ,则 p ? q ?

1 2

.

2.

在四面体 ABCD 中,已知 AE ? EB , AF ? 3FC , AG ?

1 AD. 则四面体 ABCD 被截面 4

EFG 分得的两个多面体的体积之比为

.

3. 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 和点 A(a,0), A' (?a,0)(t ? 0). 过点 A' 的直线与抛物线 交于点 P、Q. 则直线 AP、AQ 的斜率之和 k AP ? k AQ ?
x 4. 已知点 P 在曲线 y ? 2e 上,点 Q 在曲线 y ? ln

. .

x 上。则 PQ 的最小值是 2

5.

已 知 定 义 在

R

上 的 函 数

f ( x) , 对 任 意 的 x ? R, 均 有

f (? x) ? f ( x) ? 0, f ( x ? 1) ? f ( x) ? 0, 且 当 x ? (0,1) 时 , f ( x) ? x. 则 当
5 x ? [ ?3,? ] 时, f ( x) 的取值范围是 2 x 2 x 3
.

6. 对任意的整数 n(n ? 2) ,用 An 表示方程 x ? [ ] ? [ ] ? ? ? [ ] 的解集,其中, [ x ] 表示 不超过实数 x 的最大整数。则 A2 ? A3 ? 7. 在锐角 ?ABC 中,已知 .

x n

sin A 2 ? cosC ? 0, tan A ? . 则 tan B ? sin B 4

.

8. 设 a、 d 是 非 负 数 , b、 c 是 正 数 , 且 b ? c ? a ? d . 则 是 . 二、解答题(共 56 分) 9. 设 x、y、z ? 1,

b c ? 的最小值 c?d a?b

1 1 1 ? ? ? 2. 证明: 8( x ? 1)( y ? 1)(z ? 1) ? 1. x y z

10.设 0 ? ? ? 2. 求函数 f ( x) ?

1 x ? ( x ? 0) 的值域。 1 ? ?x x??

11. 设二次曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a、b ? 0) 与 x 轴的交点为 A、B ,经过 x 轴上异于 A、B a 2 b2

和原点 O 的点 P 的直线与曲线 C 交于两点 M、N(M 在 N 的右侧) ,直线 AM 、BN 交于点 Q. 证明: OP ? OQ 为定值。

试 一、已知 AD、BE 分别为锐角 ?ABC 的边 BC 、CA 上的高,以 AD 为直径的圆分别与 AB、AC 交于点 G、H . 联结 GD 、GH 分别与 BE 交于点 I、 J ,延长 DJ 与 AB 交于点 L. 证明: LI ? BC .



二、已知数列 ?an ? 满足 an ? [ 2n](n ? 1,2,?), 其中, ?x ? 表示不超过实数 x 的最大整数。 证明:存在 ?an ? 的无穷子序列 ?a'n ?,使得对一切 n 均有 a'n ? 1(mod4).

2 三、设 ?an ?是各项为正的数列, an ?1 ? an ? an (n ? 1).记 S n ?

? a . 证明: S
i ?1 i

n

n

? 1 ? ln

n?2 . 3

四 、 记 S ( X ) 为 数 集 X 的 元 素 和 。 试 问 : 当 n ? 4k (k ? N? ) 时 , 是 否 存 在 集 合

M ?? 1,2,?5n?的分拆: A1, A2 ,?, An , B1, B2 ,?, Bn ,使得
(1) Ai ? 3, Bi ? 2(i ? 1,2,?, n); (2)对一切的 i(i ? 1,2,?, n) 都有 S ( Ai ) ? S ( Bi ).

全国高中数学联赛模拟题(4)
第一试
一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1. 设集合 M ? ? 1,2,?,100?, A 是 M 的子集,且 A 中至少含有一个立方数。则满足要求的子 集 A 的个数是 .

2. 已知复数 a、 b 满足 (a ? i)(b ? i) ? 2. 若 a ?

2 , 则 b ? 3i ? 2

. .

3. 已知点 P 在曲线 y ? e x 上,点 Q 在曲线 y ? ln x 上。则 PQ 的最小值是

(cos 4. 已知 ?A、?B、?C 为 ?ABC 三内角,向量 ? ?

A? B A? B , 3 sin ) , ? ? 2. 2 2

AB、 MB 成等差数列,则 如果当 ?C 最大时,存在动点 M , 使得 MA、

MC AB

最大值

是 . 5. 甲和乙轮流掷一枚均匀硬币,谁先掷出正面谁获胜,此时本场结束,而且负方在下一场 先掷。设甲乙一共玩了 10 场,且甲第一场先掷,记甲赢得第 k 场的概率为 Pk . 若

1 ? 39 (2Pk ? 1) ? 81, 则 k 的值为
4 3 2

.
4 2

6. 设 a 是实数, 且方程 x ? 3ax ? a(1 ? 5a ) x ? 3a ? a ? 1 ? 0 有实根且不同的实根至多 有两个。则 a 的值为 7. .

设 集 合 S ?? 1,2,?,15?, A ? ?a1, a2 , a3? 是 S 的 子 集 , 且 (a1, a2 , a3 ) 满 足

1 ? a1 ? a2 ? a3 ? 15, a3 ? a2 ? 6. 则满足条件的子集的个数为

.

8. 设 ?an ? 是 单 调 递 增 的 正 整 数 列 , 且 对 于 四 元 数 组 (i, j, k , l )(1 ? i ? j ? k ? l ? n), 若

i ? l ? j ? k , 必有 ai ? al ? a j ? ak , 则 a81 的最小值为

.

二、解答题(共 56 分) 9. 给 定

n 1 1 1 1 1 S n ? 1 ? ? ? ? , Tn ? S1 ? S 2 ? ? ? Sn ,U n ? T1 ? T2 ? ? ? Tn . 2 n 2 3 n ?1
正 整 数 求 2013 S2012 ? U 2011.

,



10. 已知 P 为正三棱锥 A ? BCD 的边界上一点, ?ABC 、?ABD 、?ADC 、?DBC 的重 心分别为 E、F、G、H . 若底面 BCD 的边长为 1,侧棱 AB ? AC ? AD ? 11, 求 PE ? PF ? PG ? PH 的最大值。

11. 在椭圆 x ? 4 y ? 8 中, AB 是长为
2 2

5 的动弦, O 为坐标原点。求 ?AOB 面积 S 的最 2

大值。





一、 在梯形 ABCD 中,AB // CD, 圆? 1 和? 2 均在梯形内, 圆? 1 与梯形的边 AD 、DC 、CB 均相切,圆? 2 与梯形的边 AD、AB、CB 均相切,过点 B 作圆? 1 的切线 l1 (l1 不同于 BC), 过点 D 作圆? 2 的切线 l2 (l2 不同于 DA). 证明: l1 // l2 .

2012 二、 m 为正整数, m! 所含因子 2 的个数记为 f (m). 证明:存在正整数 m ? 2012 ,使

m ? 32012 ? f (m).

三、已知 a1 ? 0, a2 ? 0, 且 an ? 2 ? 证明: M n ? 3 ?

? 1 2 1 ? , 定义: M n ? max?an , , an ?1 , ?. an ?1 ? an an ?1 ? ? an

3 1 Mn ? . 4 4

四、已知 n ? N? , n ? 1, 且 a1, a2 ,?, an 是任意给定的一组实数。证明:存在实数 b1 , b2 ,?, bn 满足: (1)对每个 i ? ? 1,2,?, n?, ai ? bi 正整数; (2)

1? i ? j ? n

? (b ? b )
i j

2

?

n2 ? 1 . 12


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