2014届高考数学一轮 1.5.1数列的概念与简单表示 文

1.5.1 数列的概念与简单表示 文
一、选择题 1．已知数列{an}的通项 an＝ A．an＞an＋1 C．an＝an＋1 解析：an＝

na (a，b，c 都是正实数)，则 an 与 an＋1 的大小关系是( nb＋c

)

B．an＜an＋1 D．不能确定

na a c ＝ ，∵y＝ 是减函数， nb＋c c n b＋ n

∴ y＝

a

c b＋ n

是增函数，∴an＜an＋1.

答案：B 2 * 2．已知数列{an}的通项公式是 an＝n ＋kn＋2，若对于 n∈N ，都有 an＋1＞an 成立，则实数 k 的取值范围是( ) A．k＞0 B．k＞－1 C．k＞－2 D．k＞－3 2 2 * * 解析：依题意，(n＋1) ＋k(n＋1)＋2＞n ＋kn＋2 对 n∈N 恒成立，即 k＞－2n－1 对 n∈N * 恒成立，因为－2n－1(n∈N )的最大值为－3，所 以 k＞－3，选择 D. 答案：D 2 3．数列{－2n ＋29n＋3}中最大项是( ) 1 A．107 B．108 C．108 D．109 3 29 2 1 2 解析：an＝－2n ＋29n＋3＝－ 2(n－ ) ＋108 ， 4 8 29 1 * ∵ ＝7 ，且 n∈N ， 4 4 ∴当 n＝7 时，an 最大，最大值为 a7＝108. 答案：B 4．已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且 a1＝1.那么 a10＝( ) A．1 B．9 C．10 D．55 解析：由 Sn＋Sm＝Sn＋m，得 S1＋S9＝S10? a10＝S10－S9＝S1＝ a1＝1. 答案：A 5． 一函数 y＝f(x)的图象在给定的下列图象中， 并且对任意 an∈(0,1)， 由关系式 an＋1＝f(an) * 得到的数列{an}满足 an＋1＞an(n∈N )，则该函数的图象是( )

解析：由 an＋1＞an 可知数列{an}为递增 数列，又由 an＋1＝f(an)＞an 可知，当 x∈(0,1)时，y ＝f(x)的图象在直线 y＝x 的上方，故选 A.

1

答案：A 6．数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则 a6＝( ) 4 4 A．3×4 B．3×4 ＋1 3 3 C．4 D．4 ＋1 n －1 解析：由 an＋1＝3Sn? Sn＋1－Sn＝3Sn，即 Sn＋1＝4Sn，又 S1＝a1＝1，可知 Sn＝4 .于是 a6＝S6 5 4 4 －S5＝4 －4 ＝3×4 . 答案：A 二、填空题 7．设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则其通项公式 an＝__________. 解析：由 an＋1－an＝n＋1，可得当 n≥2 时，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n. 以上 n－1 个式子左右两边分别相加，得 ? n＋2? ? n－1? an－a1＝2＋3＋…＋n＝ ， 2 ∴an＝

n? n＋1?
2

＋1.

又 n＝1 时，a1＝2 适合上式， n? n＋1? ∴an＝ ＋1. 2 答案：

n? n＋1?
2

＋1

8．设数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sn＝ __________． 解析：∵Sn＝

a1? 3n－1?
2

(对于所有 n≥1)，且 a4＝54，则 a1 的值是

a1? 3n－1?
2

，

a1 n 1 1 n n n－1 ∴an＝Sn－Sn－1＝ (3 － · 3 )＝ a1·3 ＝a1·3 (n≥2)． 2 3 3
∵a4＝54，∴54＝a1·3 . ∴a1＝2. 答案：2 * 9．数列{an}中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N )，则 a2011＝__________. 解析：a 3＝a2－a1＝4，a4＝a3－a2＝4－5＝－1，a5＝a4－a3＝－1－4＝－5，a6＝a5－a4＝－5 －(－1)＝－4，a7＝a6－a5＝－4－(－5)＝1，a8＝a7－a6＝1－(－4)＝5. ∴数列{an}为周期数列，6 为其一个周期． ∴a2011＝a1＝1. 答案：1 三、解答题 ? 1? 10．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln?1＋ ? ，求 an.
3

?

n?

解析：由已知，an＋1－an＝ln ∴an－an－1＝ln

n＋1 ，a1＝2， n

n

n－1

，

2

n－1 an－1－an－2＝ln ， n－2
… 2 1

a2－a1＝ln .
将以上 n－1 个式子累加，得 n n－1 2 an－a1＝ln ＋ln ＋…＋ln n－1 n－2 1 ＝ln?

? n ·n－1·…·2? 1? ?n－1 n－2 ?

＝lnn ∴an＝2＋lnn. 1 11．数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＝1，an＋1＝ Sn，n＝1,2,3，….求： 3 (1)a2，a3，a4 的值； (2)数列{an}的通项公式． 1 解析：(1)由 a1＝1，an＋1＝ Sn，n＝1,2,3，…，得 3

a2＝ S1＝ a1＝ ， a3＝ S2＝ (a1＋a2)＝ ， a4＝ S3＝ (a1＋a2＋a3)＝ .
(2)当 n≥2 时， 1 1 an＋1－an＝ (Sn－Sn－1)＝ an， 3 3 4 ∴an＋1＝ an(n≥2)． 3 1 又 a2＝ ， 3 1 4 n－2 ∴an＝ ×( ) (n≥2)． 3 3 ∴数列{an}的通项公式为 1 3 1 3 16 27 1 3 1 3 4 9

1 3

1 3

1 3

?1，n＝1， ? an＝?1 4 n－2 ，n≥2. ?3×? 3? ?
12．已知 函数 f(x)＝2 －2 ，数列{an}满足 f(log2an)＝－ 2n. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：数列{an}是递减数列． x －x 解析：(1)∵f(x)＝2 －2 ， ∴f(log2an)＝ 2 log 2 an － 2－log 2 an ＝－2n，
x
－x

3

1 即 an－ ＝－2 n.

an

∴an＋2n·an－1＝0. －2n± 4n ＋4 ∴an＝ ，又∵an＞0， 2 ∴an＝ n ＋1－n. 2 (2)证明：∵an＞0，且 an＝ n ＋1－n，
2 an＋1 ? n＋1? ＋1－? n＋1? n2＋1＋n ∴ ＝ ＝ ＜1. 2 an n2＋1－n ? n＋1? ＋1＋? n＋1? 2 2

2

∴an＋1＜an. 即{an}为递减数列.

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