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2014届高考数学一轮 1.5.1数列的概念与简单表示 文


1.5.1 数列的概念与简单表示 文
一、选择题 1.已知数列{an}的通项 an= A.an>an+1 C.an=an+1 解析:an=

na (a,b,c 都是正实数),则 an 与 an+1 的大小关系是( nb+c

)

B.an<an+1 D.不能确定

na a c = ,∵

y= 是减函数, nb+c c n b+ n

∴ y=

a

c b+ n

是增函数,∴an<an+1.

答案:B 2 * 2.已知数列{an}的通项公式是 an=n +kn+2,若对于 n∈N ,都有 an+1>an 成立,则实数 k 的取值范围是( ) A.k>0 B.k>-1 C.k>-2 D.k>-3 2 2 * * 解析:依题意,(n+1) +k(n+1)+2>n +kn+2 对 n∈N 恒成立,即 k>-2n-1 对 n∈N * 恒成立,因为-2n-1(n∈N )的最大值为-3,所 以 k>-3,选择 D. 答案:D 2 3.数列{-2n +29n+3}中最大项是( ) 1 A.107 B.108 C.108 D.109 3 29 2 1 2 解析:an=-2n +29n+3=- 2(n- ) +108 , 4 8 29 1 * ∵ =7 ,且 n∈N , 4 4 ∴当 n=7 时,an 最大,最大值为 a7=108. 答案:B 4.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn+Sm=Sn+m,且 a1=1.那么 a10=( ) A.1 B.9 C.10 D.55 解析:由 Sn+Sm=Sn+m,得 S1+S9=S10? a10=S10-S9=S1= a1=1. 答案:A 5. 一函数 y=f(x)的图象在给定的下列图象中, 并且对任意 an∈(0,1), 由关系式 an+1=f(an) * 得到的数列{an}满足 an+1>an(n∈N ),则该函数的图象是( )

解析:由 an+1>an 可知数列{an}为递增 数列,又由 an+1=f(an)>an 可知,当 x∈(0,1)时,y =f(x)的图象在直线 y=x 的上方,故选 A.

1

答案:A 6.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则 a6=( ) 4 4 A.3×4 B.3×4 +1 3 3 C.4 D.4 +1 n -1 解析:由 an+1=3Sn? Sn+1-Sn=3Sn,即 Sn+1=4Sn,又 S1=a1=1,可知 Sn=4 .于是 a6=S6 5 4 4 -S5=4 -4 =3×4 . 答案:A 二、填空题 7.设数列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1,则其通项公式 an=__________. 解析:由 an+1-an=n+1,可得当 n≥2 时,a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n. 以上 n-1 个式子左右两边分别相加,得 ? n+2? ? n-1? an-a1=2+3+…+n= , 2 ∴an=

n? n+1?
2

+1.

又 n=1 时,a1=2 适合上式, n? n+1? ∴an= +1. 2 答案:

n? n+1?
2

+1

8.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn= __________. 解析:∵Sn=

a1? 3n-1?
2

(对于所有 n≥1),且 a4=54,则 a1 的值是

a1? 3n-1?
2



a1 n 1 1 n n n-1 ∴an=Sn-Sn-1= (3 - · 3 )= a1·3 =a1·3 (n≥2). 2 3 3
∵a4=54,∴54=a1·3 . ∴a1=2. 答案:2 * 9.数列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N ),则 a2011=__________. 解析:a 3=a2-a1=4,a4=a3-a2=4-5=-1,a5=a4-a3=-1-4=-5,a6=a5-a4=-5 -(-1)=-4,a7=a6-a5=-4-(-5)=1,a8=a7-a6=1-(-4)=5. ∴数列{an}为周期数列,6 为其一个周期. ∴a2011=a1=1. 答案:1 三、解答题 ? 1? 10.已知数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln?1+ ? ,求 an.
3

?

n?

解析:由已知,an+1-an=ln ∴an-an-1=ln

n+1 ,a1=2, n

n

n-1



2

n-1 an-1-an-2=ln , n-2
… 2 1

a2-a1=ln .
将以上 n-1 个式子累加,得 n n-1 2 an-a1=ln +ln +…+ln n-1 n-2 1 =ln?

? n ·n-1·…·2? 1? ?n-1 n-2 ?

=lnn ∴an=2+lnn. 1 11.数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,an+1= Sn,n=1,2,3,….求: 3 (1)a2,a3,a4 的值; (2)数列{an}的通项公式. 1 解析:(1)由 a1=1,an+1= Sn,n=1,2,3,…,得 3

a2= S1= a1= , a3= S2= (a1+a2)= , a4= S3= (a1+a2+a3)= .
(2)当 n≥2 时, 1 1 an+1-an= (Sn-Sn-1)= an, 3 3 4 ∴an+1= an(n≥2). 3 1 又 a2= , 3 1 4 n-2 ∴an= ×( ) (n≥2). 3 3 ∴数列{an}的通项公式为 1 3 1 3 16 27 1 3 1 3 4 9

1 3

1 3

1 3

?1,n=1, ? an=?1 4 n-2 ,n≥2. ?3×? 3? ?
12.已知 函数 f(x)=2 -2 ,数列{an}满足 f(log2an)=- 2n. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:数列{an}是递减数列. x -x 解析:(1)∵f(x)=2 -2 , ∴f(log2an)= 2 log 2 an - 2-log 2 an =-2n,
x
-x

3

1 即 an- =-2 n.

an

∴an+2n·an-1=0. -2n± 4n +4 ∴an= ,又∵an>0, 2 ∴an= n +1-n. 2 (2)证明:∵an>0,且 an= n +1-n,
2 an+1 ? n+1? +1-? n+1? n2+1+n ∴ = = <1. 2 an n2+1-n ? n+1? +1+? n+1? 2 2

2

∴an+1<an. 即{an}为递减数列.

4


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